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重難點04三角恒等變換(3種考向)【目錄】考向1:給值求值問題考向2:給值求角問題考向3:利用三角恒等變換判斷三角形的形狀二、命題規(guī)律與備考策略二、命題規(guī)律與備考策略本專題是高考??純?nèi)容,結(jié)合往年命題規(guī)律,命制三角函數(shù)恒等變換題目,諸如“給值求角”“給值求值”“給角求值”三種考向進行分類講解。1.同角三角函數(shù)的基本關系(1)平方關系:sin2α+cos2α=1.(2)商數(shù)關系:=tanα.2.誘導公式公式一:sin(α+2kπ)=sinα,cos(α+2kπ)=cosα,tan(α+2kπ)=tanα,其中k∈Z.公式二:sin(π+α)=﹣sinα,cos(π+α)=﹣cosα,tan(π+α)=tanα.公式三:sin(﹣α)=﹣sinα,cos(﹣α)=cosα,tan(﹣α)=﹣tanα.公式四:sin(π﹣α)=sinα,cos(π﹣α)=﹣cosα,tan(π﹣α)=﹣tanα.公式五:sin(﹣α)=cosα,cos(﹣α)=sinα,tan(﹣α)=cotα.公式六:sin(+α)=cosα,cos(+α)=﹣sinα,tan(+α)=﹣cotα.3.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(1)C(α﹣β):cos(α﹣β)=cosαcosβ+sinαsinβ;(2)C(α+β):cos(α+β)=cosαcosβ﹣sinαsinβ;(3)S(α+β):sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ;(4)S(α﹣β):sin(α﹣β)=sinαcosβ﹣cosαsinβ;(5)T(α+β):tan(α+β)=.(6)T(α﹣β):tan(α﹣β)=.4.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)S2α:sin2α=2sinαcosα;(2)C2α:cos2α=cos2α﹣sin2α=2cos2α﹣1=1﹣2sin2α;(3)T2α:tan2α=.三三、題型方法考向1:給值求值問題一、單選題1.(2022·上?!じ呷龑n}練習)若,則(
)A. B. C. D.2.(2023·上海奉賢·統(tǒng)考一模)已知,,,,滿足,,,有以下個結(jié)論:①存在常數(shù),對任意的實數(shù),使得的值是一個常數(shù);②存在常數(shù),對任意的實數(shù),使得的值是一個常數(shù).下列說法正確的是(
)A.結(jié)論①、②都成立B.結(jié)論①不成立、②成立C.結(jié)論①成立、②不成立D.結(jié)論①、②都不成立二、填空題3.(2022·上?!じ呷龑n}練習)已知,則__________.4.(2023春·上海寶山·高三上海交大附中??茧A段練習)已知,,則______.5.(2023·上海普陀·曹楊二中校考模擬預測)已知,則的值為_____________.6.(2022·上海·高三專題練習)若,,則_______.7.(2022秋·上海普陀·高三統(tǒng)考期中)若,則_____;8.(2022·上?!じ呷龑n}練習)若,則____.9.(2022春·上海浦東新·高三校考階段練習)已知,若,則______.10.(2022春·上海寶山·高三上海市行知中學??计谥校┮阎?,則_________.三、解答題11.(2022春·上海浦東新·高三上海市實驗學校??奸_學考試)已知函數(shù).(1)若,,求的值;(2)在銳角△中,、、分別是角、、的對邊,若,,△的面積,求的值.12.(2022秋·上海嘉定·高三??计谥校┰谥?,角、、所對的邊分別為、、,且.(1)求的值;(2)若,求的最大值.13.(2022·上?!じ呷龑n}練習)已知,,.(1)若,求的值;(2)在(1)的條件下,若,,求sinβ的值.14.(2023·上海松江·??寄M預測)設.(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間及對稱中心;(2)當時,,求的值.15.(2022·上?!じ呷龑n}練習)已知函數(shù)的最小正周期為.(1)求與的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)在中,若,求的取值范圍.16.(2023春·上海松江·高三上海市松江二中校考階段練習)已知.(1)求在上的單調(diào)遞減區(qū)間;(2)若,求的值.考向2:給值求角問題一、單選題1.(2022春·上海寶山·高三上海交大附中校考開學考試)已知、都是銳角,且,,那么、之間的關系是(
