量子力學習題解答

目

錄量子力學教程第一章緒論第二章Schr?dinger方程第三章力學量第四章態(tài)和力學量的表象第五章微擾理論第六章自旋與全同粒子第七章原子光譜與原子態(tài)習題HUSTAPPLIED

PHYSICS1量子力學教程（周世勛編）第一章緒論1.1

黑體輻射（P15）ρ

8πhv

1

ρ

(λ

,T

)dλ3(v,T

)

dv

dvc

3

e

hv

kT

?

1c

3

(v,T

)

dvhve

kTdv

(

,T

)

d

1

8

hv

3

1

ρ(v,T

)

?

c

dλ

8πhc

1 dλ

λ2

λ5

exp(hc

kλT

)

?

1d

1exp(hc

k

T

)

1

(v,T

)

c

d

8

hc

2

5

λT

hc

時，?ρ(λ,T

)

0

5k

?λ

λT

M

→

∞時，?ρ(λ,T

)

0

?λ

0

(

,T

)5k

T

M

時，

T

hc

時，

(

,T

)

0?ρ

(λ

,T

)?λ而

(

,T

)

為連續(xù)函數(shù)，所以，必存在一點

mT

b＝0

使得

(

,T

)

mT

b時，

m

,T

取極大值。5kb

hc

2880μm

K(2897.89μm

K)

6

exp(hc

k

T

)

1

5k

(

,T

)

8

hc

5

hc

1

exp(hc

k

)

T

T

00

(

,T

)

T

(

,T

)exp(hc

k

T

)

m1

1

b時，

mT

b時，xe

?x??→0→

xe

e

1x

x

xe

x

?

1

e

x

1e

xe

x

1xex

x

0

xex

e

xHUSTAPPLIED

PHYSICS21.4

量子化通則（P16）2

212U

(

x)

m

x

pdx

nh

a

aa00

a0a

00pdxpdx

4

pdx

pdx

pdx

pdx

012

4

/

20

cos

d

42E

2Em

22mE

cos

m

2

x2

)dx2m(

E

nh

4

m

2

4

x

2

E

sin

a

sin

a

E

n

，n

1,2,3,

（1）一維諧振子勢能為Bohr-Sommerfeld量子化條件HUSTAPPLIED

PHYSICS3r（2）磁場中，電子作圓周運動eBrmn

eB

r

f

e

B

2

0m

2rm

rd

nh

m

dl

nhBnE

1

m

2

nBe

nBM2

2m

23

E

BM

B

9

10

JE(T

)

(3

/

2)kT熱運動能HUSTAPPLIED

PHYSICS4第二章波函數(shù)與Schr?dinger方程2.3

一維無限深勢阱（P52）

0,0

x

aU

x

∞,其它

,其它U

x

0,0

x

a勢能為ψ

II

(

x)

0

II

(

x)

0粒子被完全束縛在勢阱中，在勢阱外波函數(shù)為0，即?

d

ψ

Eψ

I2

2

I2μ

dx2

I

E2

dx2

d

2

2

I在阱內(nèi)（0<x<a），定態(tài)Schr?dinger方程為d

ψ

2

I

02

Idx

2

k

ψ

2

I

k

0d2

Idx

2k

2

2μE

2

2k

2

2

Eψ

I

(

x)

A

sin

kx

B

cos

kx

I

(

x)

A

sin

kx

B

cos

kx方程的通解為

II

,其它

I

,0

x

a

HUSTAPPLIED

PHYSICS5定解（單值、有限、連續(xù)）

I

II

(a)

(a)

0

A

sin(ka)

0

ka

n

I

(0)

II

(0)

0

B

0,

n

1,2,3,

En

2

2

n22

a2

2k

2

2

E

x,(0

x

a)an

0,(x

0或x

a)n

(

x)

A

sin波函數(shù)為根據(jù)歸一化條件確定歸一化常數(shù)A

2

2

a

2

n

2

n

(

x) dx

A

0

sin

a

xdx

1

A

a

a

an

0,(x

0或

a)2

sin

n

x

,

(0

x

a)

(

x)

定態(tài)能級定態(tài)波函數(shù)

I

(

x)

Asin

kx

B

cos

kxHUSTAPPLIED

PHYSICS62.6

對稱性（P52）ψ

(

x)?

d

ψ

U

(

x)ψ

(

x)

Eψ

(x)2

22μ

dx222

dxd2

U

(

x) (

x)

E

(

x)?

