2022-2023學年內(nèi)蒙古呼和浩特市賽罕區(qū)八年級（下）期中數(shù)學試卷(含解析)

2022-2023學年內(nèi)蒙古呼和浩特市賽罕區(qū)八年級（下）期中數(shù)學試卷一.選擇題（共10個小題，每小題3分，共30分.）1．下列式子，是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．2．如圖所示，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A，B都是格點，則線段AB的長是（）A．5 B． C．7 D．253．下列計算正確的是（）A． B． C． D．4．下列命題正確的是（）A．形如的式子叫做二次根式 B．一組鄰邊相等的矩形是正方形 C．對角線相等的四邊形是矩形 D．在直角三角形ABC中，三邊a，b，c滿足的關系是a2+b2＝c25．下列計算正確的有幾個（）①；②；③﹣2＝3；④．A．4 B．3 C．2 D．16．分別滿足下列條件的三角形不是直角三角形的是（）A．三邊之比為 B．三邊長依次是9，40，41 C．三邊之比為 D．三內(nèi)角之比為3：4：57．如圖，點E在正方形ABCD內(nèi)，滿足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，則陰影部分的面積是（）A．48 B．60 C．76 D．808．已知平行四邊形ABCD，下列結(jié)論不正確的是（）A．當AC＝BD時，它是矩形 B．當AC⊥BD時，它是矩形 C．當AC平分∠BAD時，它是菱形 D．當AB＝BC時，它是菱形9．如圖，已知矩形ABCD中AD＝2，AB＝3，過點A，C作相距為2的平行線段AE，CF分別交CD，AB于點E，F(xiàn)，則DE的長為（）A．1 B． C． D．10．已知，則a2+b2的值為（）A．2 B． C．1或﹣1 D．1二.填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分，本題要求把正確結(jié)果填在答題紙規(guī)定的橫線上，不需要解答過程）11．代數(shù)式的x的取值范圍是．12．已知，則x2+2x﹣4的值是．13．已知一個圓的半徑為，一矩形的長為，若該圓的面積與矩形的面積相等，則矩形的寬為cm．14．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點E、F分別是AO、AD的中點，若AB＝6cm，BC＝8cm，則EF＝cm．15．如圖四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝AD＝2，BC＝3，CD＝1，則四邊形ABCD的面積是．16．如圖，已知菱形ABCD的周長為16，面積為8，E為AB的中點，若P為對角線BD上一動點，則EP+AP的最小值為．三、解答題（本大題共7小題，共52分，解答應寫出必要在演算步驟、證明過程或文字說明）17．計算：（1）；（2）．18．化簡求值：，其中實數(shù)x，y滿足．19．已知平行四邊形ABCD，AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)在AC上，且AE＝CF．（1）求證：四邊形EBFD是平行四邊形；（2）若∠BAC＝∠DAC，判斷四邊形EBFD的形狀，說明理由．20．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分別為AC，CD的中點，連接BM，MN，BN．（1）求證：BM＝MN；（2）若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN長．21．已知a，b，c滿足，問以a，b，c為邊能否構成三角形，若能，求出此三角形的面積，若不能，請說明理由．22．已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的頂點A在△ECD的斜邊DE上，若AE＝3，AD＝4，求AC的長．23．“弦圖”不僅是證明勾股定理的一種方法，也是解決直角三角形問題可用的方法，請用弦圖的模型解決下列問題：（1）用四個斜邊長為5，一條直角邊長為3的直角三角形如圖1所示的正方形ABCD和小正方形EFGH，求小正方形的對角線EG的長；（2）如圖2，邊長為5的正方形內(nèi)有兩個全等的直角三角形，一條直角邊CF＝4，求兩個直角頂點這距離EF；（3）已知Rt△ABC，∠C＝90°，，BC＝1，以AB為一直角邊作等腰直角三角形ABD，且BA＝BD，點O是AD的中點，則CO＝．

