第二篇函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題4不等式微點(diǎn)6排序不等式與調(diào)整法

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第二篇函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題4不等式微點(diǎn)6排序不等式與調(diào)整法第二篇函數(shù)與導(dǎo)數(shù)專題4

不等式微點(diǎn)6

排序不等式與調(diào)整法【微點(diǎn)綜述】排序不等式（RearrangementInequality）又稱排序原理，是數(shù)學(xué)上的一種不等式．它可以推導(dǎo)出很多有名的不等式，例如：算術(shù)-幾何平均不等式、柯西不等式、切比雪夫總和不等式．排序不等式在高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)應(yīng)用頻率是低于柯西不等式的．但是排序不等式在數(shù)學(xué)競賽中有著廣泛的應(yīng)用．【典例刨析】一、高等數(shù)學(xué)知識：1．排序不等式（又稱排序原理）設(shè)有兩個有序數(shù)組及則（同序和）（亂序和）（反序和）其中是1，2，…，n的任一排列．當(dāng)且僅當(dāng)或時等號（對任一排列）成立．證明：（調(diào)整法）考察，若，則存在，使得，將與互換，調(diào)整后的和與調(diào)整前的和作差，所以調(diào)整后，和是不減的，接下來若，則繼續(xù)同樣的調(diào)整．至多經(jīng)次調(diào)整就可將亂序和調(diào)整為同序和，而且每次調(diào)整后和是不減的，這說明同序和大于等于亂序和，同理可證亂序和大于等于反序和．2．排序不等式的理解我們可從以下例子中形象直觀地理解排序不等式．假設(shè)要將n面墻刷上不同顏色的油漆，設(shè)這n面墻的面積分別為，，…平方米，而種不同顏色的油漆價格不同，設(shè)刷每平方米的價格分別為，…元，那么若第面墻用第種油漆刷（，，…為1，2，…n的一個排列），則刷這面墻的總費(fèi)用為：．眾所周知，當(dāng)用最便宜的油漆去刷面積最大的墻，次便宜的油漆刷面積次大的墻……，最貴的油漆去刷面積最小的墻時總費(fèi)用是最少的，也即．而用最貴的油漆去刷面積最大的墻，次貴的油漆去刷面積次大的墻，……，最便宜的油漆去刷面積最小的墻時總費(fèi)用是最多的，也就是，所以．即排序不等式成立．3．排序不等式與柯西不等式的比較1．從條件看．相同點(diǎn)：兩者都涉及兩組數(shù)列；不同點(diǎn)：柯西不等式對兩組數(shù)列中的數(shù)無大小順序要求，而排序不等式則有大小順序要求，且排序不等式還涉及一個數(shù)列的亂數(shù)列．2．從結(jié)論看．相同點(diǎn)：兩者都呈現(xiàn)“（兩項(xiàng)）積和結(jié)構(gòu)”；不同點(diǎn)：柯西不等式的一邊是“平方和的積”，另一邊是“積的和的平方”，而排序不等式的兩邊均為“積的和”，兩者取等號的條件不同．3．從應(yīng)用看．相同點(diǎn)：有許多不等式既可用柯西不等式去證，又可用排序不等式求證，關(guān)鍵在于如何構(gòu)造所需的兩組數(shù)列；不同點(diǎn)：排序不等式涉及一個數(shù)列的亂數(shù)列，而柯西不等式?jīng)]有．4．切比雪夫總和不等式：若，，則這個不等式可以利用排序不等式來證明．二、典例刨析利用排序不等式證明不等式問題，首先要根據(jù)不等式的特點(diǎn)構(gòu)造兩組實(shí)數(shù)，然后將兩組實(shí)數(shù)進(jìn)行有序化處理，利用排序不等式解決“亂序和”的最值問題．（一）利用排序不等式求最值（取值范圍）1．已知，求的最值．【答案】最大值為，最小值為【分析】將已知不等式變形為，利用柯西不等式可得出，然后去絕對值可求得的取值范圍，即可得解.【詳解】解：由已知得，由柯西不等式知：．所以，，即，由此可得：，易知最大值為，最小值為．2．求的最小值．【答案】【分析】根據(jù)已知條件及柯西不等式即可求解.【詳解】由柯西不等式得：．所以，且當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．故．【反思】利用柯西不等式求最值，確實(shí)顯得干凈利索，像這樣直接可用柯西不等式能解決的題目，難度不大，在數(shù)學(xué)高考中很可能出現(xiàn)．3．已知，且，求的最小值．【答案】【分析】法1，利用柯西不等式進(jìn)行求解；法2：利用均值不等式得到，取，可求出最小值；法3：利用排序不等式得到，結(jié)合基本不等式得到，求出最小值.【詳解】證法1（柯西不等式）：，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，取到等號，故．證法2（均值不等式）：由，考慮等號成立的條件，取，得，同理可得，．三式相加得，當(dāng)且僅當(dāng)時，取到等號，故．