2μd2

d2

dx

2

d(?

x)2d2

d2以

-

x代替

x

dx

2

d(

x)2設對應能量E的定態(tài)波函數(shù)為

ψ

(

x)滿足定態(tài)Schr?dinger方程

?

d

ψ

(?

x)

U

(?

x)ψ

(?

x)

Eψ

(?

x)

2

22μ

dx222

2

U

(

x)

(

x)

E

(

x)2μ

dx

d

(

x)

U

(?

x)

U

(

x)

U

(

x)

U

(

x)

?

d

ψ

(?

x)

U

(

x)ψ

(?

x)

Eψ

(?

x)

2

22μ

dx2d2

(

x)

U

(

x)

(

x)

E

(

x)2

dx22

ψ

(?

x)

(

x)也為對應E

的定態(tài)波函數(shù)?！唳?/p>

(?

x)

ψ

(x)

(

x)

(

x)定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱證：證畢?不同于??→C

2

1

C

eiα

不

同

于

C

2

1

C

ei

（1）非簡并ψ(x)

Cψ(?x)

C2ψ(x)

C2

1

C

1

(x)

C

(

x)

C2

(x)

C2

1

C

1（2）簡并可令

f

(

x)

ψ

(

x)

ψ

(?

x)

g(

x)

ψ

(

x)

?

ψ

(?

x)

g(

x)

(

x)

(

x)

f

(

x)

(

x)

(

x)則

g(

x)

g(

x)f

(

x)

f

(

x)此二函數(shù)可為E

的定態(tài)波函數(shù)。HUSTAPPLIED

PHYSICS72.7

有限深勢阱（P52）（1）勢場為

U

x

0,

x

a

U0

,

x

a（2）定態(tài)Schr?dinger方程為

,

x

a

2

1

1

U0

2

(

x)

E

2

,

x

a2

dx2

E

2

2

2

dx2

d

2

2

d

2122

2221

11

0

2,

k

2

U

E

2

E

2

k

0 ,

x

a

k

0 ,

x

a

其中k

（3）方程的解為

2

2

2

2cos

k1

x

B1

sin

k1

x

,

x

a1

1

2

x

A

exp

k

x

B

exp

k

x

,

x

a

x

AHUSTAPPLIED

PHYSICS8（4）利用標準條件定解（單值、有限、連續(xù)）單值條件滿足。

x

→

?∞,

B2

0

A2

exp

k2x

,

x

≤

?a

ψ

2

x

x→

∞,

A2

0

B2

exp

?