參考答案一.選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．下列式子，是最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義判斷即可．解：A、，不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；B、，不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；C、是最簡二次根式，故此選項符合題意；D、，不是最簡二次根式，故此選項不符合題意；故選：C．【點評】本題考查了最簡二次根式，如果二次根式滿足：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)不含能開得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式叫做最簡二次根式．2．如圖所示，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A，B都是格點，則線段AB的長是（）A．5 B． C．7 D．25【分析】由勾股定理可得出答案．解：由圖可知AB＝＝5，故選：A．【點評】此題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關鍵．3．下列計算正確的是（）A． B． C． D．【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)分別化簡，進而得出答案．解：A．＝5，故此選項不合題意；B．＝2，故此選項不合題意；C．＝，故此選項符合題意；D．＝（）2（a≥0），故此選項不合題意．故選：C．【點評】此題主要考查了二次根式的乘除法以及二次根式的性質(zhì)與化簡，正確化簡二次根式是解題關鍵．4．下列命題正確的是（）A．形如的式子叫做二次根式 B．一組鄰邊相等的矩形是正方形 C．對角線相等的四邊形是矩形 D．在直角三角形ABC中，三邊a，b，c滿足的關系是a2+b2＝c2【分析】根據(jù)二次根式的定義、正方形的判定、矩形的判定、勾股定理判斷即可．解：A、形如（a≥0）的式子叫做二次根式，故本選項命題錯誤，不符合題意；B、一組鄰邊相等的矩形是正方形，命題正確，符合題意；C、對角線相等的平行四邊形是矩形，故本選項命題錯誤，不符合題意；D、在直角三角形ABC中，∠C＝90°，三邊a，b，c滿足的關系是a2+b2＝c2，故本選項命題錯誤，不符合題意；故選：B．【點評】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．5．下列計算正確的有幾個（）①；②；③﹣2＝3；④．A．4 B．3 C．2 D．1【分析】根據(jù)二次根式混合運算的法則對各選項進行逐一分析即可．解：①2×3＝（2×3）×（×）＝6×3＝18，原計算錯誤，不符合題意；②與不是同類項，不能合并，原計算錯誤，不符合題意；③5與2不是同類項，不能合并，原計算錯誤，不符合題意；④÷＝＝＝，正確，符合題意．故選：D．【點評】本題考查的是二次根式的混合運算，熟知二次根式混合運算的法則是解題的關鍵．6．分別滿足下列條件的三角形不是直角三角形的是（）A．三邊之比為 B．三邊長依次是9，40，41 C．三邊之比為 D．三內(nèi)角之比為3：4：5【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判斷A、B、C；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理判斷D．解：A、設最小邊為k，k2+（k）2＝（k）2，是直角三角形，此選項不符合題意；B、92+402＝412，是直角三角形，此選項不符合題意；C、設最小邊為k，k2+（k）2＝（2k）2，是直角三角形，此選項不符合題意；D、根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得最大角為180°×＝75°，所以不是直角三角形，此選項符合題意；故選：D．【點評】本題考查的是勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．也考查了三角形內(nèi)角和定理．7．如圖，點E在正方形ABCD內(nèi)，滿足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，則陰影部分的面積是（）A．48 B．60 C．76 D．80【分析】由已知得△ABE為直角三角形，用勾股定理求正方形的邊長AB，用S陰影部分＝S正方形ABCD﹣S△ABE求面積．