2021屆高三入學調研數學試卷（四）（解析版）

（新高考）2021屆高三入學調研試卷數學（四）

第I卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.

1.設集合M={幻/一5尢+6<0},集合N={x|x>0},則〃UN=（）

A.B.{x\x<3}C.{x\x<2}D.1x|2<x<31

2.復數Z滿足（l+i>z=-l+i,其中i為虛數單位，則復數Z=()

A.1+iB.1-iC.iD.-i

一.2

3.己知sina=一,貝!1cos(—2a)=()

3

j_1c6

A.BD石

9933

4.已知向量。=（匕3）,向量b=（l,4）,若a_L方，則實數（)

33

A.12B.-12C.一D.——

44

5.已知正方體與GR的棱長為1,則直線與直線AC所成角的余弦值為

()

D.B

A.Bci

~2T2

X22

6.已知雙曲線一一二=l（“〉0力〉0）的一條漸近線平行于直線/：x+2y+5=0,則雙

a~b~

曲線的離心率為（)

R&D.,

A.o.--L.--

2222

7.《張丘建算經》是我國北魏時期大數學家張丘建所著，約成書于公元466-485年間。其中

記載著這么一道“女子織布”問題：某女子善于織布，一天比一天織得快，且每日增加的數量

相同。已知第一日織布5尺，30日共織布390尺，則該女子織布每日增加（）尺.

72931

8.根據中央關于精準脫貧的要求，某市某農業(yè)經濟部門隨機派遣甲、乙等共4位專家對3

個縣區(qū)進行調研，每個縣區(qū)至少派1位專家，則甲、乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)的概率為

（）

]_]_

A.B.C.D.

6432

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，

有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得。分.

9.Ke印是一款具有社交屬性的健身4尸尸，致力于提供健身教學、跑步、騎行、交友及健身

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天的訓練進程.不僅如此,它還可以根據不同人的體質，制定不同的健身計劃.小明根據Keep

記錄的2019年1月至2019年11月期間每月跑步的里程（單位：十公里）數據整理并繪制了

下面的折線圖.根據該折線圖，下列結論正確的是（）

A.月跑步里程最小值出現在2月

B.月跑步里程逐月增加

C.月跑步里程的中位數為5月份對應的里程數

D.1月至5月的月跑步里程相對于6月至11月波動性更小

10.已知函數/（x）=sinx+cosx+卜inx-cosx|,下列結論不正確的是（）

兀

A.函數圖像關于x=一對稱

4

7T兀

B.函數在一二,二上單調遞增

44

C.若|/（司）|+|/（工2）|=4,則%+%=5+2版（kwZ）

D.函數/（x）的最小值為一2

11.下列選項中正確的是（）

A.不等式°+而恒成立B.存在實數a,使得不等式。+_142成立

a

C.若a、人為正實數，則D.若正實數x，y滿足x+2y=l,則

ab

2+4

%y

12.在空間中，已知是兩條不同的直線，％尸是兩個不同的平面，則下列選項中正確的

是（）

A.若a〃人，且b1/3,則a〃/

B.若a，。，且?！╝,b///3,則

C.若。與。相交，且,則a與尸相交

D.若aLb,且?！╝,b//p,則a_L/?

第H卷

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.函數/（x）=lnx在點（1,0）的切線方程為.

14.二項式（2x+l）7的展開式中d的系數是.

15.若拋物線尸=4x上的點M到焦點的距離為10,則M點到歹軸的距離是.

16.己知lg3=a,則lg30=（用。表示）；100“=.（用整數值表示）.

四、解答題：本大題共6個大題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.

131

17.(10分)從①%二74〃?！?，②c〃=-----，③%=-j----這三個條件中任選一個補充

364+21+1

b.

到下面問題中.已知等差數列｛4｝的公差為4,前〃項和為S,,遞減的等比數列｛包｝的公

比為q.是方程2爐—5x+2=0的兩個實數根，且83=9,q=24.

(1)求凡和〃“；

(2)若，求證：c,+c2+L+c“<l.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第二個解答計分.

18.(12分)在△A3C中，內角AB,。所對的邊分別為已知〃+c=2a,

3csin3=4asinC.

(1)求cosZ?的值；

(2)求sin(2B+=］的值.

