電磁場(chǎng)與電磁波課件之鏡像法

電磁場(chǎng)與電磁波課件之鏡像法第1頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月1.點(diǎn)電荷對(duì)無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像

一.接地導(dǎo)體平面的鏡像

上半場(chǎng)域邊值問題(導(dǎo)板及無窮遠(yuǎn)處)(S為包圍q的閉合面)(除q所在點(diǎn)外的區(qū)域)導(dǎo)體表面上感應(yīng)電荷第2頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月由此可見，電場(chǎng)線處處垂直于導(dǎo)體平面，而零電位面與導(dǎo)體表面吻合。電場(chǎng)線與等位面的分布電偶極子的上半部分完全相同。z

電場(chǎng)線等位線電荷守恒：當(dāng)點(diǎn)電荷q

位于無限大的導(dǎo)體平面附近時(shí)，導(dǎo)體表面將產(chǎn)生異性的感應(yīng)電荷，因此，上半空間的電場(chǎng)取決于原先的點(diǎn)電荷及導(dǎo)體表面上的感應(yīng)電荷。可見，上述鏡像法的實(shí)質(zhì)是以一個(gè)異性的鏡像點(diǎn)電荷代替導(dǎo)體表面上異性的感應(yīng)電荷的作用。根據(jù)電荷守恒原理，鏡像點(diǎn)電荷的電量應(yīng)該等于這些感應(yīng)電荷的總電量。半空間等效：上述等效性僅對(duì)于導(dǎo)體平面的上半空間成立，因?yàn)樵谏习肟臻g中，源及邊界條件未變。第3頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月例求空氣中一個(gè)點(diǎn)電荷在地面引起的感應(yīng)電荷分布情況。解:設(shè)點(diǎn)電荷離地面高度為h方向指向地面整個(gè)地面上感應(yīng)電荷的總量第4頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月例真空中，電量為的點(diǎn)電荷位于點(diǎn)處，平面是一個(gè)無限大的接地導(dǎo)體板。⑴求軸上電位為的點(diǎn)的坐標(biāo)；⑵計(jì)算該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。解:⑴根據(jù)鏡像法可知上半空間的電位由可解得第5頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月將代入，得⑵當(dāng)時(shí)，軸上的電場(chǎng)強(qiáng)度將代入，得當(dāng)時(shí)，軸上的電場(chǎng)強(qiáng)度第6頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月2.

線電荷對(duì)無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像在的上半空間中，電位函數(shù)為沿軸方向的無限長(zhǎng)直線電荷位于無限大接地導(dǎo)體平面的上方其鏡像電荷仍是無限長(zhǎng)線電荷第7頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月3.點(diǎn)電荷對(duì)相交半無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像可看作是把導(dǎo)體平面撤去，整個(gè)空間均勻，由４個(gè)點(diǎn)電荷所引起的。第8頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月

q半無限大導(dǎo)體平面形成劈形邊界。但是僅當(dāng)這種導(dǎo)體劈的夾角等于

的整數(shù)分之一時(shí)，才可求出其鏡像電荷。為了保證這種劈形邊界的電位為零，必須引入幾個(gè)鏡像電荷。例如，夾角為的導(dǎo)電劈需引入5

個(gè)鏡像電荷。

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/3q若兩導(dǎo)體平面相交成角,，為整數(shù)為個(gè)只要就可用鏡像法求解，其鏡像電荷數(shù)為有限的，第9頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月例線電荷密度為的無限長(zhǎng)直導(dǎo)線位于無限大導(dǎo)體平板（處）的上方處，沿軸方向。試求該導(dǎo)體板上的點(diǎn)處的感應(yīng)電荷密度。解:去掉導(dǎo)體平板，在處放置線電荷密度為的鏡像線電荷替代其作用。P點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度為第10頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月P點(diǎn)處的感應(yīng)電荷面密度則為第11頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月1.點(diǎn)電荷對(duì)接地導(dǎo)體球面的鏡像

二.導(dǎo)體球面的鏡像

設(shè)點(diǎn)電荷位于一個(gè)半徑為的接地導(dǎo)體球外，與球心距離為。導(dǎo)體球面將產(chǎn)生感應(yīng)電荷，導(dǎo)體球外的電位應(yīng)由點(diǎn)電荷和感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生。這類問題可用鏡像法求解。把導(dǎo)體球面移去，用一個(gè)鏡像電荷來等效球面上的感應(yīng)電荷。為了不改變球面上的電荷分布，鏡像電荷必須放置在導(dǎo)體球面內(nèi)。由于對(duì)稱性鏡像電荷應(yīng)位于球心與點(diǎn)電荷的連線上。第12頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)鏡像電荷，與球心距離為。任一點(diǎn)電位函數(shù)為導(dǎo)體球接地有第13頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月解得（舍去）由惟一性定理，球外的電位函數(shù)為球面上的感應(yīng)電荷面密度為導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷為第14頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)點(diǎn)電荷位于接地導(dǎo)體球內(nèi)，與球心距離為（）。鏡像電荷應(yīng)放置在球外，且在球心與點(diǎn)電荷的連線的延長(zhǎng)線上。設(shè)鏡像電荷，與球心距離為?？傻糜捎冢员赜?。即在這種情況下，鏡像電荷的電荷量大于點(diǎn)電荷的電荷量。球殼外的電位，球殼內(nèi)的電位函數(shù)為球面上的感應(yīng)電荷面密度為導(dǎo)體球面上的總感應(yīng)電荷為這種情況下，鏡像電荷并不等于感應(yīng)電荷。第15頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月2.點(diǎn)電荷對(duì)不接地導(dǎo)體球面的鏡像

