重難點(diǎn)01函數(shù)的單調(diào)性（6種考法）（解析版）

重難點(diǎn)01函數(shù)的單調(diào)性（6種考法）【目錄】考法1：定義法判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性考法2：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值考法3：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性考法4：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式考法5：比較函數(shù)值的大小考法6：根據(jù)函數(shù)的解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性一、命題規(guī)律與備考策略一、命題規(guī)律與備考策略一．函數(shù)的單調(diào)性【解題方法點(diǎn)撥】判斷函數(shù)的單調(diào)性，有四種方法：定義法；導(dǎo)數(shù)法；函數(shù)圖象法；基本函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用；復(fù)合函數(shù)遵循“同增異減”；證明方法有定義法；導(dǎo)數(shù)法．單調(diào)區(qū)間只能用區(qū)間表示，不能用集合或不等式表示；如有多個單調(diào)區(qū)間應(yīng)分別寫，不能用符號“∪”聯(lián)結(jié)，也不能用“或”聯(lián)結(jié)，只能用“和”或“，”連結(jié)．設(shè)任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么①?f（x）在[a，b]上是增函數(shù)；?f（x）在[a，b]上是減函數(shù)．②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0?f（x）在[a，b]上是增函數(shù)；（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0?f（x）在[a，b]上是減函數(shù)．函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，定義求解求解一般包括端點(diǎn)值，導(dǎo)數(shù)一般是開區(qū)間．【命題方向】函數(shù)的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間．是高考的重點(diǎn)內(nèi)容，一般是壓軸題，常與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相結(jié)合，課改地區(qū)單調(diào)性定義證明考查大題的可能性比較?。畯慕甑母呖荚囶}來看，函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用以及函數(shù)的最值問題是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中等偏高；客觀題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值的靈活確定與簡單應(yīng)用，主觀題在考查基本概念、重要方法的基礎(chǔ)上，又注重考查函數(shù)方程、等價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法．預(yù)測明年高考仍將以利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，研究單調(diào)性及利用單調(diào)性求最值或求參數(shù)的取值范圍為主要考點(diǎn)，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與化歸思想及邏輯推理能力．二、函數(shù)單調(diào)性判斷【解題方法點(diǎn)撥】證明函數(shù)的單調(diào)性用定義法的步驟：①取值；②作差；③變形；④確定符號；⑤下結(jié)論．利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：第一步：求函數(shù)的定義域．若題設(shè)中有對數(shù)函數(shù)一定先求定義域，若題設(shè)中有三次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)可不考慮定義域．第二步：求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．第三步：利用f′（x）＝0的根和不可導(dǎo)點(diǎn)的x的值從小到大順次將定義域分成若干個小開區(qū)間，并列表．第四步：由f′（x）在小開區(qū)間內(nèi)的正、負(fù)值判斷f（x）在小開區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性；求極值、最值．第五步：將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求參數(shù)的取值范圍．第六步：明確規(guī)范地表述結(jié)論【命題方向】從近三年的高考試題來看，函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用以及函數(shù)的最值問題是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中等偏高；客觀題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、最值的靈活確定與簡單應(yīng)用，主觀題在考查基本概念、重要方法的基礎(chǔ)上，又注重考查函數(shù)方程、等價轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法．預(yù)測明年高考仍將以利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，研究單調(diào)性及利用單調(diào)性求最值或求參數(shù)的取值范圍為主要考點(diǎn)，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與化歸思想及邏輯推理能力．三、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性【解題方法點(diǎn)撥】求復(fù)合函數(shù)y＝f（g（x））的單調(diào)區(qū)間的步驟：（1）確定定義域；（2）將復(fù)合函數(shù)分解成兩個基本初等函數(shù)；（3）分別確定兩基本初等函數(shù)的單調(diào)性；（4）按“同增異減”的原則，確定原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．【命題方向】理解復(fù)合函數(shù)的概念，會求復(fù)合函數(shù)的區(qū)間并判斷函數(shù)的單調(diào)性．四．函數(shù)奇偶性【解題方法點(diǎn)撥】①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（0）＝0解相關(guān)的未知量；②奇函數(shù)：若定義域不包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關(guān)參數(shù)；③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f（x）＝f（﹣x）這個去求解；④對于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反．【命題方向】函數(shù)奇偶性的應(yīng)用．本知識點(diǎn)是高考的高頻率考點(diǎn)，大家要熟悉就函數(shù)的性質(zhì)，最好是結(jié)合其圖象一起分析，確保答題的正確率．五、奇偶性與單調(diào)性的綜合【解題方法點(diǎn)撥】參照奇偶函數(shù)的性質(zhì)那一考點(diǎn)，有：①奇函數(shù)：如果函數(shù)定義域包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（0）＝0解相關(guān)的未知量；②奇函數(shù)：若定義域不包括原點(diǎn)，那么運(yùn)用f（x）＝﹣f（﹣x）解相關(guān)參數(shù)；③偶函數(shù)：在定義域內(nèi)一般是用f（x）＝f（﹣x）這個去求解；④對于奇函數(shù)，定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱的部分其單調(diào)性一致，而偶函數(shù)的單調(diào)性相反【命題方向】奇偶性與單調(diào)性的綜合．不管出什么樣的題，能理解運(yùn)用奇偶函數(shù)的性質(zhì)是一個基本前提，另外做題的時候多多總結(jié)，一定要重視這一個知識點(diǎn)．二、題型方法二、題型方法一、單選題1．（2022·上海徐匯·上海中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)函數(shù)與的定義域?yàn)?，且單調(diào)遞增，，，若對任意，恒成立，則（

）A．都是減函數(shù) B．都是增函數(shù)C．是增函數(shù)，是減函數(shù) D．是減函數(shù)，是增函數(shù)【答案】B【分析】根據(jù)單調(diào)遞增，不妨設(shè)，可得，結(jié)合已知可得且，由此利用函數(shù)單調(diào)性定義判斷，的正負(fù)，可得答案.【詳解】不妨設(shè),，因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以，由于，所以且，即且，則，所以是增函數(shù)，同理,故也是增函數(shù)．故選：B．2．（2022·上海浦東新·華師大二附中校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)是上的偶函數(shù)，對于任意都有成立，當(dāng)，且時，都有．給出以下三個命題：①直線是函數(shù)圖像的一條對稱軸；②函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)；③函數(shù)在區(qū)間上有五個零點(diǎn)．問：以上命題中正確的個數(shù)有（

）．A．個 B．個 C．個 D．個【答案】B【分析】根據(jù)題意，利用特殊值法分析可得，結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得，進(jìn)而可得，所以的周期為6；據(jù)此分析三個命題，綜合即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，對于任意，都有成立，令，則，又是上的偶函數(shù)，所以，則有，所以的周期為6；據(jù)此分析三個命題：對于①，函數(shù)為偶函數(shù)，則函數(shù)的一條對稱軸為軸，又由函數(shù)的周期為6，則直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，①正確；對于②，當(dāng)，，，且時，都有，則函數(shù)在，上為增函數(shù)，因?yàn)槭巧系呐己瘮?shù)，所以函數(shù)在，上為減函數(shù)，而的周期為6，所以函數(shù)在，上為減函數(shù)，②錯誤；對于③，（3），的周期為6，所以，函數(shù)在，上有四個零點(diǎn)；③錯誤；三個命題中只有①是正確的；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查抽象函數(shù)的性質(zhì)以及應(yīng)用，關(guān)鍵是求出的值，分析函數(shù)的周期與對稱性．3．（2021·上海長寧·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)滿足：對任意，都有．命題：若是增函數(shù)，則不是減函數(shù)；命題：若有最大值和最小值，則也有最大值和最小值．則下列判斷正確的是（

）A．和都是真命題 B．和都是假命題C．是真命題，是假命題 D．是假命題，是真命題【答案】C【分析】利用函數(shù)單調(diào)性定義結(jié)合已知判斷命題p的真假，再利用函數(shù)最大、最小值的意義借助不等式性質(zhì)判斷命題q的真假而得解.【詳解】對于命題：設(shè)，因?yàn)槭巧系脑龊瘮?shù)，所以，所以，因?yàn)?，所以所以故函?shù)不是減函數(shù)，故命題為真命題；對于命題在上有最大值，此時，有最小值，此時，因?yàn)椋?，所以有界，但不一定有最大值和最小值，故命題為假命題．故選：C【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：含絕對值不等式轉(zhuǎn)化方法：a>0時，；或.4．（2022·上海·統(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)P、Q是R上的兩個非空子集，如果存在一個從P到Q的函數(shù)滿足：（1）；（2）對任意，當(dāng)時，恒有，那么稱這兩個集合構(gòu)成“恒等態(tài)射”，以下集合可以構(gòu)成“恒等態(tài)射”的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用題目給出的定義，對每一個選項(xiàng)中給的兩個集合，利用所學(xué)知識，找出能夠使兩個集合滿足題目所給出的條件的函數(shù)，即Q是函數(shù)的值域，且函數(shù)為定義域上的增函數(shù)，即可得到答案【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，單調(diào)遞增，值域?yàn)椋纱伺袛?，對于A，定義域?yàn)?，值域?yàn)檎麛?shù)集，且為遞增函數(shù)，沒有這樣的函數(shù)，對于B，定義域?yàn)?，值域?yàn)?，且為遞增函數(shù)，沒有這樣的函數(shù)，對于C，定義域?yàn)?，值域?yàn)椋覟檫f增函數(shù)，沒有這樣的函數(shù)，對于D，可取，且在上為增函數(shù)，且值域?yàn)椋瑵M足題意，故選：D5．（2023·上海青浦·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)定義域?yàn)?，下列論斷：①若對任意?shí)數(shù)，存在實(shí)數(shù)，使得，且，則是偶函數(shù)．②若對任意實(shí)數(shù)，存在實(shí)數(shù)，使得，且，則是增函數(shù)．③常數(shù)，若對任意實(shí)數(shù)，存在實(shí)數(shù)，使得，且，則是周期函數(shù)．其中正確的論斷的個數(shù)是（

