函數(shù)與幾何綜合題的解題方法

函數(shù)與幾何綜合題的解題方法函數(shù)與幾何綜合題主要有兩類,一類是幾何元素間的函數(shù)關(guān)系問題,簡稱“幾函”問題，其特點是根據(jù)已知幾何圖形間的位置和數(shù)量關(guān)系（如平行、全等、相似，特別是成比例）建立自變量與函數(shù)所表示的幾何元素間的等量關(guān)系，求出函數(shù)關(guān)系式，運用函數(shù)的性質(zhì)去解決幾何圖形中的問題。另一類是函數(shù)圖像中的幾何圖形的問題，簡稱“函幾”問題，其特點是根據(jù)已知函數(shù)圖像中的幾何圖形的位置特征，運用數(shù)形結(jié)合方法解決有關(guān)函數(shù)、幾何問題。下面，筆者就上述兩類典型試題為例，談?wù)労瘮?shù)與幾何綜合題的解題策略。一、綜合使用分析法和綜合法就是從條件與結(jié)論出就是從條件與結(jié)論出發(fā)進(jìn)行聯(lián)想、推理，“由已知得可知”，“從要求到需求”，通過對問題的“兩邊夾擊”，使它們在中間的某個環(huán)節(jié)上產(chǎn)生聯(lián)系，從而使問題得以解決。如本文例5中的第（2）、（3）問的解答就使用了此種方法?！纠?】已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的頂點在直線y=-4x上，并且圖象經(jīng)過點A（-1，0）。（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)此二次函數(shù)與x軸的另一個交點為B，與y軸的交點為C，求經(jīng)過M、B、C三點的⊙O′的直徑長；（3）設(shè)⊙O′與y軸的另一個交點為N，經(jīng)過P（-2，0）、N兩點的直線為l則圓心O′是否在直線l上，請說明理由請說明理由。二、運用方程的思想就是尋找要解決的問題中量與量之間的等量關(guān)系，建立已知量與未知量間的方程，通過解方程從而使問題得到解決；在運用這種思想時，要注意充分挖掘問題的的隱藏條件，尋找等量關(guān)系建立方程或方程組；如本文例2中的第（2）個問題的解決就用到了此種思想。【例2】如圖所示，已知A、B兩點的坐標(biāo)分別為（28，0）和（0，28），動點P從A點開始在線段AO上以每秒3個單位長度的速度向原點O運動，動直線EF從x軸開始以每秒1個單位長度的速度向上平移（即EF∥x軸），并且分別與y軸、線段AB交于E、F點，連結(jié)FP，設(shè)動點P與動直線EF同時出發(fā)，運動時間為t秒。（1）當(dāng)t=1時，求梯形OPFE的面積。t為何值時，梯形OPFE的面積最大，最大面積是多少？（2）當(dāng)梯形OPFE的面積等于三角形APF的面積時，求線段PF的長。（3）設(shè)t的值分別取t1、t2時，（t1≠t2），所對應(yīng)的三角形分別是ΔAF1P1和ΔAF2P2，試判斷這兩個三角形是否相似；請證明你的判斷。 三、注意使用分類討論的思想函數(shù)與幾何結(jié)合的綜合題中往往注意考查學(xué)生的分類討論的數(shù)學(xué)思想，因此在解決這類問題時，一定要多一個心眼兒，多從側(cè)面進(jìn)行縝密地思考，用分類討論的思想探討出現(xiàn)結(jié)論的一切可能性，從而使問題的解答完整無遺。如本文例3中的第（2）、（3）問，要從直角的頂點的位置、矩形的第四個頂點的位置進(jìn)行討論，例3第（2）問中，求面積S與x間的函數(shù)關(guān)系式時，也要分直線l在點C的左邊和右邊兩種情況來討論，千萬不能一蹴而就?！纠?】已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，（1）求二次函數(shù)的解析式及拋物線的頂點M的坐標(biāo)；（2）若點N為線段BM上的一點，過點N作x軸的垂線，垂足為點Q，當(dāng)點N在線段BM上運動時（點N不與點B、點M重合），設(shè)NQ的長為t，四邊形NQAC的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；（3）在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點P，使ΔPAC為直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（4）將ΔOAC補成矩形，使ΔOAC的兩個頂點成為矩形一邊的兩個頂點，第三個頂點落在矩形這邊的對邊上，試直接寫出矩形的未知頂點的坐標(biāo)（不需要計算過程）。四、運用數(shù)形結(jié)合的思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中，“數(shù)”與“形”不是孤立的，它們的辯證統(tǒng)一表現(xiàn)在：“數(shù)”可以準(zhǔn)確地澄清“形”的模糊，而“形”能直觀地啟迪“數(shù)”的計算；使用數(shù)形結(jié)合的思想來解決問題時，要時刻注意由圖形聯(lián)想其性質(zhì)，由性質(zhì)聯(lián)想相應(yīng)的圖形，從而使問題得以簡化；如本文中的例4，在解決y與x間的函數(shù)關(guān)系時，首先根據(jù)圖形的性質(zhì)，建立起線段間的關(guān)系式，然后再利用線段間的關(guān)系，建立y與x間的函數(shù)關(guān)系；在求自變量x的取值范圍時，把自變量所對應(yīng)的幾何元素推到兩個極端的位置，求出相應(yīng)的值，再結(jié)合幾何量的實際意義和題目中的已知條件加以確定?！纠?】如圖，AB為半圓的直徑，O為圓心，AB＝6，延長BA到F，使FA＝AB，若P為線段AF上的一個動點（不與A重合），過P點作半圓的切線，切點為C，過B點作BE⊥PC交PC的延長線于E．