2023年廣東省深圳市第八屆“鵬程杯”八年級決賽數(shù)學試卷（含解析）

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一、填空題（每題7分，共84分）

1.把用科學記數(shù)法表示為______.

2.計算：的結果是______.

3.若：，則k的值是______.

4.若x是最接近的整數(shù)，則______.

5.不等式組的整數(shù)解中，最小值與最大值之和為______.

6.分式方程的解為______.

7.如圖所示，ABCD中，的平分線交BC邊于點M，而MD平分，若，則______.

8.如圖，在中，，，，BC邊的垂直平分線分別交BC、AC于點D、E，則AE長為______.

9.在平面直角坐標系中，、、，點C在一象限，若以O、A、B、C為頂點的四邊形為平行四邊形，則點C的坐標為______.

10.如圖，將邊長為4的等邊沿射線BC平移得到，點M，N分別為AC，DF的中點，點P是線段MN的中點，連接PA，當為直角三角形時，______.

11.定義一種對正整數(shù)n的“F運算”：①當n為奇數(shù)時，結果為；②當n為偶數(shù)時，結果為其中k是使為奇數(shù)的最小正整數(shù)，并且運算重復進行．例如：取，則運算過程如圖：那么當時，第2022次“F運算“的結果是______.

12.如圖，已知點，點，在y軸上取一點C，連接AC，將線段AC繞點C順時針旋轉到CD，連接AD，BD，當取最小值時，點C的坐標是______.

二、解答題（第13至第16題每題12分，第17題18分共66分）

13.小知識：關于x的方程有兩個不相等實數(shù)根，例如，方程的根為，

解關于x的方程，其中a，b是兩個不相等的非零常數(shù)；

應用的結論解關于x的方程，其中

14.疫情期間，某企業(yè)每日需向疫情嚴重的地區(qū)捐贈20萬只口罩．該企業(yè)原口罩日產(chǎn)量為40萬只，經(jīng)政府出資兩次加大設備投入后，日產(chǎn)量提升為90萬只．每日用于銷售的口罩當日全部售出，且每只口罩的成本和銷售單價始終不變．該企業(yè)原來每日虧損4萬元，加大設備投入后，每日盈利11萬元．

求兩次口罩日產(chǎn)量的平均增長率．

求每只口罩的成本和單價．

該企業(yè)將每天生產(chǎn)的口罩打成90包每包1萬只現(xiàn)從捐贈和自行銷售的口罩中分別抽取若干包以成本價支持本地防疫工作．企業(yè)規(guī)定口罩捐贈量高于自行銷售量的若企業(yè)每日仍盈利4萬元，則從捐贈和自行銷售的口罩中各抽取多少包？

15.已知：如圖1所示將一塊等腰三角板BMN放置與正方形ABCD的重合，連接AN、CM，E是AN的中點，連接

[觀察猜想]

與BE的數(shù)量關系是______；CM與BE的位置關系是______；

[探究證明]

如圖2所示，把三角板BMN繞點B逆時針旋轉，其他條件不變，線段CM與BE的關系是否仍然成立，并說明理由；

[拓展延伸]

若旋轉角，且，求的值.

16.介紹一個“能被13整除的數(shù)的特征”的小知識：一個多位數(shù)數(shù)位大于或等于的末三位數(shù)與末三位數(shù)以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差記為，如果能被13整除，那么這個多位數(shù)就一定能被13整除，如果不能被13整除，那么這個多位數(shù)就不能被13整除.

例如數(shù)字160485，因為，，所以能被13整除，所以160485也能被13整除.

試用上述方法判斷16133能否被13整除.

若m，n均為13的倍數(shù)，且，，且a，b，c均為整數(shù)規(guī)定，當時，求的最大值.

17.在平面直角坐標系中，O為坐標原點，直線交x軸的負半軸于點A，交y軸的正半軸于點B，，點C在x軸的正半軸上，

如圖1，求直線BC的解析式；

如圖2，點D在第四象限的直線BC上，于點E，，求點D的坐標；

如圖3，在的條件下，點F在線段OA上，點G在線段OB上，射線FG交直線BC于點H，若，，求點H的坐標.