）．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性和周期性逐一分判斷即可.【詳解】解：對于①，由題意對任意實(shí)數(shù)，存在實(shí)數(shù)，使得，即對于任意實(shí)數(shù)，都有，所以函數(shù)為偶函數(shù)，故①正確；對于②，對任意實(shí)數(shù)，存在實(shí)數(shù)，使得，且，無法判斷出函數(shù)的單調(diào)性，如函數(shù)，故②錯誤；對于③，常數(shù)，且，則，，因?yàn)閷θ我鈱?shí)數(shù)，存在實(shí)數(shù)，使得，則，即或，這兩種情況有一個成立即可，所以函數(shù)不是周期函數(shù)，如，故③錯誤.故選：B.6．（2022·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？寄M預(yù)測）若對任意，都有，那么在上………………A．一定單調(diào)遞增 B．一定沒有單調(diào)減區(qū)間C．可能沒有單調(diào)增區(qū)間 D．一定沒有單調(diào)增區(qū)間【答案】C【詳解】試題分析：對任意，都有，但在上不單調(diào)遞增，且沒有單調(diào)增區(qū)間，對任意，都有，且有單調(diào)增區(qū)間，對任意，都有，且有單調(diào)減區(qū)間，選C考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性二、填空題7．（2022·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？寄M預(yù)測）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?若對于內(nèi)的任意，，都有，則稱函數(shù)為“Z函數(shù)”.有下列函數(shù)：①；②；③；④.其中“Z函數(shù)”的序號是___________(寫出所有的正確序號)【答案】③④【分析】新定義說是增函數(shù)的意思，判斷各函數(shù)的是否為增函數(shù)可得．【詳解】當(dāng)時，，由，得，，所以在定義域內(nèi)是增函數(shù)，①是常數(shù)函數(shù)，②是減函數(shù)，③是增函數(shù)，④是增函數(shù)，故答案為：③④【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查新定義，解題關(guān)鍵是理解新定義，新定義“Z函數(shù)”即為增函數(shù)，因此只要判斷函數(shù)的單調(diào)性即可得．8．（2021·上海閔行·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，給出下列命題：①存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)為奇函數(shù)；②對任意實(shí)數(shù)，均存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)關(guān)于對稱；③若對任意非零實(shí)數(shù)，都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為；④存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)對任意非零實(shí)數(shù)均存在6個零點(diǎn).其中的真命題是___________.（寫出所有真命題的序號）【答案】②③【解析】利用特殊值法可判斷①不正確；驗(yàn)證，可判定②正確；利用基本不等式可判定③正確；當(dāng)時，分析出函數(shù)在上現(xiàn)遞減再遞增，即，可得出，利用不恒成立，可判定④錯誤，同理可得，當(dāng)時，命題④也不成立，從而得到④為假命題.【詳解】由題意，令，函數(shù)的定義域?yàn)?，則，所以函數(shù)為偶函數(shù).對于①，若，則，則，此時函數(shù)不是奇函數(shù)；若，則函數(shù)的定義域?yàn)榍遥?，，顯然.綜上所述，對任意的，函數(shù)都不是奇函數(shù)；對于②，，所以，函數(shù)關(guān)于直線對稱.因此，對任意實(shí)數(shù)，均存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)關(guān)于對稱，所以②正確；對于③，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，因?yàn)椋?dāng)時，兩個等號可以同時成立，所以.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是，③正確；對于④，假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得直線與函數(shù)的圖象有6個交點(diǎn)，若，當(dāng)時，，此時，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，；當(dāng)時，任取，且，即，則，因?yàn)?，隨著的增大而增大，當(dāng)且時，，當(dāng)且時，，所以，使得當(dāng)時，，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時，.若存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)對任意非零實(shí)數(shù)均存在6個零點(diǎn)，即直線與函數(shù)的圖象有6個交點(diǎn)，由于函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則直線與函數(shù)在直線右側(cè)的圖象有3個交點(diǎn)，所以，.由于為定值，當(dāng)且當(dāng)逐漸增大時，也在逐漸增大，所以不可能恒成立，所以當(dāng)時，不存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)對任意非零實(shí)數(shù)均存在6個零點(diǎn)；同理可知，當(dāng)時，不存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)對任意非零實(shí)數(shù)均存在6個零點(diǎn)，故命題④錯誤.故答案為：②③.【點(diǎn)睛】已知函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)求解參數(shù)的取值范圍問題的常用方法：1、分離參數(shù)法：一般命題的情境為給出區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為從中分離出參數(shù)，構(gòu)造新的函數(shù)，求得新函數(shù)的最值，根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，從而確定參數(shù)的取值范圍；2、分類討論法：一般命題的情境為沒有固定的區(qū)間，求滿足函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的參數(shù)范圍，通常解法為結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，先確定參數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn)，在每個小區(qū)間內(nèi)研究函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)是否符合題意，將滿足題意的參數(shù)的各校范圍并在一起，即為所求的范圍.三、解答題9．（2022·上海靜安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）因函數(shù)的圖像形狀象對勾，我們稱形如“”的函數(shù)為“對勾函數(shù)”．(1)證明對勾函數(shù)具有性質(zhì)：在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．(2)已知，，利用上述性質(zhì)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域；(3)對于（2）中的函數(shù)和函數(shù)，若對任意，總存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)證明見解析；(2)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，值域?yàn)椋?3).【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義進(jìn)行證明即可；（2）利用對勾函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，根據(jù)任意性、存在性的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）設(shè)是任意兩個實(shí)數(shù)，且任取，則若，則，，即，，所以所以，即，所以在上是減函數(shù)，若，則，，即，，所以，所以，即，所以在上是減函數(shù)，所以對勾函數(shù)具有性質(zhì)：在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；（2），令，因?yàn)?，所以，則，由對勾函數(shù)的性質(zhì)，可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以，，，綜上可得，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，值域?yàn)椋?）由（2）知時，若存在，使得成立，只需，在上有解即可，即最小值，令，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以最小值，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為．10．（2022·上海寶山·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求滿足的的取值范圍；（2）若的定義域?yàn)椋质瞧婧瘮?shù)，求的解析式，判斷其在上的單調(diào)性并加以證明．【答案】（1）；（2），在上遞減，證明見解析.【分析】(1)由題意可得從中解得,解此指數(shù)不等式即可求得的取值范圍；(2)由可求得，，可求得，從而可得的解析式；利用單調(diào)性的定義，對任意，再作差最后判斷符號即可.【詳解】（1）由題意，，化簡得,解得,所以.（2）已知定義域?yàn)镽，所以，又，所以；對任意可知,因?yàn)?，所以，所以因此在R上遞減．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，屬于中檔題.已知函數(shù)的奇偶性求參數(shù)，主要方法有兩個，一是利用：（1）奇函數(shù)由恒成立求解，（2）偶函數(shù)由恒成立求解；二是利用特殊值：奇函數(shù)一般由求解，偶函數(shù)一般由求解，用特殊法求解參數(shù)后，一定要注意驗(yàn)證奇偶性.11．（2022·上海·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知下表為函數(shù)部分自變量取值及其對應(yīng)函數(shù)值，為了便于研究，相關(guān)函數(shù)值取非整數(shù)值時，取值精確到0.01.0.61-0.59-0.56-0.3500.260.421.573.270.070.02-0.03-0.2200.210.20-10.04-101.63據(jù)表中數(shù)據(jù)，研究該函數(shù)的一些性質(zhì)；（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；（2）判斷函數(shù)在區(qū)間[0.55,0.6]上是否存在零點(diǎn)，并說明理由；（3）判斷的正負(fù)，并證明函數(shù)在上是單調(diào)遞減函數(shù).【答案】（1）奇函數(shù)，見解析；（2）存在，理由見解析；（3），見解析【分析】（1）通過代入點(diǎn)解得，再利用奇偶性的定義即可判斷出奇偶性．（2）根據(jù)零點(diǎn)判斷法則，為連續(xù)函數(shù)，只需在區(qū)間內(nèi)尋找符號相反的兩個值即可．（3）根據(jù)（1）與（2）可知，為奇函數(shù)且在上存在零點(diǎn)．由此可判斷在也存在零點(diǎn)，即可設(shè)兩個零點(diǎn)為與，并代入點(diǎn)建立包含與的不等式，即可判斷的符號．利用的符號采用定義法證明單調(diào)性，即證明【詳解】（1）因?yàn)?，所以，，由，所以為奇函?shù)．（2）由已知可得，，所以在，所以在上存在零點(diǎn)．（3）因?yàn)樵谏洗嬖诹泓c(diǎn)，是奇函數(shù)，所以在上存在零點(diǎn)，所以，而，所以因?yàn)樵谏洗嬖诹泓c(diǎn)，所以，．設(shè)，因?yàn)?；所以，又因?yàn)椋运栽谏鲜菃握{(diào)遞減函數(shù)．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性、零點(diǎn)存在定理以及定義法證明函數(shù)的單調(diào)性，綜合性比較強(qiáng)，需掌握函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)．12．（2022·上海長寧·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).(1)求證：函數(shù)是上的減函數(shù)；(2)已知函數(shù)的圖像存在對稱中心的充要條件是的圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，判斷函數(shù)的圖像是否存在對稱中心，若存在，求出該對稱中心的坐標(biāo)，若不存在，說明理由；(3)若對任意，都存在及實(shí)數(shù)，使得，求實(shí)數(shù)的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)存在，(3)2【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（2）假設(shè)函數(shù)的圖像存在對稱中心，進(jìn)而根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為恒成立，進(jìn)而得，解方程即可得答案；（3）根據(jù)題意得，進(jìn)而結(jié)合已知條件得以所以，故.【詳解】（1）解：設(shè)對于任意的實(shí)數(shù)，，則，因?yàn)?，所以，所以，即所以函?shù)是上的減函數(shù)（2）解：假設(shè)函數(shù)的圖像存在對稱中心，則的圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，由于函數(shù)的定義域?yàn)椋院愠闪?，即恒成立，所以，解得，所以函?shù)的圖像存在對稱中心（3）解：因?yàn)閷θ我?，都存在及?shí)數(shù)，使得，所以，即，所以，即因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以所以，即所以，所以，即?shí)數(shù)的最大值為.13．（2022·上海浦東新·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)，.(1)判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；(2)若函數(shù)，寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間并用定義證明.【答案】(1)答案見解析(2)，證明見解析【分析】（1）分、兩種情況，利用函數(shù)奇偶性的定義判斷出結(jié)果；（2）求得，可以確定的單調(diào)遞增區(qū)間為，之后利用函數(shù)單調(diào)性證明即可.【詳解】（1）當(dāng)時，，定義域?yàn)椋芜x，都有，所以時函數(shù)為偶函數(shù)；當(dāng)，則；時函數(shù)既非奇函數(shù)又非偶函數(shù)；（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.證明：，任取且，，由于，則；由于，則；所以，即.