證法3（排序不等式）：不妨設(shè)，則，從而．因?yàn)閬y序和反序和，所以．又，并結(jié)合當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，取到等號，故．【反思】利用和諧化原則將各個分式中分子、分母的變量予以統(tǒng)一，有利于問題的簡化．探究：不改變問題的條件，能否求u的最大值？試說明理由．猜測：當(dāng)u在中間位置時，有最小值，估計(jì)在邊界位置，時，有最大值1．證法1（排序不等式）：不妨設(shè)，則，從而．因?yàn)橥蚝蛠y序和，所以．當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，．【反思】證法1通過集中變量，成功地實(shí)現(xiàn)了放縮．證法2（比較法）：即證．，同理可得，．三個式子相加得，當(dāng)且僅當(dāng)，，中有1個數(shù)為1，另2個數(shù)為0時，．證法3（放縮法，統(tǒng)一分母）：因?yàn)?，所以，，于是，故，?dāng)且僅當(dāng)，，中有1個數(shù)為1，另2個數(shù)為0時，．證法4（放縮法，統(tǒng)一分母）不妨設(shè)，則，，從而，當(dāng)且僅當(dāng)，時，．方法5（放縮法，去分母）不妨設(shè)，則，，從而，當(dāng)且僅當(dāng)，時，．【反思】上述不等式放縮的技巧性很強(qiáng)，分式中分子與分母的變量不統(tǒng)一反而成了有利條件，使其等號恰好在邊界處達(dá)到．4．將2006表示成5個正整數(shù)之和.記.問：（1）當(dāng)取何值時，S取到最大值；（2）進(jìn)一步地，對任意有，當(dāng)取何值時，S取到最小值.說明理由.【答案】（1）見解析；（2）見解析【分析】(1)根據(jù)條件，判斷S的值是有界集，故必存在最大值與最小值，且S取到最大值，則必有，從而可求結(jié)論；(2)當(dāng)，且時，只有三種情況，后兩種情形是由第一組作調(diào)整下得到的，結(jié)合（1）中的分析，可得結(jié)論.【詳解】（1）首先這樣的S的值是有界集，故必存在最大值與最小值．若,且使取到最大值，則必有

(*)事實(shí)上，假設(shè)（*）不成立，不妨假設(shè)．則令，,(),有，．將S改寫成同時有．于是有.這與S在時取到最大值矛盾.所以必有.因此當(dāng)取到最大值.

（2）當(dāng)且時，只有402，402，402，400，400；402，402，401，401，400；402，401，401，401，401；三種情形滿足要求．而后面兩種情形是在第一組情形下作，調(diào)整下得到的．根據(jù)上一小題的證明可以知道，每調(diào)整一次，和式變大.所以在情形取到最小值.【點(diǎn)睛】該題所考查的是有關(guān)函數(shù)最值的應(yīng)用以及絕對值不等式的問題，涉及到的知識點(diǎn)有新定義的問題，在解題的過程中，注意對題中條件的轉(zhuǎn)化以及深刻的理解，從而找準(zhǔn)解題的方向，進(jìn)而求得結(jié)果.（二）利用排序不等式證明不等式5．設(shè)，求證：．【答案】證明見解析【分析】變形得到，由柯西不等式進(jìn)行證明即可.【詳解】證明：由已知可得：．由柯西不等式可知：，兩邊開方，得：．6．若a，b，c為正實(shí)數(shù)，且滿足．試證：．【答案】證明見解析【分析】將所證不等式化為，結(jié)合柯西不等式求解即可.【詳解】證明：因，故欲證不等式等價于下述不等式．由柯西不等式得：．故．（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立）故成立.7．已知，證明．【答案】證明見解析【分析】首先根據(jù)題目選取兩組有序?qū)崝?shù)，我們不妨設(shè)，則且，然后利用排序不等式證明原不等式．【詳解】證明：不妨設(shè)，則且，由排序不等式得（亂序和逆序和），同樣（亂序和逆序和），兩式相加，變形得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故原不等式成立．8．已知且滿足，證明：．【答案】證明見解析【分析】首先選取兩組有序?qū)崝?shù)，不妨設(shè)，則，然后利用排序不等式證明該不等式．【詳解】證明：不妨設(shè)，則，所以（順序和亂序和），同樣（順序和亂序和），上述兩式當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，，由于，所以（應(yīng)用柯西不等式），當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故原不等式成立．9．設(shè)，，，求證：．【答案】證明見解析【分析】應(yīng)先對上式作變形，再利用排序不等式證明．【詳解】證明：所證不等式等價于，由對稱性，不妨設(shè)，則，，，所以，即，故原不等式成立．10．設(shè)，，…，是n個互不相等的正整數(shù)．求證．【答案】證明見解析【分析】利用排序不等式中反序和≤亂序和，結(jié)合，，…，，得到證明.