k2

x

,

x

≥

a

B

exp

k

x

,

x

a

k

x

,

x

a

A

exp

x

,

A

0x

,

B

0

2

22

2222

x

再考慮連續(xù)性，得

x

a x

a

dx2dx1d

d

1

a

2

a

x

a時

x

ax

a

dx2dx1d

d

1

a

2

a

x

a時

k

a

1

1

1

1

2

2

2

1

1

Ak

sin

k

a

B

k

cos

k

a

A

k

exp

A1

cos

k1a

B1

sin

k1a

A2

exp

k2a

x

a時

A1

k1

sin

k1a

k2

cos

k1a

B1

k1

cos

k1a

k2

sin

k1a

0

k

a

A

k

sin

k

a

B

k

cos

k

a

B

k

exp

A1

cos

k1a

B1

sin

k1a

B2

exp

k2a

x

a時

1

1

1

1

1

1

2

2

2

A1

k1

sin

k1a

k2

cos

k1a

B1

k1

cos

k1a

k2

sin

k1a

0有限必須同時成立

k

,

x

ak

x

B

exp

x

2

2

2

22

x

A

exp

,

x

a1111

1

x

A

cos

k x

B

sin

k

xHUSTAPPLIED

PHYSICS91

2

1

1

1

B

k

cos

k

a

k

sin

k

a

0

A1

k1

sin

k1a

k2

cos

k1a

01

2

1

1

2

1

1

k

sin

k

a

k

cos

k

a

0

tan

k

a

k

k

B1

0

1

x

Acos

k1

x和B2

A2

Acos

k1a

exp

k2a

或者1

2

1

1

1

2

1

k

cos

k

a

k

sin

k

a

0

tan

k

a

k

k

A1

0

1

x

B

sin

k1

x和B2

A2

B

sin

k1a

exp

k2a

k

a

22

21

1

11

1

1Ak

sin

k

a

B

k

cos

k

a

A

k

exp

A1

cos

k1a

B1

sin

k1a

A2

exp

k2a

x

a時

k

a

2

1

1

1

1

1

1

2

2

A

k

sin

k

a

B

k

cos

k

a

B

k

expx

a時1

1

1

2

1

1

1

1

2

1k

cos

k

a

k

sin

k

a

0

A

k

sin

k

a

k

cos

k

a

B

A1

k1

sin

k1a

kA21ccoosskk11aa

BB11

ski1ncko1sak

1aB

2ke2xspin

kk1a2a

0121

1

12

cotk

a

tank

a

tan

k

a

k1k21

2

2k

2

U0

E

2

E

,k

HUSTAPPLIED

PHYSICS10（5）體系的定態(tài)能級tan

k1a

k2

k1

Acos

k1a

exp

k2

x

a

,

x

≤

?a定態(tài)ψ

x

Acos

k

x

－a

x

a

1

Acos

k

a

exp

k2

a

?

x

,x

≥

a

1

Aco能級tan

k1a

k2

Aco定態(tài)

x

Aco能級tan

k1a

?

k1

k2

?

B

sin

k1a

exp

k2

x

a

,

x

≤

?a定態(tài)ψ

x

B

sin

k

x

－a

x

a

1

B

sin

k

a

exp

k2

a

?

x

,

x

≥

a

1

B

sin

k

B

s能級tan

k1a

k1定態(tài)

x

B

sin

k能級均為分立能級k1a

exp

k2

x

a

,

x

≤

?a10k1

x

－a

x

ak1a

exp

k2

a

?

x

,

x

≥

a2k1a

exp

k2

x

a

,

x

≤

?a01

x

－a

x

a1a

exp

k2

a

?

x

,

x

≥

a?100

0.5

E(

10?16

)100.51?10

8E

(

10

)10兩種情況1000?100

0.5

E(

10?16

)

10?10E

(

10?8

)0

0.5

100.5?1010 22μμEE

22μμ

UU

??

EE

kk11

2

,,

kk22

2分

00

2

210k1sss0kinE

(

10

8

)110.80.60.40.20-0.2-0.4-0.6-0.8-1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5x,0.1nmψ,a.u.波波波波波

-1.5-1-0.50.511.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.810x,0.1nm

,a.u.波波波波波

HUST11APPLIED

PHYSICS第三章力學量3.5

轉(zhuǎn)子的運動（P101）H?

L?z

2I22I?

?2zH

L①已知

本征值為m

?

e

im

?Lz

本征態(tài)為

ψ

(?

)

m

2π

(

)

mze

im

2

L?

本征態(tài)為

本征值為m

（1）?

L?2ψ

m

m

2

2Hψ

m

2I

2I

L?zψ

m

2I

ψ

m

(?

)z

m??2

(

)mz

mz

mm2I2I2IL

H

m

2

2m

?

L

體系定態(tài)為

m

2

22

Ime

im

,

m

0,

1,

2,

2

波波波

(

)

能級Em

定態(tài)Schr?dinger方程L?zψ

m

m

ψ

mL?z

m

m

mHUSTAPPLIED

PHYSICS12定態(tài)為簡并態(tài)②直接求解定態(tài)Schr?dinger方程?

?

?

?

2

d2Lz

?i

??

H

2I

d?

22??2I

d

z

2

d2

H

L

i

2

d2ψ

d2ψ

2

2IEH?

ψ

?

Eψ

(?

)

α

ψ

0,α

2I

d?

2

d?