解：∵∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，∴在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2＝100，∴S陰影部分＝S正方形ABCD﹣S△ABE，＝AB2﹣×AE×BE＝100﹣×6×8＝76．故選：C．【點評】本題考查了勾股定理的運用，正方形的性質(zhì)．關鍵是判斷△ABE為直角三角形，運用勾股定理及面積公式求解．8．已知平行四邊形ABCD，下列結(jié)論不正確的是（）A．當AC＝BD時，它是矩形 B．當AC⊥BD時，它是矩形 C．當AC平分∠BAD時，它是菱形 D．當AB＝BC時，它是菱形【分析】根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形可得A錯誤；根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形可得B正確；根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形可得C正確；根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形可得D正確．解：A、當AC＝BD時，它是矩形，故此選項結(jié)論不符合題意；B、當AC⊥BD時，它是菱形，故此選項說法不正確，符合題意；C、當AC平分∠BAD時，它是菱形，故此選項說法正確，不符合題意；D、當AB＝BC時，它是菱形，故此選項說法正確，不符合題意；故選：B．【點評】此題主要考查了菱形和矩形的判定，關鍵是掌握菱形和矩形的判定定理．菱形的判定：①菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②四條邊都相等的四邊形是菱形．③對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；矩形的判定：①矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形；②有三個角是直角的四邊形是矩形；③對角線相等的平行四邊形是矩形．9．如圖，已知矩形ABCD中AD＝2，AB＝3，過點A，C作相距為2的平行線段AE，CF分別交CD，AB于點E，F(xiàn)，則DE的長為（）A．1 B． C． D．【分析】由“AAS”可證△BCF≌△HEC，可得EC＝FC，通過證明四邊形AECF是平行四邊形，可得AF＝CE，F(xiàn)C＝AE，由勾股定理可求解．解：過點E作EH⊥CF于H，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝2，AB＝CD＝3，∠B＝∠BCD＝90°，∴∠EHC＝∠B＝∠BCD＝90°，∴∠BCF+∠DCF＝90°＝∠BCF+∠BFC，∴∠DCF＝∠BFC，在△BCF和△HEC中，，∴△BCF≌△HEC（AAS），∴EC＝FC，∵AB∥CD，AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，∴AF＝CE，F(xiàn)C＝AE，∴AE＝CE，∵AE2＝AD2+DE2，∴（3﹣DE）2＝4+DE2，∴DE＝，故選：C．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關鍵．10．已知，則a2+b2的值為（）A．2 B． C．1或﹣1 D．1【分析】由已知得，兩邊平方整理可得（1﹣a2﹣b2）2＝0，從而可選出正確答案．解：，則兩邊平方得，整理得，兩邊平方得4b2（1﹣a2）＝（1+b2﹣a2）2＝（1﹣a2）2+2b2（1﹣a2）+b4，所以（1﹣a2）2﹣2b2（1﹣a2）+b4＝0，即（1﹣a2﹣b2）2＝0，所以1﹣a2﹣b2＝0，即a2+b2＝1，故選：D．【點評】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)和完全平方公式．本題的關鍵是通過移項平方去掉根號，從而進行計算．二.填空題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分，本題要求把正確結(jié)果填在答題紙規(guī)定的橫線上，不需要解答過程）11．代數(shù)式的x的取值范圍是x≤2且x≠﹣3．【分析】根據(jù)分式的分母不能為0和二次根式的被開平方數(shù)大于等于0進行求解．解：∵代數(shù)式代數(shù)式有意義，∴，解得x≤2且x≠﹣3，∴x的取值范圍是x≤2且x≠﹣3；故答案為：x≤2且x≠﹣3．【點評】此題主要考查了二次根式和分式有意義的條件，正確把握定義是解題關鍵．12．已知，則x2+2x﹣4的值是0．