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：把用科學記數(shù)法表示：

故答案為：

絕對值小于1的正數(shù)也可以利用科學記數(shù)法表示，一般形式為，與較大數(shù)的科學記數(shù)法不同的是其所使用的是負整數(shù)指數(shù)冪，指數(shù)由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．

本題考查用科學記數(shù)法表示較小的數(shù)，一般形式為，其中，n為由原數(shù)左邊起第一個不為零的數(shù)字前面的0的個數(shù)所決定．

2.【答案】

【解析】解：

，

故答案為：

先化簡各式，然后再進行計算即可解答．

本題考查了實數(shù)的運算，零指數(shù)冪，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．

3.【答案】2000

【解析】解：，

，

，

即，

，

，

故答案為：

利用完全平方公式將等式的右邊變形后，利用等式的性質(zhì)解答即可．

本題主要考查了完全平方公式的應用，利用完全平方公式將式子適當變形是解題的關鍵．

4.【答案】1

【解析】解：原式

，

最接近的整數(shù)是2，

原式，

故答案為：

根據(jù)分式的除法法則、減法法則把原式化簡，根據(jù)無理數(shù)的估算方法求出x，代入計算即可．

本題考查的是分式的化簡求值、估算無理數(shù)的大小，掌握分式的混合運算法則是解題的關鍵．

5.【答案】0

【解析】解：由得：，

由得：，

則不等式組的解集為，

所以不等式組的整數(shù)解為、0、1，

所以最小值與最大值之和為0；

分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集，繼而可得其整數(shù)解．

本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到”的原則是解答此題的關鍵．

6.【答案】

【解析】解：，

，

解得：，

檢驗：當時，，

是原方程的根，

故答案為：

按照解分式方程的步驟，進行計算即可解答．

本題考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必須檢驗．

7.【答案】

【解析】解：平行四邊形ABCD，

，，

，

的平分線AM，MD平分，

，，

，，

即：，且，

解得：，

，

故答案為：

由平行四邊形推出，，由三角形的內(nèi)角和定理得到，因為，解方程組即可求出，進一步求出和的度數(shù)．

本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的意義等知識點，求出和是解此題的關鍵．

8.【答案】

【解析】解：連接BE，如圖，

垂直平分BC，

，

，

為等腰直角三角形，

，

，，

故答案為：

連接BE，如圖，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，則可證明為等腰直角三角形，所以，然后利用含30度角的直角三角形三邊的關系求AE的長．

本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．

9.【答案】或

【解析】解：點C在一象限，

分兩種情況，如圖所示：

①OB為對角線時，

當，時，四邊形OABC是平行四邊形，

、、，

把點B向左平移3個單位，再向上平移1個單位得到點C，

點C的坐標為；

②AB為對角線時，

當，時，四邊形是平行四邊形，

、、，

把點B向右平移3個單位，再向下平移1個單位得到點C，

點C的坐標為；

綜上所述，若以O、A、B、C為頂點的四邊形為平行四邊形，則點C的坐標為或，

故答案為：或

畫出圖形，分兩種情形，由平行四邊形的性質(zhì)、坐標的平移分別求解即可．

本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、坐標與圖形性質(zhì)等知識，解題的關鍵是畫出圖形，分情況討論．

10.【答案】4或8

【解析】解：①當時．

，M為AC中點．

，點P是線段MN的中點．

即向右平移

②當時．

為AC中點，

在中，，

點P是線段MN的中點．

即向右平移

故答案為：4或

本題先根據(jù)為直角三角形進行分類討論：①當時，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊上的一半，即可求出PM，進而求出MN，BE長度就解決了．②當時，根據(jù)直角三角形中，角所對直角邊是斜邊長度的一半，可以求出，進而求出MN，BE長度就解決了．