設(shè)點(diǎn)電荷位于一個(gè)半徑為的不接地導(dǎo)體球外，與球心距離為。注意到：①導(dǎo)體球面是一個(gè)電位不為零的等位面；②由于導(dǎo)體球未接地，在點(diǎn)電荷的作用下，球面上總的感應(yīng)電荷為零。可用鏡像法計(jì)算球外的電位函數(shù)。分析：先設(shè)想導(dǎo)體球接地，情況如前。點(diǎn)電荷和鏡像電荷使導(dǎo)體球的電位為零，不符電位條件，球面上總感應(yīng)電荷也不為零。第16頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月再斷開接地線，并將電荷加于導(dǎo)體球上，球面感應(yīng)電荷為零。且使在球面上均勻分布，保證為導(dǎo)體球面為等位面。這樣電荷可用一個(gè)位于球心的鏡像電荷來替代。球外任一點(diǎn)電位函數(shù)為第17頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月點(diǎn)電荷位于不接地導(dǎo)體球附近的場(chǎng)圖第18頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月三.導(dǎo)體圓柱面的鏡像1.線電荷對(duì)導(dǎo)體圓柱面的鏡像一根線電荷密度為的無限長(zhǎng)線電荷位于半徑為的無限長(zhǎng)接地導(dǎo)體圓柱面外，且與圓柱軸線平行，線電荷到軸線的距離為。為使導(dǎo)體圓柱面成為電位為零的等位面，鏡像電荷應(yīng)是位于圓柱面內(nèi)部且與軸線平行的無限長(zhǎng)線電荷。第19頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)鏡像線電荷密度為，由于對(duì)稱性其必定位于線電荷與圓柱軸線所決定的平面上，設(shè)鏡像電荷距圓柱的軸線為。第20頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月對(duì)任意都成立，再對(duì)求導(dǎo)，可得有解得（舍去）由惟一性定理，導(dǎo)體圓柱面外的電位函數(shù)為由得第21頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月導(dǎo)體圓柱面上的感應(yīng)電荷面密度為導(dǎo)體圓柱面上單位長(zhǎng)度的總感應(yīng)電荷為即，導(dǎo)體圓柱面上單位長(zhǎng)度的感應(yīng)電荷與所設(shè)置的鏡像電荷相等。第22頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月由于電場(chǎng)相互影響，導(dǎo)致導(dǎo)體表面電荷分布不均勻，相對(duì)的一側(cè)電荷密度較大，而相背的一側(cè)電荷密度較小。2.兩平行圓柱導(dǎo)體的電軸應(yīng)用線電荷對(duì)接地導(dǎo)體圓柱面的鏡像法，分析兩半徑相同、帶有等量異號(hào)電荷的平行長(zhǎng)直導(dǎo)體圓柱周圍的電場(chǎng)問題。兩半徑都為的平行導(dǎo)體圓柱，軸線間距為，單位長(zhǎng)度分別帶電荷和。帶電細(xì)導(dǎo)線所在的位置稱為帶電圓柱導(dǎo)體的電軸，這種方法又稱電軸法。設(shè)想：將兩導(dǎo)體圓柱撤去，其表面電荷用線密度分別為和、且相距為的兩根無限長(zhǎng)帶電細(xì)線來替代。實(shí)際是將和看成是互為鏡像。第23頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月電軸的位置解得導(dǎo)體圓柱外空間任一點(diǎn)的電位函數(shù)（為線電荷密度分別為和的兩平行雙線產(chǎn)生的電位疊加）電軸法的基本原理也可以應(yīng)用到兩個(gè)帶有等量異號(hào)電荷但不同半徑的平行無限長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體間的電位函數(shù)的求解問題。第24頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月四.介質(zhì)平面的鏡像1.點(diǎn)電荷對(duì)電介質(zhì)分界平面的鏡像含有無限大介質(zhì)分界平面的問題，也可采用鏡像法求解。在計(jì)算電介質(zhì)1中的電位時(shí)，用置于介質(zhì)2中的鏡像電荷來代替分界面上的極化電荷，并把整個(gè)空間看作充滿介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)。在計(jì)算電介質(zhì)2中的電位時(shí)，用置于介質(zhì)1中的鏡像電荷來代替分界面上的極化電荷，并把整個(gè)空間看作充滿介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)。第25頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月空間任意一點(diǎn)的電位函數(shù)為和的量值，由邊界條件確定得解得第26頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月點(diǎn)電荷位于不同介質(zhì)平面上方的場(chǎng)圖第27頁，課件共30頁，創(chuàng)作于2023年2月2.線電荷對(duì)磁介質(zhì)分界平面的鏡像在計(jì)算磁介質(zhì)1中的磁場(chǎng)時(shí)，用置于介質(zhì)2中的鏡像線電流來代替分界面上的磁化電流，并把整個(gè)空間看作充滿磁導(dǎo)率為的均勻介質(zhì)。在計(jì)算磁介質(zhì)2中的磁場(chǎng)時(shí)，用置于介質(zhì)1中的鏡像線電流