設(shè)AC＝x，AC＋BE＝y(tǒng)，求y與x的函數(shù)關(guān)系兩個三角形是否相似；請證明你的判斷。 （二）函數(shù)圖像中的幾何圖形的問題1．三類基本初等函數(shù)中的圖形面積問題解決這類問題時，通常要將坐標(biāo)系中的圖形進(jìn)行分割，一般情況是將它分割成一些兩邊（或三邊）在坐標(biāo)軸上或者兩邊（或三邊）平行于坐標(biāo)軸的三角形（或梯形、矩形）等；同時要注意點到坐標(biāo)軸的距離與點的坐標(biāo)間的區(qū)別，正確利用點的坐標(biāo)來表示線段的長度?！纠?】如圖，直線OC、BC的函數(shù)關(guān)系式分別為y=x和y=﹣2x+6，動點P（x，0）在OB上移動（0＜x＜3），過點P作直線l與x軸垂直．（1）求點C的坐標(biāo)；（2）設(shè)△OBC中位于直線l左側(cè)部分的面積為s，寫出s與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）在直角坐標(biāo)系中畫出（2）中函數(shù)的圖象；（4）當(dāng)x為何值時，直線l平分△OBC的面積？2、三類基本初等函數(shù)中的三角形、四邊形、圓的問題：這類題目一般由1~3問組成，第一問往往是求函數(shù)的解析式，然后在此基礎(chǔ)上再與幾何中的三角形（全等、相似或特殊三角形是否存在等問題）四邊形（面積的函數(shù)關(guān)系式、特殊四邊形是否存在）和圓（直線與圓的位置關(guān)系的判斷、圓中的比例式是否成立）結(jié)合起來，利用初中的主干知識全面考查學(xué)生綜合運用所學(xué)知識解決問題的能力；解決這類綜合性問題時要注意以下幾個問題：【例4】已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，（1）求二次函數(shù)的解析式及拋物線的頂點M的坐標(biāo)；（2）若點N為線段BM上的一點，過點N作x軸的垂線，垂足為點Q，當(dāng)點N在線段BM上運動時（點N不與點B、點M重合），設(shè)NQ的長為t，四邊形NQAC的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；（3）在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點P，使ΔPAC為直角三角形？若存在，求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（4）將ΔOAC補成矩形，使ΔOAC的兩個頂點成為矩形一邊的兩個頂點，第三個頂點落在矩形這邊的對邊上，試直接寫出矩形的未知頂點的坐標(biāo)（不需要計算過程）。【例5】已知二次函數(shù)y=x2+bx+c的頂點在直線y=-4x上，并且圖象經(jīng)過點A（-1，0）。（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）設(shè)此二次函數(shù)與x軸的另一個交點為B，與y軸的交點為C，求經(jīng)過M、B、C三點的⊙O′的直徑長；（3）設(shè)⊙O′與y軸的另一個交點為N，經(jīng)過P（-2，0）、N兩點的直線為l則圓心O′是否在直線l上，請說明理由請說明理由。函數(shù)與幾何綜合題的解題策略：1、綜合使用分析法和綜合法。就是從條件與結(jié)論出就是從條件與結(jié)論出發(fā)進(jìn)行聯(lián)想、推理，“由已知得可知”，“從要求到需求”，通過對問題的“兩邊夾擊”，使它們在中間的某個環(huán)節(jié)上產(chǎn)生聯(lián)系，從而使問題得以解決。如本文例5中的第（2）、（3）問的解答就使用了此種方法；2、運用方程的思想。就是尋找要解決的問題中量與量之間的等量關(guān)系，建立已知量與未知量間的方程，通過解方程從而使問題得到解決；在運用這種思想時，要注意充分挖掘問題的的隱藏條件，尋找等量關(guān)系建立方程或方程組；如本文例2中的第（2）個問題的解決就用到了此種思想；3、注意使用分類討論的思想。函數(shù)與幾何結(jié)合的綜合題中往往注意考查學(xué)生的分類討論的數(shù)學(xué)思想，因此在解決這類問題時，一定要多一個心眼兒，多從側(cè)面進(jìn)行縝密地思考，用分類討論的思想探討出現(xiàn)結(jié)論的一切可能性，從而使問題的解答完整無遺。如本文例4中的第（2）、（3）問，要從直角的頂點的位置、矩形的第四個頂點的位置進(jìn)行討論，例3第（2）問中，求面積S與x間的函數(shù)關(guān)系式時，也要分直線l在點C的左邊和右邊兩種情況來討論，千萬不能一蹴而就；4、運用數(shù)形結(jié)合的思想。在中學(xué)數(shù)學(xué)中，“數(shù)”與“形”不是孤立的，它們的辯證統(tǒng)一表現(xiàn)在：“數(shù)”可以準(zhǔn)確地澄清“形”的模糊，而“形”能直觀地啟迪“數(shù)”的計算；使用數(shù)形結(jié)合的思想來解決問題時，要時刻注意由圖形聯(lián)想其性質(zhì)，由性質(zhì)聯(lián)想相應(yīng)的圖形，從而使問題得以簡化；如本文中的例1，在解決y與x間的函數(shù)關(guān)系時，首先根據(jù)圖形的性質(zhì)，建立起線段間的關(guān)系式，然后再利用線段間的關(guān)系，建立y與x間的函數(shù)關(guān)系；在求自變量x的取值范圍時，把自變量所對應(yīng)的幾何元素推到兩個極端的位置，求出相應(yīng)的值，再結(jié)合幾何量的實際意義和題目中的已知條件加以確定；5、運