2

2IE?22

2d2

E

(

)

0,

d

22I

d

d2

H

定態(tài)Schr?dinger方程為

(

)

C1

cos

C2

sin

(0)

(2

)2I2

2

n

E

n

cos

n

或sin

n

代入周期性邊界條件正交的歸一化波函數(shù)有2個，可取為定態(tài)能級和波函數(shù)為

E

2

2

n

n

2

I

n

0,

1,

2,

ψ

cos

n?

,

sin

n?

n

0,

1,

2,

n

2

2

2

I

En

cos

n

,

sin

n

HUSTAPPLIED

PHYSICS13?L?22

IH

?22

,

)lmlmL

Y

(

,

)

l(l

1)

Y

((

,

)lmlmYlm

(

,

)2IL?2Yl(l

1)

22I

HY

(

,

)

?

,

l

0,1,2,

m

0,

1,

2,

Y2Il(l

1)

2mlm

llmEl

im

(cos

)e(

,

)

N

P（2）HUSTAPPLIED

PHYSICS14定態(tài)能級和波函數(shù)為3.7

一維粒子動量的取值分布（P101）求歸一化常數(shù)A2

A2

∞ψ

(

x) dx

∞

A2

x

2e?2λxdx

A

2λ3

/2?∞

0

4λ3∞ψ

(

x)

?∞

C(

p)ψ

p

(

x)dp

C

(

x)

∞ψ

*

(

A

∞

xe?(ip

/

λ

)

xdx

A

1C(

p)

?∞

p

x)ψ

(

x)dx

2π

0

2π

?

(ip

/

λ

)2*

0

1(ip

/

)2A2

A2

(

x)

(

x)dx

C(

p)

xe

(ip

/

)

xdx

p令θ

arctan(

p

/

λ

)

arctan(

p

/

)（1）

C

(

p)

Ae

i

2

2

(

2

p2

2

)p

p

dp的幾率為dp2

2

)2w(

p)dp

C(

p)

dp

4

32

(

2

p22

(

x)

2

dx

A2

x

2e

2

xdx

A

A

2

3

/

2

0

4

3(

p)

p

(

x)dp

e

x

1

0

e

dx

2

x

0HUSTAPPLIED

PHYSICS15（2）動量平均值或者∞

∞

d(

Axe?

λx

)

?∞

0

dxp

ψ

*

p?ψdx

?i

Axe?λx

dx

0*

?

0

dx

0dxAxe

x

d(

Axe

x

)p

p

dx

i

∞

∞

4λ

dp

03p

?∞

pw(

p)dp ?∞

p

2π

(λ2

p2

2

)2

2

)2

dp

0p

pw(

p)dp

p

2

(

2

p24

3ψ

(

x)

Ax(a

?

x),0

x

a

0

,其它

,其它

03.8

無限深勢阱中粒子能量的取值分布（P101）

(

x)

Ax(a

x),0

x

a歸一化02

a

(

x

) d

x

130a5

A

HUSTAPPLIED

PHYSICS16ψ

(

x)

Cnφnn

(

x)

Cn

nn態(tài)的展開2

nπx

φ

sin

n

a

a

aa

n

sin

2

n

x

無限深勢阱中粒子的本征態(tài)為*a0nn

4 15

[1

(

1)n

]C

n3

32

/

a

sin(n

x

/

a)

Ax(a

x)dx

(

x)dx

nC2

240

1

(

1)n

2

480

1

(

1)n

n

6

6

n

6

6（2）02*?dx2a5

2

2dx

a

2

d2

(ax

x2

)

x(a

x)

2

H

dx

AE

（1）粒子能量取En的概率為：HUSTAPPLIED

PHYSICS17ψ

(

x)

Cnφnnn

(

x)

Cn

n對稱勢阱態(tài)的展開1

nπ

(

x

a

/

2)

φ

sin

n

a

a

aan1

sin

n

(

x

a

/

2)

粒子的本征態(tài)為C

∞φ

*ψ

(

x)dx

a

/

2 2

/

a

sin(nπ

(

x

a

/

2)

/

a)

Ax(a

?

x)dxn

?∞

n

?a

/

2

15

?

8[1

?