19.（12分）如圖，四棱錐P—ABC。中，AB=AD=2BC=2,BC//AD,ABLAD>

△尸3。為正三角形，且PA=26.

(1)證明：直線ABJ_平面PBC；

(2)若四棱錐P—ABCD的體積為2，E是線段。。的中點，求直線PE與平面P8C所

成角的正弦值.

20.(12)設“力=內3+版+「為奇函數，其圖象在點處的切線與直線

x—6y—7=0垂直，導函數/'(X)的最小值為一12.

(1)求a、b>c的值；

(2)求函數/(x)的單調遞增區(qū)間，極大值和極小值，并求函數“X)在［-1,3］上的最大

值與最小值.

22

21.（12分）已知橢圓C：與+4=1（?>^>0）的一個焦點為產（右,0）,且該橢圓經

a2b2

（1）求橢圓C的方程；

（2）過點/作直線/與橢圓C交于不同的兩點A、B，試問在x軸上是否存在定點Q,使

得直線QA與直線QB恰關于x軸對稱？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，說明理由.

22.（12分）已知6名某疾病病毒密切接觸者中有1名感染病毒，其余5名健康，需要通過

化驗血液來確定感染者.血液化驗結果呈陽性的即為感染者，呈陰性即為健康.

（1）若從這6名密切接觸者中隨機抽取3名，求抽到感染者的概率；

（2）血液化驗確定感染者的方法有：①逐一化驗；②平均分組混合化驗：先將血液樣本平

均分成若干組，對組內血液混合化驗，若化驗結果呈陰性，則該組血液不含病毒；若化驗結

果呈陽性，則對該組的備份血液逐一化驗，直至確定感染者.

（i）采取逐一化驗，求所需化驗次數J的分布列及數學期望；

（ii）采取平均分組混合化驗（每組血液份數相同），求不同分組方法所需化驗次數的數學期

望.

你認為選擇哪種化驗方案更合理？請說明理由.

——★參*考*答*案★——

第I卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求的.

1.『答案』A

『解析』由題意可得M={x|2<x<3},N={x|x>0},所以MUN={x|x>0},故選A.

2.F答案』C

f解析』z=±i=i,故選C.

l+i

3.f答案』A

21

『解析』cos(-2ez)=cos2^=l-2sin2^=1-2x(—)2=—,故選A.

39

4.r答案』B

「解析』由已知得a-b=lx%+3x4=O,.故選B.

5.『答案』C

『解析』連接則。⑸〃可知△AC4是正三角形，

兀1

/.cos<%,AC>-cos—=—,

故選c.

6.f答案』D

『解析』由題知雙曲線的一條漸近線方程為y=則一2=-,，

2a2

.b2c2-a22.1V5加、比「

a2a242

7.1答案』B

r解析』由題意可知該女子每日織布數呈等差數列，設為{?！皚,首項6=5,530=390,

可得5x30+也空d=390,解之得d="，故選B.

229

8.F答案』A

『解析』先從4個專家中選2個出來，看成1個專家有C；=6種選法，

再將捆綁后的專家分別派到3個縣區(qū)，共有A：=6種分法，

故總共有6x6=36種派法.

其中甲、乙兩位專家派遣至同一縣區(qū)有A；=6種，其概率為色=！，故選A.

366

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，

有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.

9.『答案』ACD

［解析』由折線圖可知，月跑步里程的最小值出現在2月，故A正確；

月跑步平均里程不是逐月增加的，故B不正確；

月跑步里程數從小到大排列分別是：2月，8月，3月，4月，1月，5月，7月，6月，11

月，9月，10月，故5月份對應的里程數為中位數，故C正確；

1月到5月的月跑步平均里程相對于6月至11月波動性更小，變化比較平穩(wěn)，故D正確，

故選ACD.

