函數(shù)的連續(xù)性

第九節(jié)函數(shù)的連續(xù)性和間斷點有了極限的概念，我們就可以來討論函數(shù)的一種重要特性——連續(xù)性。首先，我們應(yīng)注意到連續(xù)性也是客觀現(xiàn)實的反映，是從許多自然現(xiàn)象的觀察中抽象出來的一種共同特性。如氣溫隨時間的變化而連續(xù)變化，鐵棒長度隨著溫度的變化而連續(xù)變化等。它們的共同特性是：一方面在變化，另一方面是在逐漸變化的?？稍诤芏桃欢螘r間內(nèi)，的變化很??；同樣當(dāng)溫度變化很小時，的變化也很小。這些現(xiàn)象反映在數(shù)學(xué)上就是自變量有一個微小的變化時，函數(shù)的變化也是微小的。下面我們就專門來討論這種概念。一、函數(shù)的連續(xù)性1.預(yù)備知識改變量：設(shè)變量從它的一個初值變到終值，終值與初值的差，就叫的改變量，記作。改變量也叫增量。注意：①，并不是可取值的起點和終點，而是變化過程中從變到。②可正可負(fù)。③是一個整體記號，不是某個量與變量的乘積。2.函數(shù)在處連續(xù)的定義定義1當(dāng)自變量在點的改變量為無窮小時，相應(yīng)函數(shù)的改變量也是同一過程中的無窮小量，即，則稱在處連續(xù)，見圖1-37.定理1在處連續(xù)的充要條圖1-37件是。圖1-37證明由定義1，由定理1，我們可將定義1改寫為以下定義2.定義2如果，，當(dāng)時，有，則在處連續(xù)。3.函數(shù)在點連續(xù)的要求⑴在點有意義，即有確定的函數(shù)值；⑵存在；⑶極限值函數(shù)值，即。這三要素缺一不可。4.連續(xù)與極限的區(qū)別當(dāng)在處有極限時，在處可無定義，也可有。而當(dāng)在處連續(xù)時，在一定有意義并且必成立。所以，函數(shù)在點處連續(xù)，則函數(shù)在點處必有極限，反之不成立。5.左右連續(xù)定義3如果，則稱在處右連續(xù)；如果，則稱在處左連續(xù)。所以在處連續(xù)亦可用以下定義描述。定義4若，即函數(shù)在點處左極限等于右極限等于函數(shù)值，則函數(shù)在點處連續(xù)。6.在某區(qū)間連續(xù)⑴在內(nèi)連續(xù)是指，在處連續(xù)。⑵在上連續(xù)是指在內(nèi)連續(xù)，在點右連續(xù)，在點左連續(xù)。注意：證明分?jǐn)帱c處的連續(xù)性時一定要用定義4.若在內(nèi)連續(xù)，則稱為的連續(xù)區(qū)間。7.連續(xù)函數(shù)的幾何意義連續(xù)函數(shù)的圖形是一條不斷開的曲線。證明在處連續(xù)。證明注意，所以1O11O1-1從而在處連續(xù)。討論在處的連續(xù)性。解因為圖1-38，圖1-38，，所以。由定義4，在處連續(xù)，見圖1-38.證明多項式函數(shù)在內(nèi)連續(xù)。證明設(shè)。由極限運算法則知1-1解因為在處無意義，且1-1不存在，所以為的第二類間斷點。這時，在-1和1內(nèi)來回振蕩，通常稱其為振蕩間斷點，見圖1-41.圖1-41討論在點處的連續(xù)性。圖1-41解因為在處無意義，故為1間斷點。但，從而可補(bǔ)充定義，則函數(shù)在定義域內(nèi)處處連續(xù)。1討論在點處的連續(xù)性，見圖1-42.圖1-42解注意而，圖1-42所以為第一類可去間斷點，修改定義后，則函數(shù)處處連續(xù)，稱函數(shù)為函數(shù)的連續(xù)延拓函數(shù)。習(xí)題1.91.設(shè)函數(shù)，試討論在處的連續(xù)性。2.指出下列函數(shù)的間斷點，并指明是哪一類間斷點。（1）；（2）；（3）；（4）3.設(shè)，問怎樣補(bǔ)充定義，才能使在處連續(xù)。4.當(dāng)為何值時，函數(shù)在點處連續(xù)。第十節(jié)連續(xù)函數(shù)的運算與初等函數(shù)的連續(xù)性一、連續(xù)函數(shù)的運算1.連續(xù)函數(shù)的和仍然是連續(xù)函數(shù)定理1有限個在某點連續(xù)的函數(shù)的和是一個在該點連續(xù)的函數(shù)。證明以兩個函數(shù)為例，設(shè)，均在點連續(xù)，考慮。由，以及和的極限等于極限的和，有所以在點連續(xù)。一般地，我們有，其中為有限正整數(shù)。2.連續(xù)函數(shù)的積仍然是連續(xù)函數(shù)定理2有限個在某點連續(xù)的函數(shù)的乘積是一個在該點連續(xù)的函數(shù)。證明以兩個函數(shù)為例，設(shè)，均在點連續(xù)，考慮。注意到，以及積的極限等于極限的積，我們有，所以在點連續(xù)。一般地，我們有，其中為有限正整數(shù)。3.連續(xù)函數(shù)的商仍然是連續(xù)函數(shù)定理3兩個在某點連續(xù)的函數(shù)的商是一個在該點連續(xù)的函數(shù)，只要分母在該點不為零。證明由，以及分母不為零時，商的極限等于極限的商，設(shè)，我們有，所以在點連續(xù)。例1，，，均是兩個連續(xù)函數(shù)，之商，而，是在上連續(xù)的函數(shù)，所以，，，在它們的定義區(qū)間內(nèi)（排除分母為零的點）連續(xù)。