(?1)n

]

?

n2π

2[3

(?1)n

]2

2

n3π

3*2

2n3

3a

/

2nn15

8[1

(

1)n

]

n2

2[3

(

1)n

]

2

/

a

sin(n

(

x

a

/

2)

/

a)

Ax(a

x)dx

(

x)dx

C

a

/

2

若波函數(shù)的范圍為（-a/2,a/2），則HUSTAPPLIED

PHYSICS183.12

不確定關系（>歸一化∞

*

1

∞

x

2

2ξ

π

1

1

?∞ψ

ψdx

2πξ

2

?∞

exp(

?

2ξ

2

)dx

2πξ

2

2πξ

2

C

22*111x

2

C

2

)dx

exp(

2

2

22

2

22

2

dx

歸一化波函數(shù)1

1

4

i

x

2

ψ

(

x)

2πξ

2

exp

p0

x

?

4ξ

2

202

iexp1

414

2

x

2p x

(

x)

x2∞

*

∞

*

p0

x

1

∞

?

2ξ

2

?∞

?∞

2ξ

2

0

πξ

2

?∞p

ψ

p?ψdx

?i

ψ

(i

?

)ψdx

p

2

e

dx

p00

1

0*220

x

pe

dx

p（1）

p

x2

2

2

2

2

)

dx

p

(i

*

p?

dx

i

（2）

p

xp

i222022*

22x

dx4

4

dx

pp?

dx

p?

dx

2

2

2

i

0

220

4

p

2（3）12

dx

0x

2x

exp

x

2

2

2

*

x

dx

（4）222*

2212

2

2

dx

x2x

exp

x

dx

x

22

3

P10

2

dx

x

e

e

x

2

dx

2

xHUSTAPPLIED

PHYSICS19不確定關系（5）(

x)2

x2

x

2

2

2(

p)2

p2

p2

4

2(

x)2

(

p)2

1

24HUSTAPPLIED

PHYSICS20非對稱一維無限深勢阱中粒子定態(tài)（1）x第四章態(tài)和力學量的表象4.2

力學量的矩陣表示（P130）求一維無限深勢阱中粒子坐標和動量在能量表象中的矩陣形式HUSTAPPLIED

PHYSICS21HUSTAPPLIED

PHYSICS22可得x的矩陣形式為HUSTAPPLIED

PHYSICS23（2）pHUSTAPPLIED

PHYSICS24HUSTAPPLIED

PHYSICS25在L2，Lz的共同表象中，求Lx，Ly的本征值和本征函數(shù)，并將Lx，Ly對角化，且：在Lx的本征態(tài)中分析Lz的取值情況；在Lx表象中表示Lz

及其本征態(tài)；在Lz的本征態(tài)中分析Lx的取值情況。已知：在L2，Lz

的共同表象中HUSTAPPLIED

PHYSICS264.5

久期方程、本征值方程與么正變換的應用(P130)Lx

的本征值方程，如下HUSTAPPLIED

PHYSICS27Lx

的久期方程為（一）Lx

的本征值和本征態(tài)HUSTAPPLIED

PHYSICS28對角化過程就是Lx

算符由Lz

表象向Lx

表象的變換過程Lz

表象中Lz

對應本征值

的本征態(tài)為：Lz表象中Lx的本征態(tài)可表示為：2110

1

2111211022

1

22

1

21

1

1

1Y

YYY

Y

1

Y11

1

Y10

1

Y1

1任意表象1

YY11

Yξ

11?2102112

11?Y211Y0ξ

?

1121

YY11

Yξ

?

11?2102112?HUSTAPPLIED

PHYSICS29Lz表象到Lx表象的么正變換矩陣為：Lx在Lx表象中的表示為：HUSTAPPLIED

PHYSICS30同理Ly

的久期方程為Lz

表象中Ly

對應本征值

的本征態(tài)為：（二）Ly

的本征值和本征態(tài)HUSTAPPLIED

PHYSICS31Lz表象到Ly表象的么正變換矩陣為：，Ly在Ly表象中的表示為：HUSTAPPLIED

PHYSICS32（1）在Lx的本征態(tài)中分析Lz的取值情況（三）取值分析HUSTAPPLIED

PHYSICS33（2）在Lx表象中表示Lz及其本征態(tài)。HUSTAPPLIED

PHYSICS34由表象變換公式Lz的本征態(tài)在Lx表象下為：HUSTAPPLIED

PHYSICS35（3）在Lz的本征態(tài)中分析Lx的取值情況Lz的本征態(tài)可由Lx的本征態(tài)表示，展開式系數(shù)可反映Lx的取值及取值概率。Lx在Lx表象中的本征態(tài)為：HUSTAPPLIED