10.」答案JBCD

2cosx,(sinx<cosx)

F解析」由題意可得/(x)=sinx+cos+|sinx-cosx|=<

2sinx,(sinx>cosx)

,z_,37U_,兀、

2cosx,xG(2KH------,2KTI+—)

44

兀J71

2sinx,xe[2kn+—,2knH--]

44

函數圖象如下所示:

<x)+|sin(x)

7C

故對稱軸為x=1+E,(ZeZ),故A正確;

兀兀

顯然函數在--,0上單調遞增，。7上單調遞減，故B錯誤;

當％=亍+2而，(keZ)時函數取得最小值/(同.=一及，故D錯誤;

要使|/(X,)|+|/(X2)|=4,則/(X,)=/(%)=2,

兀7C

則％=2匕兀或不=耳+24]兀，x2=2攵2兀或9=耳+2&2兀，(匕,女2￡Z),

兀

所以/+內=]+2%r或*2+玉=E，(&eZ),故C錯誤，

故選BCD.

11.『答案』BCD

「解析』不等式。+人22〃石恒成立的條件是a?0，b>0,故A不正確；

當。為負數時，不等式成立.故B正確；

a

由基本不等式可知C正確；

xyxyxy\xy

4yx11y

當且僅當上=一，即》=—,y=2■時取等號，故D正確，

xy24

故選BCD.

12.『答案」AC

「解析』若a〃Z?，且a，a,bL/3,即兩平面的法向量平行，則?！ǚ匠闪?，故A正確；

若。，尸，且?！╝,b//j3,則。與b互相平行或相交或異面，故B錯誤；

若a,匕相交，且aJ_a,hlj3,即兩平面的法向量相交，則a,夕相交成立，故C正確;

若alb,且。〃a,b//p,則a與4平行或相交，故D錯誤，

故選AC.

第n卷

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.『答案』y=x-l

「解析』_f(x)=L,r(l)=l,因此切線方程為y=x-l.

x

14.『答案』280

『解析』展開式的第r+1項為=C；(2x)7-，.r,故令7-r=3,即廠=4，

所以d的系數為C；23=280.

15.「答案』9

「解析』拋物線J=4x的焦點F(1,0),準線為尤=一1,

由〃到焦點的距離為10,可知M到準線的距離也為10,故M點到y(tǒng)軸的距離是9.

16.『答案』1+4,9

『解析』lg30=lg(10x3)=Igl0+lg3=l+a,100〃=102a=1。2庾=10電9=9,

故答案為1+。；9.

四、解答題：本大題共6個大題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算

步驟.

17.『答案』(1)=2/z-l,bn=(1)";(2)證明見解析.

[1[d=2

1dJ——

『解析』(1)由方程2/-5》+2=0，解得尤=一或2,所以〈2或〈1,

2I?”

由S3=9=3a2，解得々=3，

1755

當d=3,q=2時，%=。)+1=耳，q=2—d=Q,4=W，

等比數列｛々｝遞增，舍去;

當d=2,g=L時，a3=a2+d=59a]=a2-d=\,/?,=—,

22

等比數列｛〃,｝遞減，符合題意,

nx

an=q+(〃-l)d=2〃-1,bn=bxq~=(g)".

(2)記［=C］+C2H-----卜C"，

若選①C"=>也=；(2〃-1)(9,

則初嗎+37+-.+(2〃一嗚嚴+(2〃一畛］,

；北=；［1?(；)2+3?§)3+…+(2〃-3)(；)"+(2〃一1)(，間］,

；r=才;+2(最+:+…+!)一(2〃一"］，

為一3)

I"一(2〃一1)(<)用］=1—符得證.

33I1

若選②c.=-----),

44+2(2”一1)(2〃+3)42n-l2〃+3

.3“111111111、3八11

I=—(1---1------1------F…+-------------I-------------)=-(1H---)

n4537592n—32/2+12〃-12〃+3432〃+12〃+3

得證.

1

若選③cn=—一-----,；?c<—,

上+12"+1--------2"

b.

iiiwi

*<3+至+…+夕=-----i-=1一萬<1，得證?

乙乙乙11乙

~2

18.『答案』（1）cosB=--；（2）.

416

hc

『解析』（1）在八43。中，由正弦定理——=——,得。sinC=csin8,

sinBsinC

又由3csin5=4asinC,得3bsinC=4asinC,即3）=4a,

42

又因為/?+c=2a,得到〃=—a,c=—a,

33

1

---

由余弦定理可得cos8為C4

V15

（2）由（1）可得sinB=Jl一cos2B

~4~

,7

從而sin2B=2sinBcosB--------->cos2B=cos~B-sin~B--

88

TTV157371375+7

故sin28+—=sin26cos—+cos28sin二-------XX—=

I6668-28216

19.『答案』（1）證明見解析；（2）2叵

21

「解析」（I）-AB±AD，且?.?AB=AD=2，80=2收，

又△P8D為正三角形，所以PB=PD=BD=2^，

又?.?AB=2，PA=2g，所以ABLPB，

又???AB，AD，BC//AD,

/.ABA.BC,PB1BC=B,所以A3,平面PBC.

