21靜電場的標勢及其微分方程

靜電場

Electrostaticfield第二章

本章研究的主要問題是：在給定的自由電荷分布以及周圍空間介質(zhì)和導體分布的情況下，如何求解電場。靜電問題一般通過靜電勢求解。本章求解靜電場的方法有：①分離變量法;②鏡像法；③格林函數(shù)法；④電多極矩法。求解的依據(jù)是：唯一性定理。

②等均與時間無關(guān)。

①靜電場的特點基本方程：邊值關(guān)系：②靜電平衡時的導體：導體內(nèi)外表面電荷分布在表面上，電場處處垂直于導體表面①

均勻各向同性線性介質(zhì)：介電磁性質(zhì)方程：本章重點：靜電勢及特性、分離變量法、鏡象法。本章難點：分離變量法、格林函數(shù)法(簡介)、電多極矩法。本章主要內(nèi)容

靜電場的標勢及其微分方程唯一性定理拉普拉斯方程，分離變量法鏡象法格林函數(shù)法電多極矩§2.1靜電場的標勢及其微分方程

Scalarpotentialanddifferential

equationforelectrostaticfield1、靜電場的標勢(Scalarpotentialforelectrostaticfield)靜電現(xiàn)象滿足以下兩個條件：即①電荷靜止不動；②場量不隨時間變化，故：把靜電條件代入Maxwell‘sequations中去，即得電場滿足的方程：這兩方程連同介質(zhì)的電磁性質(zhì)方程是解決線性介質(zhì)靜電問題的基礎(chǔ)。根據(jù)電場方程（即的無旋性），可引入一個標勢：若矢量場的旋度處處為0，稱為無旋場或縱場，此時存在標量場

，使得實際上在電磁學中，已知兩點間的電勢差為：

稱為靜電場的電勢。因而相距為兩點的電勢差為又既：電場強度是電勢的負梯度。所以討論空間某點電勢無物理意義，只有兩點的電勢差才有物理意義。電勢差的意義為電場力將單位正電荷從P1移到P2點所作功負值。真空中電荷連續(xù)分布的帶電體電勢：真空中點電荷電勢：為了計算方便，常選取某個參考點，規(guī)定其上電勢為0。參考點的選擇是任意的，當電荷分布于有限區(qū)域的情況下，常選取無窮遠點作為參考點。電荷分布在有限區(qū)域時幾種情況的電勢：無限大均勻線性介質(zhì)中點電荷的電勢：

產(chǎn)生的電勢

產(chǎn)生的電勢

QfQp點電荷電場線與等勢面+電偶極子的電場線與等勢面均勻場電場線與等勢面等勢面：電勢處處相等的點構(gòu)成的曲面。與等勢面垂直，即2、靜電勢的微分方程(differentialequationofelectrostaticpotential)

給定電荷分布求空間一點電場分布而場引起導體上感應(yīng)電荷分布而感應(yīng)電荷分布反過來引起為簡化問題，可把電荷和電場相互作用規(guī)律用微分方程描寫，而把周圍導體或介質(zhì)作為邊界條件處理。這樣把求解靜電場問題轉(zhuǎn)化為解一定邊界條件下的微分方程問題。因

是標量，求解

的微分方程比直接求解電場強度要簡單。如果電荷周圍有導體，那么物理機制為：在各向同性線性介質(zhì)中，，則有對均勻介質(zhì)，

為常數(shù)，▽

=0，故有Poisson'sequation若在無源區(qū)域內(nèi)（

=0），上式化為此方程稱為拉普拉斯方程（Laplace'sequation)即在求解電勢

的微分方程時，如果求解區(qū)域內(nèi)存在多種介質(zhì)，則需要知道兩介質(zhì)交界面兩側(cè)的電勢之間的關(guān)系—即電勢的邊值關(guān)系。3、用靜電勢表示的邊值關(guān)系在介質(zhì)的分界面上，電場滿足的邊值關(guān)系為由此，可導出電勢所滿足的邊值關(guān)系：在界面兩邊附近任取兩點P1和P2

，它們與界面距離分別為

h1和

h2

，則令P1和P2無限接近分界面，即

h1

0和

h2

0

，則在電場強度有限的情況下：即在分界面處電勢連續(xù)由于P1和P2可取遍整個分界面，則有任意兩種介質(zhì)分界面情況注意：可代替，即可以代替∵可見即而故有即得p2p1P'1P'2另外，由方程可得到：即總之，在兩種介質(zhì)的分界面上，

滿足的關(guān)系為：導體表面：導體表面總電量有導體界存在時邊值關(guān)系導體內(nèi)部電場為0，導體為等勢體，表面為等勢面；導體內(nèi)部無電荷分布，電荷只分布于導體表面；導體表面電場必沿法線方向。導體1σ介質(zhì)2(1)靜電場情況此時導體內(nèi)有穩(wěn)恒電流，導體內(nèi)電場強度不為零，不是等勢體，但穩(wěn)恒電場性質(zhì)與靜電場類似，散度、旋度均為零。電介質(zhì)與導體交界面處(2)導體內(nèi)有穩(wěn)恒電場時導體電介質(zhì)導體與導體交界面處4、利用靜電勢來描述靜電場的能量在線性介質(zhì)中靜電場的總能量為在靜電情形下，能量W可以用電勢

和電荷

表出。由得因此若我們考慮的是體系的總能量，則上式的體積分是對全空間進行的。因此上式右邊第二項的面積分是對無窮大的面進行的。有限的電荷體系在無窮遠處的電勢，電場，而面積~r2，故在r→∞時，面積分項的值=0，故有討論：在運用上式時注意幾點適用于靜電場，線性介質(zhì)；適用于求總能量（如果求某一部分能量時，面積分項）；不能把

/2看成是電場能量密度，靜電能量是以密度的形式在空間連續(xù)分布的；

中的

是由電荷分布

激發(fā)的電勢；若全空間充滿了介電常數(shù)為

的介質(zhì)，則得到電荷分布

所激發(fā)的電場總能量式中r為與點的距離。5、舉例討論1.求均勻電場的電勢解：因為均勻電場中每一點強度相同，其電力線為平行直線，選空間任一點為原點，并設(shè)原點的電勢為。這里不能選無限遠為電勢參考點。xyzP電偶極子產(chǎn)生的電勢解：兩相距為2l的等量異號點電荷構(gòu)成的系統(tǒng)P點電勢：(選無窮遠為零點)系統(tǒng)偶極矩

Pzxy-QQ同理

若電偶極子放在均勻介質(zhì)中（無限大介質(zhì)）：注意：由，考慮了束縛電荷，即已經(jīng)考慮了介質(zhì)的作用，介電常數(shù)應(yīng)當用

0，而不是

。在均勻介質(zhì)中，自由點電荷在其周圍產(chǎn)生束縛電荷分布，自由偶極子在其周圍產(chǎn)生束縛偶極子分布，介質(zhì)中電偶極子產(chǎn)生的勢為自由偶極子與束縛偶極子產(chǎn)生的勢的迭加。設(shè)Qp為束縛電荷，則3.均勻帶電的無限長直導線的電荷線密度的

，求空間的電勢。場點pRozz'電荷解：選柱坐標：源點的坐標為(0,0,z')，場點的坐標為(R,

/2,

0),考慮到導線是無限長，電場強度顯然與z無關(guān)。這里，先求場強，后求電勢。因為電荷元為(1)由疊加原理求則令則而故(2)由高斯