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.14．（2022·上海金山·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).(1)設(shè)是的反函數(shù)，若，求的值；(2)是否存在常數(shù)，使得函數(shù)為奇函數(shù)，若存在，求m的值，并證明此時在上單調(diào)遞增，若不存在，請說明理由.【答案】(1)3(2)詳細(xì)見解析【分析】（1）根據(jù)反函數(shù)定義可知，，利用對數(shù)性質(zhì)計(jì)算即可求得結(jié)果.（2）利用奇偶性的定義即可求得的值，利用單調(diào)性的定義證明即可得出結(jié)果.【詳解】（1）函數(shù)，是的反函數(shù)，則，，即，.（2）,定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，又，若函數(shù)為奇函數(shù)，則，即，解得，故存在常數(shù)，使得函數(shù)為奇函數(shù)，任取，且.因?yàn)椋?所以.又，所以，即，所以，函數(shù)在其定義域上是增函數(shù).15．（2022·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預(yù)測）設(shè)函數(shù)．（1）求函數(shù)的零點(diǎn)；（2）當(dāng)時，求證：在區(qū)間上單調(diào)遞減；（3）若對任意的正實(shí)數(shù)，總存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）見解析（2）證明見解析；（3）【分析】（1）討論，且，，解方程可得零點(diǎn)；（2）可令，運(yùn)用單調(diào)性的定義，證得在遞減，可得，即可得到證明；（3）由題意可得，由絕對值的含義，化簡，得到在的單調(diào)性，即有，運(yùn)用絕對值不等式的性質(zhì)，可得的最大值，即可得到的范圍．【詳解】解：（1）當(dāng)時，的零點(diǎn)為；當(dāng)且時，由得，由一元二次方程求根公式得，的零點(diǎn)為；當(dāng)時，方程中的判別式，故無零點(diǎn)；（2）證明：當(dāng)時，，可令，任取，，由，可得，，進(jìn)而，即，可得在上遞減，可得時，，則，即在區(qū)間上單調(diào)遞減；（3）對任意的正實(shí)數(shù)，總存在，，使得，則，當(dāng)時，，則在遞減，在，遞增，可得，由于，設(shè)，可得，，可得，即有，可得，則．【點(diǎn)睛】本題考查含絕對值函數(shù)的零點(diǎn)和單調(diào)性，考查存在性問題的解法，注意運(yùn)用分類討論思想方法，以及絕對值不等式的性質(zhì)，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于難題．16．（2021·上?！そy(tǒng)考一模）已知實(shí)數(shù)是常數(shù)，函數(shù).（1）求函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)的奇偶性，并說明理由；（2）若，設(shè)，記的取值組成的集合為，則函數(shù)的值域與函數(shù)()的值域相同.試解決下列問題：（i）求集合；（ii）研究函數(shù)在定義域上是否具有單調(diào)性？若有，請用函數(shù)單調(diào)性定義加以證明；若沒有，請說明理由.并利用你的研究結(jié)果進(jìn)一步求出函數(shù)的最小值.【答案】（1）定義域?yàn)椋瑸榕己瘮?shù)，理由見解析；（2）（i）；（ii）在上是減函數(shù)，證明見解析，最小值為.【分析】（1）由函數(shù)解析式，根據(jù)根式的性質(zhì)列不等式組，即可求函數(shù)定義域，由函數(shù)奇偶性的定義說明的關(guān)系即可證函數(shù)的奇偶性.（2）（i）由題設(shè)可得，由根式的性質(zhì)，即可求的取值集合，（ii）任意的且，根據(jù)解析式判斷大小即可確定單調(diào)性，利用與()的值域相同求最小值.【詳解】（1）實(shí)數(shù)是常數(shù)，函數(shù)，由，解得.函數(shù)的定義域是.對于任意，有,，即對都成立(又不恒為零)，∴函數(shù)是偶函數(shù).（2）由，有.（i）()，則.，，即..（ii）由（i）知：的定義域?yàn)?對于任意的且，有.又且(這里二者的等號不能同時成立)，，即.函數(shù)在上是減函數(shù)..又函數(shù)的值域與函數(shù)的值域相同，函數(shù)的最小值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：（1）根據(jù)根式的性質(zhì)求定義域，利用函數(shù)奇偶性的定義說明奇偶性；（2）由根式性質(zhì)，求換元后t的范圍，利用單調(diào)性定義判斷的單調(diào)性，進(jìn)而由的值域求的最小值.17．（2022·上海松江·統(tǒng)考二模）對于定義在R上的函數(shù)，若存在正數(shù)m與集合A，使得對任意的，當(dāng)，且時，都有，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．(1)若，判斷是否具有性質(zhì)，并說明理由；(2)若，且具有性質(zhì)，求m的最大值；(3)若函數(shù)的圖像是連續(xù)曲線，且當(dāng)集合（a為正常數(shù)）時，具有性質(zhì)，證明：是R上的單調(diào)函數(shù)．【答案】(1)具有性質(zhì)，理由見解析；(2)；(3)證明見解析.【詳解】（1）對一切，，且由于具有性質(zhì).（2）令，則∵具有性質(zhì)，∴當(dāng)時，恒有，即，.（3）∵函數(shù)具有性質(zhì)，∴對任意的區(qū)間，當(dāng)時，都有成立.下面證明此時，恒有或恒有若存在，使得①，不妨設(shè)②當(dāng)①或②式中有等號成立時，與矛盾當(dāng)①②兩式中等號均不成立時，的函數(shù)值從連續(xù)增大到時，必在存使得，也與矛盾，同理可證也不可能.∴對任意的區(qū)間，當(dāng)時，恒有或恒有，∵對任意的，總存在，使得：，∴當(dāng)時，，此時在單調(diào)遞增，當(dāng)時，成立，此時在上單調(diào)遞減，綜上可知是上的單調(diào)函數(shù).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對于新定義問題，關(guān)鍵在于理解所給定義，一般就是需要具體化新定義的內(nèi)容，研究所給特例問題，一般需要化抽象為具體，具有很強(qiáng)的類比性，對類比推理要求較高.18．（2021·上海閔行·上海市七寶中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?shí)數(shù)和滿足，若在區(qū)間上不存在最小值，則稱在上具有性質(zhì).(1)若，判斷函數(shù)在下列區(qū)間上是否具有性質(zhì)；①；②；(2)若對任意實(shí)數(shù)都成立，當(dāng)時，，若在區(qū)間上具有性質(zhì)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)對于滿足的任意實(shí)數(shù)和，在區(qū)間上都有性質(zhì)，且對于任意，當(dāng)時，均滿足.設(shè)，，試判斷數(shù)列的單調(diào)性，并說明理由.【答案】(1)①不具有；②具有(2)(3)單調(diào)遞增，證明見解析【分析】(1)由對稱軸，即可判斷；(2)求出在上的函數(shù)解析式，根據(jù)在上沒有最小值，即可討論的情況，得出結(jié)果；(3)由在區(qū)間上都有性質(zhì)，可以得出以及，進(jìn)而結(jié)合，可得，對于，利用進(jìn)行證明即可.【詳解】（1），對稱軸為，當(dāng)時，有最小值，不具有性質(zhì)；當(dāng)時，遞增，無最小值，具有性質(zhì).（2）由題知，當(dāng)時，，則當(dāng)，即時，，所以當(dāng)時，，所以，那么，當(dāng)時，無最小值，符合題意；當(dāng)時，需滿足，即，解得；當(dāng)時，無最小值，符合題意.綜上所述，.（3）由在區(qū)間上都有性質(zhì)，則在，上，且，又，所以，即，對于，因，令，因，所以，所以，即，所以數(shù)列是單調(diào)遞增的.考法2：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)值一、單選題1．（2022·上海寶山·統(tǒng)考二模）設(shè)函數(shù)，其中，若、、是的三條邊長，則下列結(jié)論：①對于一切都有；②存在使、、不能構(gòu)成一個三角形的三邊長；③為鈍角三角形，存在，使，其中正確的個數(shù)為______個A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【分析】構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性可知，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知，可推導(dǎo)出，從而可得，可知①正確；通過取值可知存在取值使得取值不滿足三邊關(guān)系，可知②正確；根據(jù)余弦定理可知，可得，再結(jié)合，可知，由零點(diǎn)存在性定理可知③正確；由此可得選項(xiàng).【詳解】①令