PHYSICS36取值情況HUSTAPPLIED

PHYSICS37已知第五章微擾理論HUSTAPPLIED

PHYSICS385.3非簡并定態(tài)微擾公式的運用（P172）（1）Sx的本征值和本征態(tài)本征值方程為同理有：第六章自旋和全同粒子HUSTAPPLIED

PHYSICS397.3

自旋算符x、y分量的本征態(tài)（P241）（2）S?

y

的本征值也為

/2

，本征值方程為同理有：HUSTAPPLIED

PHYSICS407.4

任意方向自旋算符的本征值和本征函數(shù)（P241）已知（1）本征態(tài)久期方程本征值方程HUSTAPPLIED

PHYSICS412

時，有①S?n

取

由歸一化條件，得HUSTAPPLIED

PHYSICS42②

S?n

取

2時，有（2）

S的z

取值情況:

應將以上求得的本征態(tài)向HUSTAPPLIED

PHYSICS43z的本S?

征態(tài)2

2

1、展

開

1

有：展開，有：

①

向1221

、

S?n在z方向投影的平均值

Sz

符合經(jīng)典規(guī)律。2

nSHUSTAPPLIED

PHYSICS44展開，有：

②

向1221

、

HUSTAPPLIED

PHYSICS457.5

任意態(tài)中軌道角動量和自旋的取值（P241）（1）利用平均值公式，有：氫原子歸一化波函數(shù)為：HUSTAPPLIED

PHYSICS46（2）磁矩HUSTAPPLIED

PHYSICS47（3）研究Lz與Sz的取值情況①在Sz

表象中，求Lz

取值。有

z

nlm

nlm

00

L?

nlm0nlm0?

m

Lz

m

，

0

3

2

0

02

210

1

211

m

nlm

mnlm0m

Cm

C

23

/

2

3

/

4

0，幾率為

，幾率為1

/

2

2

1

/

4z

L

HUSTAPPLIED

PHYSICS48②Sz的取值情況122

nlmS?z

nlm

1

2

0

23

2

02

121

210

1

211

2

nlm1

nlm

C

C

1

/

423

/

2

3

/

4

/2，幾率為

/2，幾率為1/2

2z

SHUSTAPPLIED

PHYSICS497.6 Bose子系的態(tài)函數(shù)（P241）可能狀態(tài)為4個（粒子數(shù)加1）。態(tài)函數(shù)可表示為如下4種形式：HUSTAPPLIED

PHYSICS50能級躍遷應滿足選擇定則：，Mg原子基態(tài)為3s3s，這

2譜線的末態(tài)都為3s3p其原子態(tài)為

2、1、0，S

11，S

0L

1，S

1、0，J

偶?奇10

11S

P可能躍遷有（如圖）：3s4s3s3p11

P3

P3

P

203

P113

S01

S13

32、1、0（單重）

S

P（三重）1

3P

,

P1

2、1、0第七章原子光譜和原子態(tài)分析Mg原子二輔系、一輔系第一條譜線的躍遷特點(1)對于二輔系第一條，初態(tài)為3s4s，其原子態(tài)為

1，S

10，S

0、0，J

L

0，S

1101

3S

,

S

J

0,

1(0

0除外)

L

0,

1

S

0HUSTAPPLIED

PHYSICS51能級躍遷滿足選擇定則：

3、2、1，S

12，S

0L

2，S

1、0，J

偶?奇可能躍遷有（如圖）：1

D2

1

P1

（單線）3

D2、1、03、2、1

3

P（多線）1

D2

,3

D3、2、1(2)對于一輔系第一條，初態(tài)為3s3d，其原子態(tài)為

J

0,

1(0

0除外)