從而可得，三角函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。4.單調(diào)的連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)也單調(diào)、連續(xù)定理4如果函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)且連續(xù)，那么它的反函數(shù)也在對應(yīng)的區(qū)間上單調(diào)且連續(xù)。證明設(shè)的定義域為，值域為，且單增。顯然在對應(yīng)的區(qū)間上單調(diào)遞增，所以僅證反函數(shù)的連續(xù)性。取，假設(shè)不是的端點，則對應(yīng)找出，使，且亦不為的端點（若是端點，由單調(diào)性知就是函數(shù)在上的最值，即端點，而這個可能性已被上述假設(shè)排除）。從而，可找出，使且。令，，則由單調(diào)性，，再令，則且，且當(dāng)時，有，由于也單增，所以，圖1-43，從而當(dāng)時，有圖1-43，即在連續(xù)，見圖1-43.例2證明反三角函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。解由于在上連續(xù)且單增，所以反函數(shù)在上也連續(xù)且單增。由于在連續(xù)且單減，所以反函數(shù)在上也連續(xù)且單減。由于在單增連續(xù)，所以反函數(shù)在上也連續(xù)且單增。由于在單減連續(xù)，所以反函數(shù)在內(nèi)連續(xù)且單減?？傊慈呛瘮?shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。5.復(fù)合函數(shù)也連續(xù)（1）函數(shù)連續(xù)時，極限符號可和函數(shù)符號交換次序。定理5設(shè)，，在點連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)當(dāng)時的極限為。證明由在點連續(xù)可得，，當(dāng)時，。又因為在點極限存在，我們有，對，，當(dāng)時，。從而，（通過找到的），當(dāng)時，有。從而。例3求解（2）復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性。定理6設(shè)在點連續(xù)，且。又在點處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)在點也連續(xù)。證明由在連續(xù)，有。又在點處連續(xù)，故有，從而復(fù)合函數(shù)在點處連續(xù)。例4討論函數(shù)的連續(xù)性。解因為，在上連續(xù)，而在和上連續(xù)，由定理6，在和上連續(xù)。二、初等函數(shù)的連續(xù)性（1）三角函數(shù)、反三角函數(shù)在前邊我們已證明了它們在定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的。（2）有理函數(shù)，即兩個多項式之商，前邊已證在其定義區(qū)間內(nèi)也連續(xù)。*（3）指數(shù)函數(shù)在單調(diào)連續(xù)。證明只證的情況。下面分兩步證明。①在點連續(xù)；②在（）點連續(xù)。證明①因為，所以，，使。由于單增，所以，當(dāng)時，，這表明。又因為，所以，，使。由于單增，所以當(dāng)時，有。從而。綜合以上兩方面得。注意，所以。這就證明了在點連續(xù)。證明②設(shè)為任意不為零的點。由①，。注意以下極限：所以在點連續(xù)。（4）對數(shù)函數(shù).由指數(shù)函數(shù)在中單調(diào)連續(xù)，圖1-44知其反函數(shù)，即對數(shù)函數(shù)在圖1-44內(nèi)也是單調(diào)連續(xù)的函數(shù)。（5）冪函數(shù)，不論是何值，函數(shù)在內(nèi)總是有意義的。設(shè)，則是由，復(fù)合而成的。由指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)連續(xù)性知亦連續(xù)。對于其他情況，也可以證明連續(xù)?？傊境醯群瘮?shù)在它們的定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。由連續(xù)函數(shù)的運算規(guī)則知：一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)。例5設(shè)，則在上有定義，但無連續(xù)點。習(xí)題1.101.求函數(shù)的連續(xù)區(qū)間，并求極限，及。2.求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4）.3.求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4）.