電磁場與電磁波課件之鏡像法

電磁場與電磁波課件之鏡像法第1頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月1.點電荷對無限大接地導體平面的鏡像

一.接地導體平面的鏡像

上半場域邊值問題(導板及無窮遠處)(S為包圍q的閉合面)(除q所在點外的區(qū)域)導體表面上感應電荷第2頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月由此可見，電場線處處垂直于導體平面，而零電位面與導體表面吻合。電場線與等位面的分布電偶極子的上半部分完全相同。z

電場線等位線電荷守恒：當點電荷q

位于無限大的導體平面附近時，導體表面將產(chǎn)生異性的感應電荷，因此，上半空間的電場取決于原先的點電荷及導體表面上的感應電荷?？梢?，上述鏡像法的實質(zhì)是以一個異性的鏡像點電荷代替導體表面上異性的感應電荷的作用。根據(jù)電荷守恒原理，鏡像點電荷的電量應該等于這些感應電荷的總電量。半空間等效：上述等效性僅對于導體平面的上半空間成立，因為在上半空間中，源及邊界條件未變。第3頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月例求空氣中一個點電荷在地面引起的感應電荷分布情況。解:設點電荷離地面高度為h方向指向地面整個地面上感應電荷的總量第4頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月例真空中，電量為的點電荷位于點處，平面是一個無限大的接地導體板。⑴求軸上電位為的點的坐標；⑵計算該點的電場強度。解:⑴根據(jù)鏡像法可知上半空間的電位由可解得第5頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月將代入，得⑵當時，軸上的電場強度將代入，得當時，軸上的電場強度第6頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月2.

線電荷對無限大接地導體平面的鏡像在的上半空間中，電位函數(shù)為沿軸方向的無限長直線電荷位于無限大接地導體平面的上方其鏡像電荷仍是無限長線電荷第7頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月3.點電荷對相交半無限大接地導體平面的鏡像可看作是把導體平面撤去，整個空間均勻，由４個點電荷所引起的。第8頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月

q半無限大導體平面形成劈形邊界。但是僅當這種導體劈的夾角等于

的整數(shù)分之一時，才可求出其鏡像電荷。為了保證這種劈形邊界的電位為零，必須引入幾個鏡像電荷。例如，夾角為的導電劈需引入5

個鏡像電荷。

/3

/3q若兩導體平面相交成角,，為整數(shù)為個只要就可用鏡像法求解，其鏡像電荷數(shù)為有限的，第9頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月例線電荷密度為的無限長直導線位于無限大導體平板（處）的上方處，沿軸方向。試求該導體板上的點處的感應電荷密度。解:去掉導體平板，在處放置線電荷密度為的鏡像線電荷替代其作用。P點電場強度為第10頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月P點處的感應電荷面密度則為第11頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月1.點電荷對接地導體球面的鏡像

二.導體球面的鏡像

設點電荷位于一個半徑為的接地導體球外，與球心距離為。導體球面將產(chǎn)生感應電荷，導體球外的電位應由點電荷和感應電荷共同產(chǎn)生。這類問題可用鏡像法求解。把導體球面移去，用一個鏡像電荷來等效球面上的感應電荷。為了不改變球面上的電荷分布，鏡像電荷必須放置在導體球面內(nèi)。由于對稱性鏡像電荷應位于球心與點電荷的連線上。第12頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月設鏡像電荷，與球心距離為。任一點電位函數(shù)為導體球接地有第13頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月解得（舍去）由惟一性定理，球外的電位函數(shù)為球面上的感應電荷面密度為導體球面上的總感應電荷為第14頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月當點電荷位于接地導體球內(nèi)，與球心距離為（）。鏡像電荷應放置在球外，且在球心與點電荷的連線的延長線上。設鏡像電荷，與球心距離為。可得由于，所以必有。即在這種情況下，鏡像電荷的電荷量大于點電荷的電荷量。球殼外的電位，球殼內(nèi)的電位函數(shù)為球面上的感應電荷面密度為導體球面上的總感應電荷為這種情況下，鏡像電荷并不等于感應電荷。第15頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月2.點電荷對不接地導體球面的鏡像

