變換出彩資料

“變換”出彩汪佳明寧波中學(xué)初中部興寧中學(xué)數(shù)學(xué)組（315100）摘要：數(shù)學(xué)家亞格龍將幾何學(xué)定義為：幾何學(xué)是研究幾何圖形在運(yùn)動(dòng)中不變的那些性質(zhì)的學(xué)科?？梢?jiàn)“變換”的運(yùn)動(dòng)觀點(diǎn)在幾何學(xué)中是很重要的。幾何變換是指把一個(gè)幾何圖形F1變換成另一個(gè)幾何圖形F2的方法。初中階段涉及了四種變換，其中“軸對(duì)稱、平移、旋轉(zhuǎn)”變換后所得的新圖形F2與原圖形F1之間僅僅是位置發(fā)生了變化，其形狀和大小都沒(méi)有改變，它們刻畫(huà)了兩個(gè)全等圖形特定的位置關(guān)系，而相似變換保留了幾何圖形F1與F2線段間的比例關(guān)系，而圖形本身的大小要改變。不同變換之下的圖形都具有各自不同的性質(zhì)，這些性質(zhì)不僅能為推理提供依據(jù)，同時(shí)也是解決許多實(shí)際問(wèn)題的重要工具。本文旨在從解題方法與策略入手，通過(guò)實(shí)例來(lái)探討這幾種變換的應(yīng)用。一、平移變換通過(guò)平移把部分圖形搬到新的位置，使問(wèn)題的條件相對(duì)集中，從而使條件與代求結(jié)論之間的關(guān)系明朗化，促使問(wèn)題的解決。平移變換應(yīng)用時(shí)，可采用下列的方法①把圖形中的某個(gè)條件平移②把結(jié)論中的線段、角或圖形平移③把圖形中的某個(gè)條件和結(jié)論同時(shí)平移例1：如圖，在一塊長(zhǎng)20m，寬10m的矩形地面上，修建兩條寬度分別是2m和3m的小路且小路的寬度處處相等，其余部分栽種花草，求花草的面積。3m2m3m2m處處相等，把四塊不規(guī)則的草地圖形通過(guò)平移，拼成一個(gè)長(zhǎng)為17m寬為8m的長(zhǎng)方形，其面積即為花草面積。屬于方法中的③，把不規(guī)則的部分圖形通過(guò)平移后能夠重整為一個(gè)規(guī)則或易求的幾何圖形，這也提供了一個(gè)求面積的方法。CABDOCABDOE求證：AC+BD≧1分析：如圖添輔助線，平移AC至DE，構(gòu)造了⊿BDE，由平移性質(zhì)∠BAE=∠BOD=60，四邊形DEAC是平行四邊形，所以AB=CD=1=AE=BE，在⊿BDE中，BD+DE﹥BE；當(dāng)AC//BD時(shí)BD+DE=BE。此題由結(jié)論出發(fā)，聯(lián)想到應(yīng)用三角形的三邊不等關(guān)系，通過(guò)把圖形中的線段AC平移，使得AC、BD兩條線段集中到一個(gè)三角形中，充分利用了平移是全等變換的特性。例3：以浙教版七年級(jí)（下）課后作業(yè)題中的造橋選址問(wèn)題引出：如圖在AB之間有兩條河，則兩條河上的橋（橋與岸垂直）分別建在何處才使A到B的路程長(zhǎng)最短？①河1與河2平行②河1與河2不平行③河1與河2垂直分析：以①為例，此題利用作業(yè)題中的造橋選址問(wèn)題進(jìn)行類比聯(lián)想，設(shè)法將兩條河都轉(zhuǎn)化為沒(méi)有寬度的直線，即將A向下平移河1的寬度至A1，將B向上平移河2寬度至B1，連結(jié)A1、B1，交兩河于C、E，再作垂線段CD、EF，即為所求作的兩座橋。通過(guò)平移在河上造橋問(wèn)題也就轉(zhuǎn)化為在直線上找點(diǎn)的問(wèn)題了，由“兩點(diǎn)之間線段最短”可知兩直線的交點(diǎn)就是該點(diǎn)的位置。②、③兩題的作法同理。由上幾例的計(jì)算、證明和作圖中，我們不難發(fā)現(xiàn)平移變換常與平行線相關(guān)，往往要用到平行四邊形的性質(zhì)；平移變換還可將角、線段、圖形等移到適當(dāng)?shù)奈恢?，使得分散的條件相對(duì)集中，便于我們運(yùn)用公式、定理等來(lái)解決問(wèn)題。二、旋轉(zhuǎn)變換遇到下列情形中常實(shí)施旋轉(zhuǎn)變換：①圖形中出現(xiàn)等邊三角形或正方形，把旋轉(zhuǎn)角定為60°或90°②圖中有線段的中點(diǎn)，將圖形繞中點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，構(gòu)造中心對(duì)稱的全等圖形③圖中出現(xiàn)了公共端點(diǎn)的線段，將含有相等線段的圖形繞公共端點(diǎn)旋