L

0,

1

S

03s3p11

P3

P3

P

203

P13s3d1

D23

D33

D23

D1HUSTAPPLIED

PHYSICS52一、波函數(shù)概率解釋的應用量子力學習題21

0

0

|

x

|

a|

x

|

a2a|

x

|

a|

x

|

a2a問

：

I、波波波

1

(

x)和

2

(

x)是否等價？II、對

1

(x)取n

2兩種情況，得到的兩個波波波是否等價？

A

sin

n

(

x

a)

(

x)

A

sin

n

(

x

a)

(

x)

n

1,2,3,

n

1,2,3,

Ⅰ、兩波函數(shù)等價的條件是只相差任意常數(shù)，可通過求比值觀察兩波函數(shù)是否相差常數(shù)。HUSTAPPLIED

PHYSICS53

kk

sinA

12aA

1

cos2a

2aA

1

k

sin

k

x

1,

n

2kk

xa

aA

1

k

1

cos

2k

1

x

1,

n

2k

1

2k

1

x2aAsin

n

(

x

a)

2

(

x)|

x

|

a時，

1

(x)

Asin

n

(x

a)比值波函數(shù)等價Ⅱ、2a2aAsin

2

(

x

a)

2

(

x)|

x

|

a時，

1

(x)

Asin

2

(x

a)aaA

sin

x

1

A

1

sin

x兩波函數(shù)也等價HUSTAPPLIED

PHYSICS54二、對易關系1、?2?

223.[

r

,

H

]

?2.[r

,

p

]

[r

,

p?

]

?1.[r

,

p]

?

?22ez

pz

]ey

pyz

,

ex

px

?

?

?

?[r

,

p]

[

x2

y2

,

22?p

][

,

e[r

,

p]

?

,

]

)??]

[

,

pe

(

[

,

p

,

e

2i

HUSTAPPLIED

PHYSICS552

[r ,

p?]

2i

αeα

2i

(

xex

yey

zez

)

2i

rαx

?2

z

ez

)

2i

r

yey

2i

(

xe[r

,

p]

2i

er2

、p

對易關系2、[

,

p?

2

]

[

x

y

z,

p?

2

p?

2

p?

2

]r

ex

ey

ez

x

y

z

?

2e

[

,

p

]

,

[

,

p?

2

]

p?

[

,

p?

]

[

,

p?

]p?

2i

p?

[r

,

p?

2

]

2i

(e

p?

e

p?

e

p?

)

2i

x

x

y

y

z

z

p?x

x?2

(e

p

?

?

?

?ez

pz

)

2i

p

ey

py[r

,

p

]

2i

,

e

2i

HUSTAPPLIED

PHYSICS56r

、H

對易關系3、?[r

,

p2

]

?

p12

i

?p?

22

U

(r

)]

[r

,

H

]

[r

,HUSTAPPLIED

PHYSICS57三、角動量特性（3）在共同本征態(tài)Y11

中，計算Lx

、Ly

的可能取值及概率。在L2、Lz

的共同本征態(tài)Ylm

中，求：解：已知HUSTAPPLIED

PHYSICS58由對易關系：等式兩邊右乘Lx（1）平均值HUSTAPPLIED

PHYSICS59Lx、Ly平均值HUSTAPPLIED

PHYSICS60（2）測不準關系（3）

Lx、Ly

的取值分布

014121421

2

12202

2w

w

x

)

L

w

w

0

w

(w

w0

w

1w

w0

0

w

(

)

Lx

0

w

14

1240，幾率為

，幾率為

，幾率為1Lx

142140，幾率為

，幾率為

，幾率為1y同理,

L

在Y11

中，Lx

、Ly

的可能取值只能為-?

,0,），設取值概率分別?

（≦為w-,w0,w+，則HUSTAPPLIED

PHYSICS61四、角動量Lx、Ly的本征態(tài)利用L2、Lz

的共同本征態(tài)Ylm

，表示出Lx、Ly的本征函數(shù)。解：利用角動量升降算符的特性來求解。令L?

Ylm

l(l

1)

?

m(m

1)Yl

,m

1L?

Ylm

l(l

1)

m(m

1)Yl

,m

1

?

???

??

1

2i12

L

][L

L

][LL

L

y

x而（1）Lx

的本征函數(shù)alm

l(l

1)

?

m(m

1)a′lm

l(l

1)

?

m(m

?