設點電荷位于一個半徑為的不接地導體球外，與球心距離為。注意到：①導體球面是一個電位不為零的等位面；②由于導體球未接地，在點電荷的作用下，球面上總的感應電荷為零?？捎苗R像法計算球外的電位函數(shù)。分析：先設想導體球接地，情況如前。點電荷和鏡像電荷使導體球的電位為零，不符電位條件，球面上總感應電荷也不為零。第16頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月再斷開接地線，并將電荷加于導體球上，球面感應電荷為零。且使在球面上均勻分布，保證為導體球面為等位面。這樣電荷可用一個位于球心的鏡像電荷來替代。球外任一點電位函數(shù)為第17頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月點電荷位于不接地導體球附近的場圖第18頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月三.導體圓柱面的鏡像1.線電荷對導體圓柱面的鏡像一根線電荷密度為的無限長線電荷位于半徑為的無限長接地導體圓柱面外，且與圓柱軸線平行，線電荷到軸線的距離為。為使導體圓柱面成為電位為零的等位面，鏡像電荷應是位于圓柱面內(nèi)部且與軸線平行的無限長線電荷。第19頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月設鏡像線電荷密度為，由于對稱性其必定位于線電荷與圓柱軸線所決定的平面上，設鏡像電荷距圓柱的軸線為。第20頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月對任意都成立，再對求導，可得有解得（舍去）由惟一性定理，導體圓柱面外的電位函數(shù)為由得第21頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月導體圓柱面上的感應電荷面密度為導體圓柱面上單位長度的總感應電荷為即，導體圓柱面上單位長度的感應電荷與所設置的鏡像電荷相等。第22頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月由于電場相互影響，導致導體表面電荷分布不均勻，相對的一側電荷密度較大，而相背的一側電荷密度較小。2.兩平行圓柱導體的電軸應用線電荷對接地導體圓柱面的鏡像法，分析兩半徑相同、帶有等量異號電荷的平行長直導體圓柱周圍的電場問題。兩半徑都為的平行導體圓柱，軸線間距為，單位長度分別帶電荷和。帶電細導線所在的位置稱為帶電圓柱導體的電軸，這種方法又稱電軸法。設想：將兩導體圓柱撤去，其表面電荷用線密度分別為和、且相距為的兩根無限長帶電細線來替代。實際是將和看成是互為鏡像。第23頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月電軸的位置解得導體圓柱外空間任一點的電位函數(shù)（為線電荷密度分別為和的兩平行雙線產(chǎn)生的電位疊加）電軸法的基本原理也可以應用到兩個帶有等量異號電荷但不同半徑的平行無限長圓柱導體間的電位函數(shù)的求解問題。第24頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月四.介質(zhì)平面的鏡像1.點電荷對電介質(zhì)分界平面的鏡像含有無限大介質(zhì)分界平面的問題，也可采用鏡像法求解。在計算電介質(zhì)1中的電位時，用置于介質(zhì)2中的鏡像電荷來代替分界面上的極化電荷，并把整個空間看作充滿介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)。在計算電介質(zhì)2中的電位時，用置于介質(zhì)1中的鏡像電荷來代替分界面上的極化電荷，并把整個空間看作充滿介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)。第25頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月空間任意一點的電位函數(shù)為和的量值，由邊界條件確定得解得第26頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月點電荷位于不同介質(zhì)平面上方的場圖第27頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月2.線電荷對磁介質(zhì)分界平面的鏡像在計算磁介質(zhì)1中的磁場時，用置于介質(zhì)2中的鏡像線電流來代替分界面上的磁化電流，并把整個空間看作充滿磁導率為的均勻介質(zhì)。在計算磁介質(zhì)2中的磁場時，用置于介質(zhì)1中的鏡像線電流