本題考查等邊三角形的性質(zhì)，平移的相關知識，掌握直角三角形斜邊中線等于斜邊上的一半，以及直角三角形中，角所對直角邊是斜邊長度的一半是解決本題的關鍵．

11.【答案】1

【解析】解：由題意可得，

當時，

第1次“F運算“的結果是32，

第2次“F運算“的結果是1，

第3次“F運算“的結果是8，

第4次“F運算“的結果是1，

第5次“F運算“的結果是8，

…，

由上可得，從第2次開始，每兩次為一個循環(huán)，依次以1，8出現(xiàn)，

……1，

故第2022次“F運算“的結果是1，

故答案為：

根據(jù)題意，可以寫出前幾次的運算結果，從而可以發(fā)現(xiàn)輸出結果的變化特點，從而可以寫出第2022次“F運算“的結果．

本題考查有理數(shù)的混合運算，解答本題的關鍵是發(fā)現(xiàn)運算結果的變化特點，寫出相應次數(shù)的結果．

12.【答案】

【解析】解：設點C為，

線段AC繞點C順時針旋轉到CD，

，

設，，

可得：，

點D在上，

作點A關于直線的對稱點，連接MB交于，連接，此時的值最小，最小值為BM的長．

，

，，

設直線BM的解析式為，

，

解得：，

，

解：，

得：，

，

，

，

故答案為：

根據(jù)題意畫出圖形結合一次函數(shù)的知識，求出點的坐標，進而求出點C的坐標．

本題主要考查了最短路徑的知識、一次函數(shù)的知識，難度較大，畫出圖形是解答的關鍵．

13.【答案】解：方程兩邊同乘以x得：，

，

，，

，b是兩個不相等的非零常數(shù)，

，

經(jīng)檢驗，，是原方程的解；

原方程可化為：，

由得：或，

，

，

經(jīng)檢驗：，是原方程的解．

【解析】先化為整式方程，再用分解因式法求解；

先把方程化為中的形式，再代入求解．

本題考查了一元二次方程解法，掌握因式分解法是解題的關鍵．

14.【答案】解：設兩次口罩日產(chǎn)量的平均增長率為x，

根據(jù)題意得，

解得，不符合題意，舍去，

答：兩次口罩日產(chǎn)量的平均增長率為

設每只口罩的成本為m元，銷售單價為n元，

依題意得：，

解得，

答：每只口罩的成本為元，單價為元．

設每日從捐贈的口罩中抽取a包，從自行銷售的口罩中抽取b包，

由題意可知，每日捐贈口罩20萬只，即20包；每日自行銷售口罩70萬只，即70包，

元，元，

每包口罩的成本價是5000元，銷售單價是8000元，

根據(jù)題意得，

整理得，

，

，

，

，

，

、b都是正整數(shù)，

或或，

答：從捐贈和自行銷售的口罩中各抽取7包、35包或4包、30包或1包、25包．

【解析】設兩次口罩日產(chǎn)量的平均增長率為x，可列方程，解方程求出符合題意的x值即可；

設每只口罩的成本為m元，銷售單價為n元，根據(jù)原來每日虧損4萬元，加大設備投入后每日盈利11萬元列方程組求出m、n的值即可；

設每日從捐贈的口罩中抽取a包，從自行銷售的口罩中抽取b包，先計算出每日捐贈口罩20萬只，即20包；每日自行銷售口罩70萬只，即70包，每包口罩的成本價是5000元，銷售單價是8000元，再根據(jù)每日盈利4萬元列方程，根據(jù)口罩捐贈量高于自行銷售量的列不等式，解方程和不等式求出a、b的整數(shù)解即可．

此題考查解一元二次方程、列一元二次方程解應用題、不等式的應用等知識與方法，正確地用代數(shù)式表示口罩的成本、單價和利潤是解題的關鍵．

15.【答案】相互垂直

【解析】解：設AN交CM于點H，

為等腰直角三角形，

，

，，

≌，

，，

點E是AN的中點，則，即，

，

，

即，

故答案為：，相互垂直；

，，仍然成立．

如圖所示，延長BE至F使，連接AF，

，，

≌，

，，

，，

，

而，

，

，，

≌，

，，

，

，

；

由得，

，則，

由知，，

，

過點C作于點G，設，則，，

，

設證明≌，由點E是AN的中點，得到，進而求解；

證明≌和≌，得到，，進而求解；

證明，過點C作于點G，設，則，，則，即可求解．

本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)、直角三角形中線定理、解直角三角形、三角形全等等，綜合性強，難度較大．

16.【答案】解：由題知，

，

所以能被13整除，

所以16133也能被13整除．

由可知，m是一個四位數(shù)，且千位數(shù)字為1，百位數(shù)字為a，十位數(shù)字為2，個位數(shù)字為

則，

又m為13的倍數(shù)，所以能被13整除．

而，又，

所以或26或39或52或65或78或91，

則或或或或或或

又a為整數(shù)，所以

則

又

所以

又因為，

同理可得出

所以，

則，

又，，

所以①當，時，；

②當，時，；

③當，時，；

④當，時，；

⑤當，時，

又，

所以的最大值為

【解析】根據(jù)題目所給的判定方法，可判斷16133能否被13整除．

根據(jù)m，n均為13的倍數(shù)，可求出a的值及b，c之間的關系式，再由它們的取值范圍去確定它們的取值，分類之后，可得出的最大值．

本題考查了用字母表示多位數(shù)，運算能力以及分類討論的數(shù)學思想．

17.【答案】解：直線交x軸的負半軸于點A，交y軸的正半軸于點B，

，，

，

在中，，，

由勾股定理可得，，解得，舍去，

，

，

，

，

設直線BC的解析式為，

，解得，

直線BC的解析式為

過點D作軸交直線AB于點K，

，

，

，

設點D的橫坐標為t，則，，

，解得，

過點E作于點L，

，

，

，

點的橫坐標為，

，

連接OD，過點E作軸于點M，則，

，

，

，

在OG上截取，連接EN，

，

≌，

，，

，

，

，

又，

，

，設，則，，，

在y軸負半軸上截取，連接FP，則OF垂直平分NP，

，

，

，

，

設，則，則，，

在中，由勾股定理可得，，解得，舍去，

，，

，，

設直線FG的解析式為，

，解得，

直線FG的解析式為