在上單調(diào)遞減

在上單調(diào)遞減當(dāng)時，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可知：

又

時，都有，可知①正確；②取，，，則，不滿足三角形三邊關(guān)系，可知②正確；③為鈍角三角形

，從而又，由零點(diǎn)存在性定理，可知③正確本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與解三角形知識的綜合應(yīng)用問題，其中涉及到零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用、余弦定理及三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用、函數(shù)單調(diào)性問題，關(guān)鍵是能夠構(gòu)造出合適的函數(shù)來對問題進(jìn)行求解.二、填空題2．（2021·上海·統(tǒng)考二模）函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【分析】討論、、：顯然根據(jù)解析式知、，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增；，利用基本不等式(注意等號成立的條件)，結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，即可求a的范圍.【詳解】當(dāng)時，在上，單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增，符合題意；當(dāng)時，在內(nèi)單調(diào)遞增，符合題意；當(dāng)時，，∴若，時，等號不成立，此時在內(nèi)單調(diào)遞增，符合題意；若，時，若當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，此時在內(nèi)單調(diào)遞增，不符合題意.綜上，有時，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：應(yīng)用分類討論，當(dāng)、時，根據(jù)函數(shù)解析式直接判斷單調(diào)性，當(dāng)時，綜合應(yīng)用基本不等式、對勾函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出參數(shù)范圍.3．（2021·上海黃浦·上海市大同中學(xué)?？既＃┖瘮?shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性確定對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，同時注意分母不為0需滿足上符號一致.【詳解】在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則，即，同時需滿足，即，解得，綜上可知故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：注意利用二次函數(shù)對稱軸與所給區(qū)間的關(guān)系求解，同時需注意時，符號必須一致是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.4．（2022·上海徐匯·統(tǒng)考三模）設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，若存在反函數(shù)，則的取值范圍是______________．【答案】或.【分析】先求出的解析式，若存在反函數(shù)，則在每段單調(diào)且各段值域無重合，計(jì)算得解.【詳解】當(dāng)時，，，是定義在上的奇函數(shù)，所以，即時，，所以，若存在反函數(shù)，則在每段單調(diào)且各段值域無重合，當(dāng)，，；所以或所以或.故答案為：或.5．（2022·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測）已知定義在上的增函數(shù)滿足，若實(shí)數(shù)滿足不等式，則的最小值是______．【答案】8【分析】由知，可將不等式變?yōu)椋煤瘮?shù)單調(diào)性可得，根據(jù)線性規(guī)劃的知識，知的幾何意義為原點(diǎn)與可行域中的點(diǎn)的距離的平方，從而可知所求最小值為到直線的距離的平方，利用點(diǎn)到直線距離公式求得結(jié)果.【詳解】由得：等價于為上的增函數(shù)，即則可知可行域如下圖所示：則的幾何意義為原點(diǎn)與可行域中的點(diǎn)的距離的平方可知到直線的距離的平方為所求的最小值本題正確結(jié)果；【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、線性規(guī)劃中的平方和型的最值的求解，關(guān)鍵是能夠利用平方和的幾何意義，將問題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間距離的最值的求解問題.6．（2022·上海普陀·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)和的圖像關(guān)于y軸對稱，當(dāng)函數(shù)和在區(qū)間上同時遞增或者同時遞減時，把區(qū)間叫做函數(shù)的“不動區(qū)間”，若區(qū)間[1,2]為函數(shù)的“不動區(qū)間”，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是_____【答案】【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)y＝f（x）與y＝F（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，所以F（x）＝f（﹣x）＝|2﹣x﹣t|，因?yàn)閰^(qū)間[1，2]為函數(shù)y＝|2x﹣t|的“不動區(qū)間”，所以函數(shù)y＝|2x﹣t|和函數(shù)F（x）＝|2﹣x﹣t|在[1，2]上單調(diào)性相同，因?yàn)閥＝2x﹣t和函數(shù)y＝2﹣x﹣t的單調(diào)性相反，所以（2x﹣t）（2﹣x﹣t）≤0在[1，2]上恒成立，即1﹣t（2x+2﹣x）+t2≤0在[1，2]上恒成立，即2﹣x≤t≤2x在[1，2]上恒成立，得t≤2；故答案為[]點(diǎn)睛：已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍的常用方法，(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍．(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決．(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中，作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解．7．（2022·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知為定義在上的增函數(shù)，且任意，均有，則_____.【答案】【分析】設(shè)，令、求得，結(jié)合單調(diào)性求出a值，代入驗(yàn)證即可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，令得：；令得：，因?yàn)闉槎x在上的增函數(shù)，所以，當(dāng)時，由矛盾.故.故答案為：三、解答題8．（2023·上海浦東新·?？家荒＃┮阎瘮?shù)，其中．解關(guān)于x的不等式；求a的取值范圍，使在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）.【分析】由題意可得，對a討論，可得所求解集；求得，由反比例函數(shù)的單調(diào)性，可得，解不等式即可得到所求范圍．【詳解】的不等式，即為，即為，當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為，；，由在區(qū)間上是單調(diào)減函數(shù)，可得，解得．即a的范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查分式不等式的解法，注意運(yùn)用分類討論思想方法，考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．9．（2021·上?！そy(tǒng)考一模）設(shè)函數(shù)，為常數(shù).（1）若為偶函數(shù)，求的值；（2）設(shè)，，為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)偶函數(shù)的定義求解即可；（2）化簡函數(shù)，根據(jù)函數(shù)減函數(shù)的定義確定a的范圍.【詳解】（1）因?yàn)闉榕己瘮?shù)，且，所以即即所以對一切成立，所以（2）因?yàn)?，且所以，任取，因?yàn)?，所以且又在區(qū)間上為減函數(shù)，所以即，所以又，所以.10．（2022·上海浦東新·上海市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)f(x)，k≠0，k∈R．（1）討論函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；（2）已知f（x）在（﹣∞，0]上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式分析可得的表達(dá)式，討論的范圍，分析與的關(guān)系，即可得結(jié)論；（2）設(shè)，分析可得的范圍，則對的范圍進(jìn)行分情況討論，討論函數(shù)的單調(diào)性，求出的范圍，綜合即可得答案．【詳解】（1）根據(jù)題意，函數(shù)f(x)，其定義域?yàn)镽，f(-x)=，當(dāng)k=1時，有f（x）=f（﹣x），函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，當(dāng)k≠1時，f（x）≠f（﹣x）且f（﹣x）≠﹣f（x），函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)；（2）設(shè)t=2x，x∈（﹣∞，0]，則有0＜t≤1，則y=，當(dāng)k＜0時，函數(shù)f（x）在R上遞減，符合題意；當(dāng)k＞0時，t∈（0，）上時，函數(shù)y=遞減，t∈（，+∞）上時，函數(shù)y=遞增，若已知f（x）在（﹣∞，0]上單調(diào)遞減，必有≥1，解可得k≥1，綜合可得：t的取值范圍是（﹣∞，0）∪[1，+∞）．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的性質(zhì)以及應(yīng)用，分析函數(shù)的奇偶性時注意討論k的取值．屬中檔題.11．（2021·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的定義域；（2）若，若有2個不同實(shí)數(shù)根，求的取值范圍；（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)在定義域內(nèi)具有單調(diào)性？若存在，求出的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）解絕對值不等式即可得答案；（2）利用有兩個不同的實(shí)數(shù)根，轉(zhuǎn)化為有兩個根，利用換元法可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）分與兩類情況，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得使得函數(shù)在定義域內(nèi)具有單調(diào)性的的取值范圍.【詳解】解：（1），∴，解得；所以函數(shù)的定義域?yàn)?（2）由題知有2個不同實(shí)數(shù)根，所以，，設(shè)，∴有2個不同實(shí)數(shù)根，∴整理得，有2個不同實(shí)數(shù)根，同時，∴；（3）當(dāng)，，在遞減，此時需滿足，即時，函數(shù)在上遞減；當(dāng)，，在上遞減，∵，∴，即當(dāng)時，函數(shù)在上遞減；綜上，當(dāng)時，函數(shù)在定義域上連續(xù)，且單調(diào)遞減.所以的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題第二問解題的關(guān)鍵在于利用換元法，將問題轉(zhuǎn)化為，有2個不同實(shí)數(shù)根，進(jìn)而求解，第三問解題的關(guān)鍵在于分類討論求解.12．（2021·上海楊浦·復(fù)旦附中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù).(1)當(dāng)b=0時，若在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；(2)求滿足下列條件的所有整數(shù)對：存在，使得是的最大值，是的最小值；(3)對滿足（2）中的條件的整數(shù)對，已知定義域?yàn)榍业暮瘮?shù)滿足：，且當(dāng)時，，若函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)為4個，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【答案】(1)[0，1](2)滿足條件的整數(shù)對是(3)【分析】（1）當(dāng)時，若在，上單調(diào)遞減，則此區(qū)間必是函數(shù)定義上單調(diào)遞減區(qū)間的子集，由此可以求出的取值范圍（2）研究兩個函數(shù)的最值，由于在時取到最小值，故求出取最大值的，令其等于．（3）由題設(shè)條件，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求出在定義域上的解析式，再根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)為4個，即可得到關(guān)于的等式求出的值．（1）解：當(dāng)時，，若，，則在，上單調(diào)遞減，成立，故，要使在，上單調(diào)遞增，必須滿解之得即實(shí)數(shù)的取值范圍是；（2）解：若，，可得無最大值，故，為二次函數(shù)，要使有最大值，必須滿足，即，，此時，時，有最大值．又取最小值時，，依題意有，可得，且，，，結(jié)合為整數(shù)得，此時或．綜上所述，滿足條件的實(shí)數(shù)對是：，．（3）解：當(dāng)整數(shù)對是，．，，是以4為周期的周期函數(shù)．又當(dāng)時，，對任意的都有，所以對任意的都有，對于任意的，都存在，使得，，，則得，，，，，，，，，所以，即，為奇函數(shù)．考慮函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個數(shù)，因?yàn)檫@兩個函數(shù)均為奇函數(shù)，所以它們在軸右側(cè)的交點(diǎn)個數(shù)為2，當(dāng)，，則，，當(dāng)，，，則，顯然時不合題意，舍去．當(dāng)時，考慮這兩個函數(shù)在軸有且只有兩個交點(diǎn)；則有兩組解，即有兩解，，且無解，即無解，，所以，當(dāng)時，考慮這兩個函數(shù)在軸右側(cè)有且只有兩個交點(diǎn)；有一組解，即有一解，，且有一組解，即有一解，，綜上，的取值范圍為13．（2022·上海松江·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在常?shù)和，對任意的，都有成立，則稱函數(shù)為“擬線性函數(shù)”，其中數(shù)組稱為函數(shù)的擬合系數(shù).(1)數(shù)組是否是函數(shù)的擬合系數(shù)？(2)判斷函數(shù)是否是“擬線性函數(shù)”，并說明理由；(3)若奇函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對稱（其中為常數(shù)），證明：是“擬線性函數(shù)”.【答案】(1)是；(2)不是；(3)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)所給新定義推出即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)新定義，利用特例法可知不存在使成立，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)所給函數(shù)的性質(zhì)可構(gòu)造函數(shù)，利用周期定義可得為周期函數(shù)，先證明在時，，再利用周期證明對一切，都有即可得證.【詳解】（1）因?yàn)樗援?dāng)，當(dāng)時，因?yàn)榛?，所以，所以?shù)組是函數(shù)的擬合系數(shù).（2）①當(dāng)時，對于恒成立，所以成立，②當(dāng)時，恒成立，所以成立，由①②可知，不能同時滿足，所以函數(shù)不是“擬線性函數(shù)”.（3）的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，，令x=0，得：，由于在區(qū)間上遞增，，，為奇函數(shù)，，時，，記，下面證明對一切，都有，為奇函數(shù)，，，即，由于是周期函數(shù)，且一個周期為，因?yàn)楫?dāng)時，，，又因此時，當(dāng)，，，由于均為奇函數(shù)，也為奇函數(shù)，當(dāng)時，，也成立，綜合得:時，,當(dāng)時，，，因此，對一切，都有，即恒成立.所以是“擬線性函數(shù)”.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)所給新定義，理解“擬線性函數(shù)”，并選取恰當(dāng)?shù)臄M合系數(shù)是解題的關(guān)鍵所在，證明是“擬線性函數(shù)”，需要根據(jù)所給函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，對稱性進(jìn)行充分推理，為探求擬合系數(shù)準(zhǔn)備，找到合適的擬合系數(shù)，是解決問題的難點(diǎn)，探求出擬合系數(shù)后根據(jù)定義推導(dǎo)即可，屬于難題.考法3：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性一、單選題1．（2022·上海·統(tǒng)考模擬預(yù)測）下列函數(shù)中，在其定義域上是減函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷，結(jié)合指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性可判斷AC，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷B，由一次函數(shù)的單調(diào)性可判斷D.【詳解】解：A:因?yàn)闉闇p函數(shù)，所以為增函數(shù)；B:對稱軸為，圖象開口向上，所以在上為增函數(shù)；C:因?yàn)樵诙x域上為減函數(shù)，所以在定義域上為增函數(shù)；D:當(dāng)時，為減函數(shù)，當(dāng)時，為減函數(shù)，且，所以在定義域上為減函數(shù).故選:D.2．（2022·上海·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)和的定義域均為，對于下列四個命題：①若對任意，都有，則存在且唯一；②若為上單調(diào)函數(shù)，為周期函數(shù)，則在上既是單調(diào)函數(shù)又是周期函數(shù)；③若對任意，都有，則當(dāng)時，必有；④若函數(shù)不存在反函數(shù)，則在上不是單調(diào)函數(shù).其中正確的命題為（）A．①② B．②④ C．①③④ D．③④【答案】D【分析】①舉例若或判斷；②不妨設(shè)函數(shù)的周期為判斷；③利用函數(shù)定義判斷；④根據(jù)函數(shù)具有反函數(shù)的條件判斷.【詳解】若或，都滿足對任意，都有，故①錯誤；不妨設(shè)函數(shù)的周期為，則，故在上不是單調(diào)函數(shù)，故②錯誤；∵，∴，又∵，∴；故③正確；∵若在上是單調(diào)函數(shù)，則函數(shù)存在反函數(shù)；∴若函數(shù)不存在反函數(shù)，則在上不是單調(diào)函數(shù)，故④正確.故選：D.3．（2020·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知（且）在上有，則在（

）A．上遞增 B．上遞減 C．上遞增 D．上遞減【答案】C【分析】由且可得，再由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得到的單調(diào)區(qū)間.【詳解】因?yàn)椋?，所以，令，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞減，所以在上遞增.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查利用對數(shù)函數(shù)值的正負(fù)判斷底數(shù)的范圍、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查數(shù)形結(jié)合思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力.4．（2022·上海·高三專題練習(xí)）已知都是定義在上的函數(shù)，下列兩個命題：①若、都不是單調(diào)函數(shù)，則不是增函數(shù)．②若、都是非奇非偶函數(shù)，則不是偶函數(shù)．則（