【詳解】證明：設(shè)，，…，是，，…，的一個排列，且，又．由反序和≤混序和得：．又，，…，，所以．11．利用排序不等式證明均值不等式：，即證明：．【答案】證明見解析【分析】設(shè)正數(shù)，，…，，記，令（，2，…，n），將要證不等式轉(zhuǎn)化為，其中，引入新的未知數(shù)，，…，，使得，，…，，代換即可證明．【詳解】設(shè)正數(shù)，，…，，記，令（，2，…，n），則，其中，不妨引入新的未知數(shù)，，…，，使得，，…，，于是，由排序不等式知：，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因此，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立．12．應(yīng)用排序不等式證明切比雪夫不等式：切比雪夫不等式：若，，則【答案】證明見解析【分析】根據(jù)不等式兩邊的結(jié)構(gòu)特征，左邊是兩兩乘積的和，右邊也可以組成兩兩乘積的和，利用排序不等式可以構(gòu)造出個亂序結(jié)構(gòu)，累加即可證得結(jié)論.【詳解】同序和亂序和反序和．固定的位置，讓進(jìn)行輪換，輪換一周，恰好輪換次，共得以下個式子：，，，，……，，將以上個式子相加，得，即13．證明閔可夫斯基不等式：，，則.【答案】證明見解析【分析】令，可得出，利用赫爾德（Holder）不等式可得出，然后在不等式的兩邊同時除以即可證得結(jié)論成立.【詳解】證明：令，，由赫爾德（Holder）不等式，當(dāng)，，時，有，同理，，，，所以，，則，所以，.所以，當(dāng)，時，推廣：三角不等式（維向量模定理）：，，，則.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是能熟練利用郝爾德不等式進(jìn)行推導(dǎo)，同時要注意不等式基本性質(zhì)的應(yīng)用.14．設(shè)，，…，為互不相等的正整數(shù)，證明：．【答案】證明見解析【分析】將，，…，從小到大排序，設(shè)為，根據(jù)排序不等式即可證明結(jié)論.【詳解】證明：將，，…，從小到大排序，設(shè)為，其中，，…為1，2…，n的一個排列，因?yàn)椋?，…，互不相等，所以有．因此對兩組數(shù)，，…，和，，…，由排序不等式有．15．設(shè)a，b，c是正數(shù)，求證：．【答案】證明見解析【分析】由于不等式關(guān)于a，b，c對稱，不妨設(shè)，則，，，由排序不等式證明即可．【詳解】證明：由于不等式關(guān)于a，b，c對稱，不妨設(shè)，因此，，，又由排序原理可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；兩式相加再除以2，得，同理，由排序原理可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；兩式相加再除以2，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．【點(diǎn)睛】利用不等式關(guān)于a，b，c對稱的特點(diǎn)，對a，b，c進(jìn)行排序，構(gòu)造兩組有序?qū)崝?shù)，是應(yīng)用排序不等式逐步調(diào)整的關(guān)鍵．（三）利用排序不等式解決三角形中的問題16．在中，a，b，c為三邊長，試證．【答案】證明見解析【分析】對于任意的，若三邊，則三角，應(yīng)用排序不等式進(jìn)行證明．【詳解】證明：不妨設(shè)，則，所以，同樣，所以，所以，故原不等式成立．17．在中，設(shè)其各邊長分別為，外接圓半徑為，求證：.【答案】見解析【分析】根據(jù)所給條件結(jié)合正弦定理，將原不等式左邊構(gòu)造所給一般形式的柯西不等式，利用柯西不等式證明即可.【詳解】證明：∵，∴

.∴原不等式成立.18．設(shè)、、是三角形的三邊長，且滿足（定值），試求的最小值．【答案】【分析】不妨設(shè)，則，，利用冪平均不等式可得出，利用柯西不等式可得出，再利用切比雪夫不等式可求得的最小值.【詳解】解：不妨設(shè)，則，，由切比雪夫不等式，由冪平均不等式有，由柯西不等式有，所以，，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．19．設(shè)的三邊為a，b，c，外接圓半徑為，證明：，當(dāng)且僅當(dāng)為正三角形時等號成立．【答案】證明見解析【分析】由正余弦定理將所要證不等式化為，再由排序不等式求解.【詳解】證明：不妨設(shè)，則所要證的不等式可化為（由余弦定理與正弦定理得）．由所設(shè)，有，，因此由排序不等式得（由均值不等式可得），當(dāng)且僅當(dāng)，即為正三角形時等號成立．（四）排序不等式在數(shù)學(xué)競賽中的應(yīng)用（第二屆友誼杯國際競賽題）20．設(shè)a，b，c都是正數(shù)，求證：.【答案】見解析【分析】由，利用柯西不等式，即可作出證明．【詳解】證：因?yàn)樗?