【分析】由，可得x+1＝，將式子x2+2x﹣4變形為（x+1）2﹣5，再代入計算即可．解：∵，∴x+1＝，∴x2+2x﹣4＝（x+1）2﹣5＝（）2﹣5＝5﹣5＝0．故答案為：0．【點評】本題考查了二次根式的化簡求值，掌握完全平方公式是解題的關鍵．13．已知一個圓的半徑為，一矩形的長為，若該圓的面積與矩形的面積相等，則矩形的寬為cm．【分析】根據(jù)“圓的面積與矩形的面積相等”列方程即可計算出矩形的寬．解：設矩形的寬為x，則，∴x＝．故答案為：．【點評】本題考查二次根式的應用，解題關鍵是圓及矩形的面積公式．14．如圖，在矩形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，點E、F分別是AO、AD的中點，若AB＝6cm，BC＝8cm，則EF＝2.5cm．【分析】根據(jù)勾股定理求出AC，根據(jù)矩形性質(zhì)得出∠ABC＝90°，BD＝AC，BO＝OD，求出BD、OD，根據(jù)三角形中位線求出即可．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，BD＝AC，BO＝OD，∵AB＝6cm，BC＝8cm，∴由勾股定理得：BD＝AC＝＝10（cm），∴DO＝5cm，∵點E、F分別是AO、AD的中點，∴EF＝OD＝2.5cm，故答案為：2.5．【點評】本題考查了勾股定理，矩形性質(zhì)，三角形中位線的應用，關鍵是求出OD長．15．如圖四邊形ABCD中，∠A＝90°，AB＝AD＝2，BC＝3，CD＝1，則四邊形ABCD的面積是2+．【分析】連接BD，判定△ABD是等腰直角三角形，即可得出∠ADB＝45°，再根據(jù)勾股定理的逆定理即可得出△BCD是直角三角形，且∠BDC＝90°，依據(jù)三角形面積計算公式，即可得到四邊形ABCD的面積．解：∵AB＝AD＝2，∠A＝90°，∴△ABD是等腰直角三角形，在Rt△BAD中，∵AB＝AD＝2，∴BD＝＝＝2，∵CD＝1，BC＝3，∴DB2+CD2＝9＝CB2，∴△BCD是直角三角形，且∠BDC＝90°，∴四邊形ABCD的面積＝S△ABD+S△BCD＝AB×AD+BD×CD＝×2×2+×2×1＝2+．故答案為：2+．【點評】此題主要考查了勾股定理以及逆定理的運用，解決問題的關鍵是求出∠ADB＝45°，再求出∠BDC＝90°．16．如圖，已知菱形ABCD的周長為16，面積為8，E為AB的中點，若P為對角線BD上一動點，則EP+AP的最小值為2．【分析】作CE′⊥AB于E′，交BD于P′，連接AC、AP′．首先證明E′與E重合，因為A、C關于BD對稱，所以當P與P′重合時，P′A+P′E的值最小，由此求出CE即可解決問題．解：如圖，作CE′⊥AB于E′，交BD于P′，連接AC、AP′．∵已知菱形ABCD的周長為16，面積為8，∴AB＝BC＝4，AB?CE′＝8，∴CE′＝2，在Rt△BCE′中，BE′＝＝2，∵BE＝EA＝2，∴E與E′重合，∵四邊形ABCD是菱形，∴BD垂直平分AC，∴A、C關于BD對稱，∴當P與P′重合時，P′A+P′E的值最小，最小值為CE＝2，故答案為：2．【點評】本題考查軸對稱﹣最短問題、菱形的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，本題的突破點是證明CE是△ABC的高，學會利用對稱解決最短問題．三、解答題（本大題共7小題，共52分，解答應寫出必要在演算步驟、證明過程或文字說明）17．計算：（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)分母有理化法則和二次根式的計算法則計算即可；（2）先計算二次根式的乘除，再計算加減即可．解：（1）原式＝+3﹣3+2＝+1+3﹣3+2＝4；（2）原式＝4﹣+2＝4+．【點評】本題考查二次根式的混合運算、分母有理化，解答本題的關鍵是明確它們各自的計算方法．18．化簡求值：，其中實數(shù)x，y滿足．【分析】利用二次根式的化簡的法則對式子進行化簡，再結(jié)合二次根式有意義的條件求得x，y的值，代入運算即可．解：＝＝＝，∵，∴x﹣3≥0，6﹣2x≥0，解得：x≥3，x≤3，∴x＝3，∴y＝2，∴原式＝＝＝．【點評】本題主要考查二次根式的化簡求值，解答的關鍵是對相應的運算法則的掌握．19．已知平行四邊形ABCD，AC，BD相交于點O，點E，F(xiàn)在AC上，且AE＝CF．（1）求證：四邊形EBFD是平行四邊形；（2）若∠BAC＝∠DAC，判斷四邊形EBFD的形狀，說明理由．【分析】（1）根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可證明；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得DA＝DC，然后利用菱形的性質(zhì)可得DB⊥EF，進而可以證明四邊形EBFD是菱形．