）A．①②都正確 B．①正確②錯誤 C．①錯誤②正確 D．①②都錯誤【答案】D【解析】舉反例即可得答案.【詳解】解：：當(dāng)，則，故①不正確；當(dāng)，，則，故②不正確.∴①②都錯誤.故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性，是基礎(chǔ)題.5．（2021·上海徐匯·統(tǒng)考二模）若是R上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，則下列結(jié)論：①是偶函數(shù)；②對任意的x∈R都有；③在上單調(diào)遞增；④反函數(shù)存在且在上單調(diào)遞增．其中正確結(jié)論的個數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義以及單調(diào)性性質(zhì)，及反函數(shù)性質(zhì)逐一進(jìn)行判斷選擇.【詳解】對于①，由是上的奇函數(shù)，得，∴，所以是偶函數(shù)，故①正確；對于②，由是上的奇函數(shù)，得，而不一定成立，所以對任意的，不一定有，故②錯誤；對于③，因?yàn)槭巧系钠婧瘮?shù)，且在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，且，因此，利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，知在上單調(diào)遞增，故③正確.對于④，由已知得是上的單調(diào)遞增函數(shù)，利用函數(shù)存在反函數(shù)的充要條件是，函數(shù)的定義域與值域是一一映射，且函數(shù)與其反函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)單調(diào)性一致，故反函數(shù)存在且在上單調(diào)遞增，故④正確；故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查奇函數(shù)定義以及單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是熟悉奇函數(shù)的定義及單調(diào)性性質(zhì)，及反函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生的基本分析判斷能力，屬中檔題.二、填空題6．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）函數(shù)的遞增區(qū)間是__________【答案】【分析】根據(jù)題意，求出的定義域，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性即可求解.【詳解】由題意得，，即，又因的對稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，故根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得，函數(shù)的遞增區(qū)間為.故答案為：.7．（2021秋·上海長寧·高三上海市復(fù)旦中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為________．【答案】【分析】求出函數(shù)的定義域，然后利用復(fù)合函數(shù)法可求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】令，解得或，函數(shù)的定義域?yàn)?內(nèi)層函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.外層函數(shù)在上為增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)法可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)區(qū)間的求解，常用的方法有復(fù)合函數(shù)法、圖象法，另外在求單調(diào)區(qū)間時，首先應(yīng)求函數(shù)的定義域，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.8．（2020秋·上海浦東新·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，(為常數(shù))在區(qū)間上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則只需函數(shù)在上遞增，然后根據(jù)二次函數(shù)的增減性求解的取值范圍.【詳解】若函數(shù)，(為常數(shù))在區(qū)間上是增函數(shù)，則二次函數(shù)在上遞增，只需滿足，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷及根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求參，較簡單.9．（2021秋·上海寶山·高三上海市吳淞中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是定義在上的單調(diào)函數(shù)，且對任意的實(shí)數(shù)，都有，則的值為_________.【答案】【分析】根據(jù)題意，對于復(fù)合函數(shù)問題，利用換元法可設(shè)（為常數(shù)），得出，從而得出，再令，且根據(jù)一次函數(shù)和指數(shù)型函數(shù)的單調(diào)性得出函數(shù)的單調(diào)性，從而可知有唯一解，從而得出的解析式，最后結(jié)合對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】解：是上的單調(diào)函數(shù)，且對任意的實(shí)數(shù)，都有，則設(shè)（為常數(shù)），則，，即，令，由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，所以有唯一解，解得：，，.故答案為：.三、解答題10．（2020·上海·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，判斷單調(diào)性并求出其反函數(shù).【答案】遞增函數(shù)，，【分析】變換，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得到函數(shù)單調(diào)性，取，解得，得到反函數(shù).【詳解】，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知函數(shù)單調(diào)遞增，，則，故，故，.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，求反函數(shù)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.11．（2020·上海·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)為奇函數(shù)，又，，且在上遞減．（1）求a，b，c的值；（2）當(dāng)時，討論的單調(diào)性．【答案】（1），；（2）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)結(jié)合函數(shù)值計(jì)算得到答案.（2）變換，根據(jù)雙勾函數(shù)性質(zhì)得到答案.【詳解】（1）由為奇函數(shù)，，又，得，由，得，∴，.（2），根據(jù)雙勾函數(shù)性質(zhì)知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)奇偶性求參數(shù)，確定函數(shù)單調(diào)性，意在考查學(xué)生對于函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.12．（2021秋·上海浦東新·高三上海南匯中學(xué)?？计谥校τ诙x在D上的函數(shù)，若對任意，不等式對一切恒成立，則稱函數(shù)是“A控制函數(shù)”．(1)當(dāng)，判斷、是否是“A控制函數(shù)"；(2)當(dāng)，，，若函數(shù)是“A控制函數(shù)”，求正數(shù)m的取值范圍；(3)當(dāng)，，D為整數(shù)集，若函數(shù)是“A控制函數(shù)”且均為常值函數(shù)，求所有符合條件的t的值．【答案】(1)是，不是(2)(3)1,3,5【分析】（1）利用函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合新定義，逐個判斷即可；（2）依題意，為上的增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)不等式恒成立即得解；（3）根據(jù)條件，分析t為奇數(shù)的情況，求出滿足條件的t的值．(1)∵f（x）＝﹣2x為減函數(shù)，∴f（x）＜f（x﹣1），∴f（x）＝﹣2x具有A性質(zhì)；∵為增函數(shù)，∴g（x）＞g（x﹣1），∴不具有A性質(zhì)；(2)依題意，對任意a∈，f（x）≤f（x+a）恒成立，∴,應(yīng)滿足而為增函數(shù)，所以在應(yīng)滿足因?yàn)閍∈，恒成立，且化簡可得，即對于任意a∈，，都有恒成立，而在上是減函數(shù)，故只需即可，解得或（舍去）故當(dāng)m≥時，函數(shù)滿足對任意a∈，f（x）≤f（x+a）恒成立，綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為．(3)∵D為整數(shù)集，具有A性質(zhì)的函數(shù)均為常值函數(shù)，當(dāng)時，恒成立，，由題意，，則，當(dāng)，，當(dāng)，，綜上t為奇數(shù)，又，故所有符合條件的t的值為1,3,513．（2019·上海浦東新·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)的定義域，值域?yàn)?（1）下列哪個函數(shù)滿足值域?yàn)椋覇握{(diào)遞增？（不必說明理由）①，②.（2）已知函數(shù)的值域，試求出滿足條件的函數(shù)一個定義域；（3）若，且對任意的，有，證明：.【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析【分析】（1）由正切函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可直接判斷；（2）由，得，進(jìn)而利用正弦函數(shù)的性質(zhì)列式求解即可；（3）利用反證法，假設(shè)存在使得，結(jié)合條件推出矛盾即可證得.【詳解】（1）滿足.不滿足.（2）因?yàn)?，所以即，所以所以滿足條件的（答案不唯一）.（3）假設(shè)存在使得又有，所以，結(jié)合兩式：，所以，故.由于知：.又.類似地，由于，得.所以，與矛盾，所以原命題成立.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)及反證法的證明，屬于難題.考法4：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式一、單選題1．（2021·上海閔行·上海市七寶中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由題意可得在R上為減函數(shù)，且，不等式等價于，則在上恒成立，可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù)，由二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)可知，當(dāng)時，為減函數(shù)，且；當(dāng)時，為減函數(shù)，且，所以在R上為減函數(shù)，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以，不等式等價于，則在上恒成立，即在上恒成立，得，解得.故選：B2．