【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用柯西不等式的證明問題，其中解答中合理化簡，利用柯西不等式證明是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與論證能力，屬于基礎(chǔ)題．【反思】對于一道復(fù)雜的有關(guān)排序不等式的競賽題，要結(jié)合其他重要不等式，通過換元，反復(fù)利用排序不等式等技巧靈活解決問題．從以上例子看出，柯西不等式不僅在高等數(shù)學(xué)中是一個十分重要的不等式，而且它對初等數(shù)學(xué)也有指導(dǎo)作用，利用它能高瞻遠(yuǎn)矚、居高臨下，從而方便地解決一些中學(xué)數(shù)學(xué)中的有關(guān)問題．通過柯西不等式與排序不等式的應(yīng)用，體會數(shù)學(xué)的價值，形成正確的數(shù)學(xué)觀借助二維形式的柯西不等式證明了三角不等式，從而使學(xué)生體會到不等式的應(yīng)用．如果僅從基礎(chǔ)知識、基本公式的正面入手，很難取得知識性的突破，若對基礎(chǔ)知識、基本公式稍加變形，就會大大降低問題的難度，達(dá)到化難為易、化繁為簡、化陌生為熟悉的目的．利用柯西不等式證明某些不等式顯然特別方便，而柯西不等式的技巧也有很多．如常數(shù)的巧拆、結(jié)構(gòu)的巧變、巧設(shè)數(shù)組等．通過對柯西不等式與排序不等式的學(xué)習(xí)，學(xué)生會感受到柯西不等式與排序不等式的對稱與和諧美．教學(xué)中主要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注證明過程中如何應(yīng)用柯西不等式，如何將式子變形轉(zhuǎn)化為柯西不等式的結(jié)構(gòu)形式，這有助于學(xué)生把握柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征，提高對具體不等式的轉(zhuǎn)化變形能力．在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，所積累的知識經(jīng)驗(yàn)經(jīng)過加工，會得出有長久保存價值或基本重要性的典型結(jié)構(gòu)與重要類型——模式，將其有意識地記憶下來，并作有目的地簡單編碼．當(dāng)遇到一個新問題時，可以辨認(rèn)它屬于哪一類基本模式，聯(lián)想一個已經(jīng)解決的問題，以此為索引，在記憶貯存中提取出相應(yīng)的方法加以解決，這就是模式識別的解題策略．【針對訓(xùn)練】（1999年全國聯(lián)賽）21．給定正整數(shù)和正數(shù)．對于滿足條件的所有等差數(shù)列．試求的最大值．【答案】【詳解】設(shè)公差為，，則．故．則．因此，，且當(dāng)，時，．由于此時，故．所以，的最大值為．（2009年清華大學(xué)自主招生試題理科）22．（1）x，y為正實(shí)數(shù)，且，求證：對于任意正整數(shù)n，；（2）a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：，其中x，y，z為a，b，c的一種排列．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【分析】（1）法1：應(yīng)用二項(xiàng)式定理；法2：應(yīng)用琴生不等式．（2）應(yīng)用排序不等式【詳解】（1）證法1：設(shè)，則，其中于是證法2：當(dāng)時，成立；當(dāng)時，畫出函數(shù)的圖象如下：顯然，在上是下凸函數(shù)，所以，即．（2）證明：不妨設(shè)，即，且，排序不等式中，亂序和大于逆序和，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即．23．設(shè)，，…，是n個互不相等的正整數(shù)．求證．【答案】證明見解析【分析】利用排序不等式中反序和≤亂序和，結(jié)合，，…，，得到證明.【詳解】證明：設(shè)，，…，是，，…，的一個排列，且，又．由反序和≤混序和得：．又，，…，，所以．24．在中，內(nèi)角、、所對的邊長分別為、、，證明：．【答案】證明見解析【分析】利用排序不等式可結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可得出，再利用三角形三邊關(guān)系結(jié)合三角形內(nèi)角和定理可推導(dǎo)出，即可證得結(jié)論成立.【詳解】證明：不妨設(shè)，則，則，，上述三個不等式全加可得，故．又由，，，可得，可得，綜上，．25．設(shè)為2，3，5的任一個排列，證明：【答案】證明見解析【分析】根據(jù)排序不等式中亂序和逆序和進(jìn)行證明.【詳解】因?yàn)?，所以從小到大的順序是，即，而，由排序不等式，亂序和逆序和得，.當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.26．已知，，為正數(shù)，，求證：(1)；(2)．