（2）設點P到平面ABC。的距離為/z,則/..co=；x-x（l+2）x2x/i=/z,

依題可得%=2,以A為原點，直線A3、分別為X軸，y軸，建立空間直角坐標系,

分別求出各點的坐標和向量方,

由（1）可知平面心C,故向量而是平面依C的一個法向量,

則向量屋與向量而所成的角或其補角與直線PE與平面PBC所成的角互余.

則A（0,0,0）,B（2,0,0）,￡＞（0,2,0）,C（2,l,0）,則設P（x,y,2）,

x2+y2+4=12

由PA=20，PB=PD=2yf2＞可得＜/+（，-2丫+4=8,

（x-2）2+y2+4=8

解得x=2,y=2,即尸（222）,

所以「E=,

又由⑴可知，麗=（2,0,0）是平面P3C的一個法向量,

-1x2______2「2回

/.cos

二一V21-21

2xJ（-1）2（-2）2

所以直線PE與平面BBC所成角的正弦值為2叵

21

20.r答案」（1）a=2,b=-12,c=0；（2）見解析.

『解析』⑴?."（X）為奇函數，.?./（一6=一〃力,

即一6U?—bx+c=—ax3—bx-c，「?c=0，

Q/'（x）=3方2十人的最小值為一12，.?.b=—12,

又直線x—6y—7=0的斜率為3，因此/'（l）=3a+匕=-6,

6

故。=2,。=一12,c=0.

(2)/(X)=2X3-12X,r(x)=6%2-12=6(%-0)(x+夜)，列表如下:

X口,-應）(-衣⑷五(應,+°°)

/'(x)+0-0+

/(x)極大極小Z

所以函數/（X）的單調遞增區(qū)間為（F,—和（&,+℃）,

/（x）的極大值為/（一夜）=80,極小值為/（&）=-80,

又/（-1）=10,/⑶=18,

所以當X=后時，“X）取得最小值為_8&；當x=3時，“X）取得最大值18.

21.1答案」（1）一+y2=]：（）存在，。--,0.

42I3）

f解析』（1）法1:『待定系數法』

由題意可得02=3=。2_",

又因為點尸（由,;）在橢圓上，得.+2=1，

聯(lián)立解得a2=4fb?=1,

2

所以橢圓C的方程為—+y2=l.

4

法2：『定義法』

設另一個焦點為片（-6,0）,則△耳FP為直角三角形，

由勾股定理得|耳P|=J；+12=g,所以2a=|PF|+|P用=4,即a=2,

由〃=片一c?2,得〃=1，

r2

所以橢圓C的方程為三+y2=1.

（2）當直線/為非％軸時，可設直線/的方程為x+my-百=0,與橢圓C聯(lián)立,

整理得（4+m2）,2_2y/3my-1=0.

由/+4（4+加2）=16（加2+1）>0,

設A（x，x）,B（x2,y2）,定點Q?,0）（且，A%/工超），

則由韋達定理可得y+%=2繳，,％=一1?

4+m-4+加

直線QA與直線QB恰關于x軸對稱，等價于AQ,8。的斜率互為相反數,

所以士:+By=0,即得X（%T）+%（FT）=0,

AII人）I

又%+/^V]_g=0,+my2-5/3=0,得玉=6一紗1,%=6-my2，

所以乂（6_加％_0+%（6_切]_0=0,

整理得（百一f）（y+%）一2四，1%=（），從而可得?/他一2加,1*=0,

即2M4-G）=（）,

所以當/=迪，即。（",o］時，直線QA與直線。8恰關于x軸對稱成立；

3I3J

<473）

特別地，當直線/為x軸時，Q,0也符合題意，

（4百1

綜上，存在x軸上的定點。-y-,0,滿足直線。4與直線QB恰關于x軸對稱.

22.『答案J（1）；；（2）（i）分布列見解析，