（2022·上海虹口·統(tǒng)考二模）函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且對于任意的，都有成立.如果，則實(shí)數(shù)的取值集合是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】依題意可得在定義域上單調(diào)遞減，由，則等價于，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可得解；【詳解】解：因?yàn)閷τ谌我獾模加?，?dāng)時，即，當(dāng)時，即，即在定義域上單調(diào)遞減，又是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，所以，則，即，即，所以，即不等式的解集為；故選：C3．（2021·上海·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)函數(shù)，判斷其單調(diào)性與奇偶性；從而得出單調(diào)性與對稱性，將所求不等式化為，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，即可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)函數(shù)，則函數(shù)是定義域?yàn)?，根?jù)指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的單調(diào)性可得，是增函數(shù)，是減函數(shù)，是增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增；又，所以是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱；又，即的圖象可由向右平移一個單位，再向上平移兩個單位后得到，所以是定義域?yàn)榈脑龊瘮?shù)，且其圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，即有，即．由得，即，即，所以，解得．故選：A．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵在于根據(jù)函數(shù)的解析式，判斷函數(shù)的單調(diào)性與對稱性，進(jìn)而即可求解不等式.二、填空題4．（2022·上海靜安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時，，則不等式的解集為______.【答案】或【分析】由函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性求解．【詳解】因?yàn)楫?dāng)時，單調(diào)遞增，且，所以等價于.因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，解得或，即不等式的解集為或故答案為：或．5．（2021·上海楊浦·復(fù)旦附中?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)，若m滿足，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是____________【答案】【分析】先判斷出的奇偶性，再結(jié)合單調(diào)性和題干條件，得到，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍.【詳解】定義域?yàn)镽，且，所以為偶函數(shù)，因?yàn)椋?，所以等價于，而，所以，又因?yàn)楫?dāng)時，且單調(diào)遞增，且單調(diào)遞增，所以在為單調(diào)增函數(shù)，故，解得：.故答案為：6．（2022·上?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測）設(shè)是定義在上的以2為周期的偶函數(shù)，在區(qū)間上嚴(yán)格遞減，且滿足，，則不等式組的解集為___________.【答案】【分析】首先根據(jù)函數(shù)的周期性和奇偶性得到區(qū)間上嚴(yán)格遞增，又根據(jù)，，從而得到，再根據(jù)單調(diào)性求解即可.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，且在區(qū)間上嚴(yán)格遞減，所以區(qū)間上嚴(yán)格遞增，又因?yàn)榈闹芷跒椋詤^(qū)間上嚴(yán)格遞增.又因?yàn)?，，所以，解?故答案為：7．（2021·上海·統(tǒng)考二模）設(shè)函數(shù)（），若函數(shù)的零點(diǎn)為4，則使得成立的整數(shù)的個數(shù)為________【答案】【分析】先由函數(shù)零點(diǎn)求出；判斷此時函數(shù)的單調(diào)性；將所求不等式化為；根據(jù)單調(diào)性，得到，進(jìn)而可根據(jù)題中條件，求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的零點(diǎn)為，所以，又，所以，所以，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以在上單調(diào)遞減，且；由得，所以，故，又，故，故整數(shù)的個數(shù)為.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性解不等式時，一般需要根據(jù)所給函數(shù)的解析式，先判斷函數(shù)單調(diào)性，再將所求式子變形整理，利用函數(shù)單調(diào)性，即可求解.8．（2021·上?！そy(tǒng)考一模）設(shè)，則不等式的解集為__________．【答案】【解析】根據(jù)初等函數(shù)的性質(zhì)，得到函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，且，把不等式轉(zhuǎn)化為，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，根據(jù)初等函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，且，則不等式等價于，即，解得，所以不等式的解集為.故答案為：.9．（2021·上?！そy(tǒng)考二模）設(shè)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.【答案】【分析】首先判斷函數(shù)的定義域和單調(diào)性，不等式等價于，利用函數(shù)性質(zhì)解不等式.【詳解】函數(shù)的定義域是，并且函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，，解得：.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解抽象不等式，意在考查函數(shù)基本性質(zhì)簡單應(yīng)用，解抽象不等式時，需注意函數(shù)的定義域.10．（2020·上海閔行·統(tǒng)考二模）已知是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)，且，總有，則不等式的解集為__________．【答案】【分析】根據(jù)題意可得出在上單調(diào)遞減，且，從而根據(jù)原不等式即可得出，解出x的范圍即可.【詳解】解：∵，且時，，∴在上單調(diào)遞減，∴在上單調(diào)遞減，∴由得，∴，解得，∴原不等式的解集為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了偶函數(shù)的定義，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的函數(shù)的單調(diào)性的特點(diǎn)，減函數(shù)和增函數(shù)的定義，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題11．（2022·上海浦東新·華師大二附中?？寄M預(yù)測）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù).當(dāng)時，若（，）是增函數(shù)，則稱是一個“函數(shù)”.(1)判斷函數(shù)（）是否為函數(shù)，并說明理由；(2)若定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，解關(guān)于的不等式；(3)設(shè)是滿足下列條件的定義域?yàn)榈暮瘮?shù)組成的集合：①對任意，都是函數(shù)；②，.若對一切和所有成立，求實(shí)數(shù)的最大值.【答案】(1)是，理由見解析(2)(3)【分析】（1）將代入解析式，根據(jù)整理表達(dá)式，判斷是否為增函數(shù)即可；（2）由函數(shù)可知是上的增函數(shù)，有意義，需滿足，顯然時不等式不成立，設(shè)，轉(zhuǎn)化不等式為，結(jié)合單調(diào)性即可判斷；（3）由題可知是函數(shù)，也是函數(shù)，結(jié)合已知函數(shù)值及函數(shù)單調(diào)性，可得當(dāng)，或當(dāng)時，，再討論當(dāng)，結(jié)合可判斷，即滿足當(dāng)時，對一切成立.另證明任意均不滿足要求：任意，定義函數(shù)滿足條件②，滿足條件①時符合，即可證明.【詳解】（1）是，理由：由題，（，）為增函數(shù)，故（）是函數(shù).（2）因?yàn)槭呛瘮?shù)，且，所以是上的增函數(shù)，因?yàn)橛幸饬x，所以，顯然，時不等式不成立，下設(shè)，此時等價于，由的單調(diào)性得，，即所求不等式的解集為.（3）由題意，是函數(shù)，故是增函數(shù)，從而當(dāng)時，，即；而是函數(shù)，故是增函數(shù)，從而當(dāng)時，，即，當(dāng)時，同理可得，且，故且，故.因此，當(dāng)時，對一切成立.下證，任意均不滿足要求，由條件②知，.另一方面，對任意，定義函數(shù)，容易驗(yàn)證條件②成立.對條件①，任取，有，注意到是增函數(shù)，而對，當(dāng)時，；當(dāng)時，，均單調(diào)不減.因?yàn)?，所以條件①成立.從而.此時，，故，從而為所求最大值.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：靈活利用已知函數(shù)值構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)的單調(diào)性來處理不等式問題.考法5：比較函數(shù)值的大小一、單選題1．（2022·上海寶山·統(tǒng)考二模）關(guān)于函數(shù)和實(shí)數(shù)的下列結(jié)論中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，即可得到此類函數(shù)的規(guī)律是自變量離原點(diǎn)越近，函數(shù)值越小，即自變量的絕對值小，函數(shù)值就小，反之也成立，從而一一判斷即可；【詳解】解：因?yàn)椋院瘮?shù)是一個偶函數(shù)，又時，與是增函數(shù)，且函數(shù)值為正數(shù)，故函數(shù)在上是一個增函數(shù)由偶函數(shù)的性質(zhì)得函數(shù)在上是一個減函數(shù)，此類函數(shù)的規(guī)律是自變量離原點(diǎn)越近，函數(shù)值越小，即自變量的絕對值小，函數(shù)值就小，反之也成立，考察四個選項(xiàng)，A選項(xiàng)，由，無法判斷，離原點(diǎn)的遠(yuǎn)近，故A錯誤；B選項(xiàng)，，則的絕對值大，故其函數(shù)值也大，故B不對；C選項(xiàng)是正確的，由，一定得出；D選項(xiàng)由，可得出，但不能得出，不成立，故選：C．2．（2021·上?！そy(tǒng)考二模）已知以下三個陳述句：存在且，對任意的，均有恒成立；函數(shù)是減函數(shù)，且對任意的，都有；函數(shù)是增函數(shù)，存在，使得；用這三個陳述句組成兩個命題，命題“若，則”；命題“若，則”．關(guān)于、，以下說法正確的是（