第十一節(jié)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)我們在前面已經(jīng)討論過了函數(shù)在一個區(qū)間上連續(xù)的概念，如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則它會有很多很好的性質(zhì)，而所謂在閉區(qū)間上連續(xù)，是指函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，在右端點左連續(xù)，在左端點右連續(xù)。下來我們就來討論這些性質(zhì)。一、最值定理定理1（有界性定理）若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在閉區(qū)間上有界，即存在常數(shù)，，使得，.證明用反證法證明。假設(shè)這樣的,不存在，即對任意的自然數(shù)，，使。顯然數(shù)列是有界的。注意到任意有界無窮數(shù)列必存在收斂的子數(shù)列，我們設(shè)。由于，所以。從而。由在點連續(xù)可知，，當(dāng)時，有，從而。這就證明了是一收斂數(shù)列，從而它是一有界數(shù)列?？墒怯傻亩x，產(chǎn)生矛盾。矛盾說明在閉區(qū)間連續(xù)的函數(shù)必有界。和定理有關(guān)的幾點說明：（1）結(jié)論的幾何解釋：連續(xù)曲線在一閉區(qū)間內(nèi)的圖像一定介于直線，之間，見圖1-45.（2）要使結(jié)論成立，兩個條件缺一不可。如函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，圖1-45但函數(shù)無界。圖1-452又如函數(shù)在閉區(qū)間2上有定義，但存在有不連續(xù)點，亦無界，見圖1-46.（3）有界性定理的逆不成立。即，若有界在上連續(xù)。如函數(shù)在是有界的，但定義區(qū)圖1-46間不閉。圖1-46（4）有界性定理可推廣到無限區(qū)間。例1已知在上連續(xù)，且.求證在上有界。證明因為，所以，，當(dāng)時，有。即當(dāng)時，。這表明當(dāng)時，有界，上界為，下界為。又因為，在上連續(xù)。由有界性定理知，使。我們?nèi)?，，則，有，見圖1-47.定理2若在上連續(xù)，則在上一定能取到最值，即至少，使為最大值，至少，使為最小值。圖1-47如函數(shù)在上是連續(xù)圖1-47的，則在處，，取得最大值；在處，，取得最小值。關(guān)于定理2的幾點說明：①結(jié)論成立的兩個條件缺一不可。如函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，但函數(shù)在內(nèi)取不到最大值。又如函數(shù)取不到最值。②結(jié)論只說至少存在最值點，最大值點可能為一個、幾個、無窮多個。同理最小值點可能為一個、幾個、無窮個，但最值是惟一的。例2已知在上單調(diào)遞增且連續(xù)，求在上的最值點和最值。解注意單調(diào)遞增，則，當(dāng)時，定有。而，從而?？梢娮钚≈迭c為，最大值點為，最小值，最大值。二、介值定理1.零點定理定理3若在閉區(qū)間上連續(xù)，且（即與異號），則至少有一點，適合，使。*證明設(shè)，。用點把分成兩半，可能遇到函數(shù)恰在點等于0.那么令，定理就已經(jīng)得證。假設(shè)，則，中必有一個兩端函數(shù)值符號相反，用表示這個區(qū)間，則，，且。再把分成兩半，分點為，若，已證完。否則，中必有一個兩端函數(shù)值符號相反的區(qū)間，設(shè)其為，則，且，。繼續(xù)進(jìn)行這種構(gòu)成區(qū)間的步驟。這時，要么在有限次步驟以后可能碰到某一分點，在該點函數(shù)值等于零，即證畢了。要么我們得出無窮數(shù)列對于第個區(qū)間，必有，，且長度等于。所以，從而，且。注意在點連續(xù)所以，可是，，故。關(guān)于定理3的幾點說明：①定理的幾何解釋：見圖1-48.如果，則的圖形在上至少過軸一次。②由定理3知，零點在內(nèi)必存在，但并不知零點的確切位置和個數(shù)。例3證明在內(nèi)至少有一實根。證明考慮函數(shù)，則在上連續(xù)。又因為，，滿足零點定理。所以，至少，使。即為的一個實根。例4已知和在連續(xù)，且，。求證至少有，使圖1-48。圖1-48證明考慮函數(shù)，則在上連續(xù)。又，所以，由零點定理，至少存在，使，即。例5已知在上連續(xù)，且。求證：存在，使。證明①當(dāng)時，取，即有。②當(dāng)時，取，即有。③當(dāng)時，，時，做，則在上連續(xù)。注意到，，由零點定理，，使，即。綜合①,②,③，知結(jié)論成立。2.介值定理定理4若在上連續(xù)，且，不妨設(shè)，則，至少，使。證明考慮函數(shù)，，則在上連續(xù)。注意，.所以滿足零點定理，故，使，即。介值定理的幾點說明：①定理的幾何解釋：連續(xù)曲線與水平直線，在內(nèi)（）至少相交于一點，見圖1-49.②定理中存在，并不知的確切位置和個數(shù)。定理5若在上連續(xù)，則必圖1-49取得介于最大值與最小值之間的任何值。圖1-49證明因為在上連續(xù)，所以在上可取得最值。從而，存在，使得