1)a

l(l

1)

m(m

1)

l(l

1)

m(m

1)lmalmHUSTAPPLIED

PHYSICS62alm

l(l

1)

?

m(m

1)a′lm

l(l

1)

?

m(m

?

1)

l(l

1)

m(m

1)

l(l

1)

m(m

1)alma

lmm

m

1m

m

1由此出發(fā)，可求出各系數(shù)，從而確定Lx

的本征態(tài)。mx

=0時，與

Al-1奇偶相同的系數(shù)都為0HUSTAPPLIED

PHYSICS63（2）Ly

的本征函數(shù)alm

l(l

1)

?

m(m

1)a′lm

l(l

1)

?

m(m

?

1)

l(l

1)

m(m

1)

l(l

1)

m(m

1)alma

lmm

m

1m

m

1my

=0

時，

與Bl

-1

奇偶相同的系數(shù)都為064HUST APPLIED

PHYSICS五、Hellmann-Feynman定理應用Hellmann-Feynman

定理，可進行能量本征值及各種力學量平均值變化規(guī)律的計算。1、定理的形式及證明設體系的Hamilton

量H

中含有某參量λ，En

是H

的本征值，ψn

是H的歸一化束縛態(tài)本征函數(shù)（n

為一組量子數(shù)），則?

E

n

ψ

?

H?

ψ

?

H??

λ

n

?

λ

n

?

λ

n

n

E

n

H?

H?

計算時，Hamilton

量H

中的μ,

等都可以作為參量λ。HUSTAPPLIED

PHYSICS65ψn

滿足本征值方程(H?

En

)

|

n

0本征值方程的共軛方程為

n

|

(

H?

En

)

0nnnnn|

(

H?|

(

H?

E

)

|

0

E

n

)

|

nnnn

n

E|

0

|

H?

|

|nn

n

n

En

|

|

H?

|

nn

En

H?

|

H?

|

證畢HUSTAPPLIED

PHYSICS66定理的證明證：對λ

求導并左乘<ψn

|，可得（1）一維諧振子<V>=<p2

/2μ>一維諧振子，有?

12

22

1

2

d2n

0,1,2,

H

n

2E

(n

)

x2

dx

2方法I取μ作為參數(shù)

0

E

n

由HF定理

H?

2

d

2

1

2

x

2

2

2

d

x

2

2

1

2

d

2

[

(

)

1

2

x

2

]

2

d

x

2

2

E

n

H?

n

n

1

p

2

[

2

V

(

x

)]p

2

V

(

x

)

2

μ

p

22

V

(

x

)

2、定理的應用實例HUST671

p20

n

2

V

(

x

)

n

p

2

n

V

(

x

)

n n

2

nAPPLIEDPHYSICS方法II取ω為參量21

)

(

n

E

n

H?

x

2

2

[

1

2

x

2

]

2

2

V

(

x

)

V

En

H?

p22

V

2

V

p22

p2

V

2μ

2

2

V

p

由HF定理

En

H?

n

n(

n

1

)

2

V

(

x

)

2

V

1

(n

1

)

1

En2

2

2HUSTAPPLIED

PHYSICS68方法III取

為參量2

1

(

n

)

E

n

H?

2

d

2

[

1

2

x

2

]

2

dx

2

2

d2

dx2

2

2

d2

2

p2[

]

[

]

2

dx2

2

由HF定理nn

E

n

H?

2

1(

n

)

2

p

2

2

22

22

p2

1

(n

1

)

21

En

1

[

V

]2

p2

p2

V

2μ

2

2

V

p

HUSTAPPLIED

PHYSICS69（2）在類氫體系定態(tài)中，求1/r,1/r2

的平均值1）求1/r?

p

2

Ze

2H

?

s2

μ

ru

nlψ

nlm

R

nl

Y

lm

r

Y

lmμ

Z

2

e

4

Z

2

e

2E

?

s

?

sn

2

2

22

n

2

a

0

n

2其中

a

0

2μ

e

s02ss2

4snlmnl

lmnlm2

a n

2Z

2

e

2Y

s

rZe

2H?

e

Z

ep

22

22

2

n

2a

0

r

E

u

n