【解答】（1）證明：在?ABCD中，OA＝OC，OB＝OD，∵AE＝CF．∴OE＝OF，∴四邊形EBFD是平行四邊形；（2）解：平行四邊形EBFD是菱形，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，∴∠BAC＝∠DCA，∵∠BAC＝∠DAC，∴∠DCA＝∠DAC，∴DA＝DC，∴平行四邊形ABCD為菱形，∴DB⊥EF，∴平行四邊形EBFD是菱形．【點評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、菱形的判定等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識．20．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M，N分別為AC，CD的中點，連接BM，MN，BN．（1）求證：BM＝MN；（2）若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN長．【分析】（1）根據(jù)三角形的中位線的MN＝AD，根據(jù)直角三角形斜邊上的中位線求出MN＝AD，即可得出答案；（2）求出BM＝AM，根據(jù)角平分線的定義求出∠CAD＝∠BAC＝30°，求出∠BMC＝60°，∠CMN＝30°，求出△BMN是等腰直角三角形，再根據(jù)勾股定理求出BN即可．【解答】（1）證明：∵∠ABC＝90°，M為AC的中點，∴BM＝AC，∵M、N分別為AC、CD的中點，∴MN＝AD，MN∥AD，∵AC＝AD，∴BM＝MN；（2）解：∵∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC＝∠BAD＝30°，∵∠ABC＝90°，M為AC的中點，∴BM＝AM＝AC＝＝1，∴∠BAC＝∠ABM＝30°，∴∠BMC＝∠ABM+∠BAC＝30°+30°＝60°，∵M、N分別為AC、CD的中點，AC＝AD＝2，∴MN＝AD＝AC＝1，MN∥AD，∴∠NMC＝∠DAC＝30°，∴∠BMN＝∠BMC+∠NMC＝60°+30°＝90°，即△BMN是等腰直角三角形，由勾股定理得：BN＝．【點評】本題考查了三角形的中位線性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識點，能根據(jù)三角形的中位線和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)求出BM＝MN是解此題的關鍵．21．已知a，b，c滿足，問以a，b，c為邊能否構成三角形，若能，求出此三角形的面積，若不能，請說明理由．【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)的非負性，絕對值和偶次方的非負性可得a、b和c的值．先計算兩條較短邊的長度之和大于第三邊，則可判斷a，b，c為邊能構成三角形；再根據(jù)勾股定理逆定理可證明此三角形是直角三角形，然后根據(jù)直角三角形的面積計算公式求得面積即可．解：（1）∵，∴a﹣＝0，b2﹣5＝0，c﹣＝0，解得a＝，b＝±（負值舍去），c＝．∵+＞，∴以a，b，c為邊能構成三角形，∵b2+c2＝5+3＝8，a2＝8，∴a2＝b2+c2，∴此三角形是直角三角形．此三角形的面積為：××＝．答：以a，b，c為邊能構成三角形，此三角形的面積為．【點評】本題考查了二次根式有意義的條件、絕對值和偶次方的非負性、三角形的三邊關系和勾股定理逆定理等知識點，熟練掌握相關性質(zhì)及定理是解題的關鍵．22．已知△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的頂點A在△ECD的斜邊DE上，若AE＝3，AD＝4，求AC的長．【分析】連接BD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明△BCD≌△ACE（SAS），得∠BDA＝∠BDC+∠ADC＝90°，根據(jù)勾股定理求出AB，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求出AC．解：如圖，連接BD，∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∴CA＝CB，CE＝CD，∠ACB＝∠ECD＝90°，∠ADC＝∠E＝45°，∴∠ACB﹣∠ACD＝∠ECD﹣∠ACD，∴∠DCB＝∠ECA，在△BCD和△ACE中，，∴△BCD