）A．只有命題是真命題 B．只有命題是真命題C．兩個命題、都是真命題 D．兩個命題、都不是真命題【答案】C【分析】取，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷命題的真假，取，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷命題的真假.【詳解】對于命題，若成立，則當(dāng)時，，，因?yàn)楹瘮?shù)是減函數(shù)，所以，，所以，命題為真命題；對于命題，若成立，則當(dāng)時，，則當(dāng)時，，，所以，，所以，命題為真命題故選：C.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解答比較函數(shù)值大小問題，常見的思路有兩個：（1）判斷各個數(shù)值所在的區(qū)間；（2）利用函數(shù)的單調(diào)性直接解答.數(shù)值比較多的比較大小問題也也可以利用兩種方法的綜合應(yīng)用.3．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知偶函數(shù)的定義域?yàn)镽，導(dǎo)函數(shù)為，若對任意，都有恒成立，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，結(jié)合條件可判斷出在上單調(diào)遞增，且函數(shù)為偶函數(shù)，進(jìn)而可得.【詳解】令，則，則A錯誤；令，則，當(dāng)時，由，，則在上單調(diào)遞增，又因?yàn)榕己瘮?shù)的定義域?yàn)镽，∴為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞增，，，故B錯誤；，，故C正確；由題意，不妨假設(shè)(c為常數(shù))符合題意，此時，故D錯誤.故選：C.4．（2022秋·上海青浦·高三上海市青浦高級中學(xué)?？计谥校┮阎x在上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時，，則下列結(jié)論正確個數(shù)為（

