電動力學(xué)零二數(shù)學(xué)準(zhǔn)備

電動力學(xué)零二數(shù)學(xué)準(zhǔn)備1第1頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月在一般曲線正交坐標(biāo)系中，空間一點(diǎn)P的位置，用三個坐標(biāo)表示5.曲線正交坐標(biāo)系沿這些坐標(biāo)增加方向的單位矢量單位矢量按一定規(guī)則改變方向2第2頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月以極坐標(biāo)為例3第3頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月在P點(diǎn)上任一矢量可以寫為沿這三個方向的線元4第4頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月在曲線正交坐標(biāo)系中有一般公式5第5頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月6第6頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月常用的曲線正交坐標(biāo)系：（1）柱坐標(biāo)系7第7頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月8第8頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）球坐標(biāo)系9第9頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月10第10頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月6.軸對稱情形下拉普拉斯方程的通解在軸對稱情形下，拉普拉斯方程用球坐標(biāo)表示為11第11頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月用分離變量法解此方程。設(shè)此式左邊為r的函數(shù)，右邊為θ的函數(shù)，只有當(dāng)它們都等于常數(shù)時才有可能相等。12第12頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月令此常數(shù)為n(n+1),則得兩個方程：13第13頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月容易求出解為任意常數(shù)，由邊界條件確定14第14頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月作代換變換角度方程15第15頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月上式稱為勒讓德方程，只有當(dāng)n為整數(shù)時才存在-1≤

≤1區(qū)間的有限解，其解稱為勒讓德多項式，記為得通解16第16頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月用簡單方法求出Pn(cos

)的顯示式:當(dāng)r≠0時點(diǎn)電荷電勢為拉普拉斯方程的解。將下式描述的電勢代入即可驗證17第17頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月對拉普拉斯方程作用算符為一解,若亦為一解亦為解18第18頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月因此，拉普拉斯方程具有特解這些特解都具有形式…19第19頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月比較并按習(xí)慣定義所選的常數(shù)因子，得20第20頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月可以證明Pn(cos

)的一般表達(dá)式為21第21頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月7.并矢和張量一般,兩矢量ab并列即為并矢并矢是張量的一種特殊情形，為什么引入并矢?即為并矢一變形物體在外力作用下其各部分有內(nèi)力相互作用。為研究其內(nèi)力，將變形物體沿某個截面切開，切面的法向單位為n。在截面上某一點(diǎn)單位面積上作用的力矢量為f。f對截面的拉伸：22第22頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月并矢：兩矢量并列，不做任何運(yùn)算有9個分量23第23頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月以動量流密度T來說明張量的意義設(shè)ABC為一面元

S，這面元的三個分量分別等于OBC，OCA和OAB的面積。OABC是一個體積元

V

。24第24頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月通過界面OBC單位面積流入體內(nèi)的動量三個分量為T11，T21，T31通過界面OCA單位面積流入體內(nèi)的動量三個分量為T12，T22，T32通過界面OAB單位面積流入體內(nèi)的動量三個分量為T13，T23，T3325第25頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)體積

V→0時，通過這三個面流入體內(nèi)的動量等于從面元ABC流出的動量。因此，通過ABC面流出的動量各分量為26第26頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月寫成矢量形式為這就是通過面元

s流出的動量。則通過閉合曲面內(nèi)流出的總動量為張量T的分量Tij的意義：通過垂直于j軸的單位面積流過的動量i分量。27第27頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月單位面積內(nèi)力矢量28第28頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月張量是具有9個分量的物理量當(dāng)這9個分量在坐標(biāo)系轉(zhuǎn)動下按一定方式變換時，由它們組成的物理量就稱為張量。并矢是張量的一種特殊情形。29第29頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月可參考平面向量(二維,2個分量)的旋轉(zhuǎn)變換空間向量(三維,3個分量)的旋轉(zhuǎn)變換30第30頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月Ox’與Ox軸、Oy軸、Oz軸夾角

1、1、1Oy’與Ox軸、Oy軸、Oz軸夾角

2、2、2Oz’與Ox軸、Oy軸、Oz軸夾角

3、3、331第31頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月一般張量可以寫為（i,j=1，2，3)三個對角分量為1，其它分量為0。單位張量32第32頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月可以作為張量的9個基直角坐標(biāo)系的單位基矢是在這9個基上的分量33第33頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月并矢與矢量的點(diǎn)乘是一個矢量。（2）張量的代數(shù)運(yùn)算并矢與矢量的點(diǎn)乘規(guī)則：一般而言34第34頁，課件共38頁，創(chuàng)作于2023年2月張量和矢量的點(diǎn)乘單位張量和任意矢量的點(diǎn)乘等于該矢量35第35頁，課件共38頁，創(chuàng)