）①的一個周期為2

②③

④圖象關(guān)于直線對稱A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】由條件證明，由此判斷①，④，根據(jù)已知條件結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)求，判斷②，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷③，由此確定正確命題的個數(shù).【詳解】因?yàn)楫?dāng)時，，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所?不是的周期，①錯，因?yàn)椋院瘮?shù)圖象不關(guān)于直線對稱，④錯，因?yàn)椋?，即，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且為奇函?shù)，所以，所以，所以，②對，因?yàn)?，所以，又，所以，因?yàn)樵谏系膯握{(diào)遞增，又，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，又，所以，所以，因?yàn)楫?dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，又，所以，③錯，所以正確的命題只有②，故選：A.5．（2022春·上海浦東新·高三?？茧A段練習(xí)）設(shè)，若，則下列不等式不恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可判斷A;根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷B;根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性判斷C，可舉特例說明D中不等式不恒成立，即可得答案.【詳解】對于A,由于，根據(jù)不等式性質(zhì)可知恒成立；對于B,由于函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，故若，則恒成立；對于C，由于函數(shù)是單調(diào)增函數(shù)，故若，則恒成立；對于D，不妨取，則，即時，不恒成立，故選：D6．（2022春·上海松江·高三上海市松江二中?？奸_學(xué)考試）定義在上的函數(shù)，若存在且，使得恒成立，則稱具有“性質(zhì)”.已知是上的增函數(shù)，且恒成立；是上的減函數(shù)，且存在，使得，則（

）A．和都具有“性質(zhì)”B．不具有“性質(zhì)”，具有“性質(zhì)”C．具有“性質(zhì)”，不具有“性質(zhì)”D．和都不具有“性質(zhì)”【答案】A【分析】根據(jù)具有“性質(zhì)”函數(shù)的定義，令、結(jié)合、的單調(diào)性判斷是否存在使成立即可.【詳解】由是上的增函數(shù)，則當(dāng)時有，又，所以，即存在使恒成立，故具有“性質(zhì)”；對于，若，則，又是上的減函數(shù)，而，所以，即存在使恒成立，故具有“性質(zhì)”；故選：A7．（2022秋·上海奉賢·高三統(tǒng)考期中）若是偶函數(shù)，其定義域?yàn)?，且在上是減函數(shù)，則與的大小關(guān)系是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)奇偶性得，作差比較得，結(jié)合單調(diào)性得結(jié)果.【詳解】∵是偶函數(shù)，∴，而，∴，∵函數(shù)在上是減函數(shù)，∴，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，以及函數(shù)奇偶性的判斷，屬于基礎(chǔ)題.8．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知，，設(shè)，，，則、、的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)均值不等式得到，再利用函數(shù)為遞減函數(shù)得到答案.【詳解】在上單調(diào)遞減.綜上所述：故選【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，均值不等式，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.二、多選題9．（2022秋·上海閔行·高三閔行中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)，若，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．當(dāng)時，【答案】AD【分析】設(shè)，函數(shù)單調(diào)遞增，可判斷A；設(shè)，則不是恒大于零，可判斷B；，不是恒小于零，可判斷C；當(dāng)時，，故，函數(shù)單調(diào)遞增，故，即，由此可判斷D.得選項(xiàng).【詳解】解：對于A選項(xiàng)，因?yàn)榱?，在上是增函?shù)，所以當(dāng)時，，所以，即．故A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，因?yàn)榱睿?，所以時，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減．所以與無法比較大?。蔅選項(xiàng)錯誤；對于C選項(xiàng)，令，所以時，在單調(diào)遞減，時，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，故成立，當(dāng)時，，．故C選項(xiàng)錯誤；對于D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)知，當(dāng)時，單調(diào)遞增，又因?yàn)锳正確，成立，所以,故D選項(xiàng)正確.故選：AD．【點(diǎn)睛】用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間或判斷函數(shù)的單調(diào)性問題時應(yīng)注意如下幾方面：(1)在利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要確定函數(shù)的定義域；(2)不能隨意將函數(shù)的2個獨(dú)立的單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間寫成并集形式；(3)利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.三、解答題10．（2021·上海奉賢·上海市奉賢中學(xué)?？级＃┮阎瘮?shù)，，各項(xiàng)均不相等的數(shù)列滿足：，令.（1）試舉例說明存在不少于項(xiàng)的數(shù)列，使得；（2）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，證明：對恒成立；（3）若數(shù)列是等差數(shù)列，證明：對恒成立.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析.【分析】（1）令，只需使得即可；（2）先證明，再證明，即可得證；（3）分，，進(jìn)行討論.【詳解】解：（1）是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，取，，則，∴可取，，，使得；（2）證明：由于，那么，∴，易知是一個奇函數(shù)，當(dāng)時，，∴，∴在單調(diào)遞增，又是一個奇函數(shù)，∴在上單調(diào)遞增，∴，而，，∴，∴，即，，∴對恒成立；（3）證明：如，；若，則，則，∴，∴，同理可得，，累加可得，∴；若，則，則，∴，∴，同理可得，，累加可得，∴；綜上所述，對恒成立.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列與函數(shù)結(jié)合的問題，思路的切入點(diǎn)比較難找，技巧性較高，計(jì)算量也是比較大的，考了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，邏輯推理能力，分類討論思想，屬于難題.本題第二問解題的關(guān)鍵在于利用奇函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得，進(jìn)而得到；第三問解題的關(guān)鍵在于結(jié)合等差數(shù)列的前項(xiàng)和與函數(shù)的單調(diào)性得分類討論求解.11．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)．（1）若不等式；對任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】(1)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)單調(diào)性分類討論即可作答；(2)利用對數(shù)與指數(shù)互化關(guān)系把等價化為指數(shù)形式，經(jīng)計(jì)算并放縮即可證得右邊，利用(1)a=2時的結(jié)論，經(jīng)變形、整理得，再把代入計(jì)算，放縮即可得證.【詳解】（1）令，，，令，當(dāng)時，，且對稱軸，所以當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，所以恒成立，當(dāng)時，，可知必存在區(qū)間，使得，當(dāng)時，有，即在上單調(diào)遞減，由于，此時不合題意，綜上，；（2）①先證，而，又，所以，即成立；②再證，由（1）知，取，則，于是當(dāng)時，有，即成立，令，，下證，只需證上述最后不等式成立，于是成立，綜合①②得成立.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及不等式恒成立，等價轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)思想是解決問題的關(guān)鍵.考法6：根據(jù)函數(shù)的解析式直接判斷函數(shù)的單調(diào)性一、單選題1．（2022秋·上海浦東新·高三上海市洋涇中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又是上的嚴(yán)格增函數(shù)的是（）．A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)冪指對函數(shù)的性質(zhì)解決.【詳解】根據(jù)奇偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱，故D錯；根據(jù)偶函數(shù)，則C錯；最后根據(jù)上的嚴(yán)格增函數(shù)，故B錯；故選：A.2．（2022秋·上海徐匯·高三位育中學(xué)?？计谥校┫铝泻瘮?shù)中，與函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性都一致的函數(shù)是（

）．A． B．C． D．【答案】B【分析】利用冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性可知，只有與函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性都一致.【詳解】根據(jù)冪函數(shù)性質(zhì)可得，函數(shù)為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增；對于A，函數(shù)為偶函數(shù)，與的奇偶性不一致；對于B，由奇偶性定義可得函數(shù)為奇函數(shù)，且恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞增；所以奇偶性和單調(diào)性與都一致；對于C，由對數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)可知，函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，與的奇偶性不一致；對于D，由正切函數(shù)圖象可知，函數(shù)是奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增，但在整個定義域內(nèi)并不是單調(diào)遞增，即單調(diào)性與不一致；故選：B3．（2022秋·上海青浦·高三上海市青浦高級中學(xué)?？计谥校┫铝泻瘮?shù)中，既是偶函數(shù)，又是在區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】試題分析：由偶函數(shù)定義知，僅A,C為偶函數(shù)，C.在區(qū)間上單調(diào)遞增函數(shù)，故選A．考點(diǎn)：本題主要考查奇函數(shù)的概念、函數(shù)單調(diào)性、冪函數(shù)的性質(zhì)．點(diǎn)評：函數(shù)奇偶性判定問題，應(yīng)首先考慮函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱．4．（2022·上海·高三專題練習(xí)）下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，排除選項(xiàng)得到答案.【詳解】A.，非奇非偶函數(shù)，排除；B.，函數(shù)為偶函數(shù)，排除；C.，函數(shù)為奇函數(shù)，且單調(diào)遞減，正確；

D.，函數(shù)為奇函數(shù)，在和單調(diào)遞減，排除.故選：【點(diǎn)睛】熟悉函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性是解題關(guān)鍵.5．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）符合以下性質(zhì)的函數(shù)稱為“函數(shù)”：①定義域?yàn)?，②是奇函?shù)，③（常數(shù)），④在上單調(diào)遞增，⑤對任意一個小于的正數(shù)，至少存在一個自變量，使.下列四個函數(shù)中，，，中“函數(shù)”的個數(shù)為（

）A．個 B．個 C．個 D．個【答案】C【分析】逐個判斷函數(shù)是否符合新定義的個條件.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，，的值域?yàn)?，是奇函?shù)，在上是增函數(shù)，由于，根據(jù)極限的定義，條件⑤滿足，是函數(shù)，（2）的定義域?yàn)?，，的值域是，，是奇函?shù)，當(dāng)時，，，在上是增函數(shù).由于，根據(jù)極限的定義，條件⑤