)A. B.C. D.2.(2021秋·上海徐匯·高三上海市南洋模范中學??茧A段練習)將方程的所有正數(shù)解從小到大組成數(shù)列,記,則(
)A. B. C. D.二、填空題3.(2022·上?!じ呷龑n}練習)已知(均是銳角),則的值為_______.4.(2022秋·上海楊浦·高三上海市控江中學??茧A段練習)把化成的形式,則常數(shù)的值為___________.5.(2022春·上海虹口·高三上海市復興高級中學校考階段練習)已知,則方程的解集是________.6.(2022春·上海黃浦·高三上海市大同中學??奸_學考試)若,且,則的值為___________.7.(2022秋·上海嘉定·高三??计谥校┤魹殇J角,,則角__________.8.(2023·上海·高三專題練習)費馬點是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個頂點距離之和最小的點.當三角形三個內(nèi)角都小于時,費馬點與三角形三個頂點的連線構(gòu)成的三個角都為.已知點為的費馬點,角,,的對邊分別為,,,若,且,則的值為__________.三、解答題9.(2022·上?!じ呷龑n}練習)設常數(shù),函數(shù).(1)若為奇函數(shù),求的值;(2)若,求方程在區(qū)間上的解.10.(2022春·上海虹口·高三上海市復興高級中學??茧A段練習)已知函數(shù)(1)求函數(shù)的最小正周期與單調(diào)增區(qū)間;(2)在中,若,求角的值.11.(2021秋·上海寶山·高三上海市行知中學??奸_學考試)已知、、是中、、的對邊,,,.(1)求邊長;(2)求的值.考向3:利用三角恒等變換判斷三角形的形狀一、單選題1.(2022·上?!じ呷龑n}練習)對于,若存在,滿足,則稱為“類三角形”.“類三角形”一定滿足.A.有一個內(nèi)角為 B.有一個內(nèi)角為C.有一個內(nèi)角為 D.有一個內(nèi)角為2.(2020秋·上海浦東新·高三華師大二附中??茧A段練習)在中,若,則這個三角形一定是(
)A.銳角三角形 B.鈍角三角形 C.直角三角形 D.以上都有可能二、解答題3.(2022春·上海浦東新·高三上海市進才中學??茧A段練習)已知函數(shù),x∈R,且f(x)的最大值為1.(1)求m的值,并求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)在△ABC中,角A、B、C的對邊a、b、c,若,且,試判斷△ABC的形狀.四、刷真題與模擬四、刷真題與模擬一.選擇題(共3小題)1.(2022?北京)已知函數(shù)f(x)=cos2x﹣sin2x,則()A.f(x)在(﹣,﹣)上單調(diào)遞減 B.f(x)在(﹣,)上單調(diào)遞增 C.f(x)在(0,)上單調(diào)遞減 D.f(x)在(,)上單調(diào)遞增2.(2023?虹口區(qū)二模)對于函數(shù),給出下列結(jié)論:(1)函數(shù)y=f(x)的圖像關于點對稱;(2)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間上的值域為;(3)將函數(shù)y=f(x)的圖像向左平移個單位長度得到函數(shù)y=﹣cos2x的圖像;(4)曲線y=f(x)在處的切線的斜率為1.則所有正確的結(jié)論是()A.(1)(2) B.(2)(3) C.(2)(4) D.(1)(3)3.(2019?上海)已知tanα?tanβ=tan(α+β).有下列兩個結(jié)論:①存在α在第一象限,β在第三象限;②存在α在第二象限,β在第四象限;則()A.①②均正確 B.①②均錯誤 C.①對②錯 D.①錯②對二.填空題(共6小題)4.(2022?上海)若tanα=3,則tan(α+)=.5.(2020?浦東新區(qū)校級二模)函數(shù)y=sin2x﹣sin2x的最小正周期為.6.(2020?上海)已知3sin2x=2sinx,x∈(0,π),則x=.7.(2023?上海)已知tanα=3,則tan2α=.8.(2002?上海)已知f(x)=,α∈(,π),則f(cosα)+f(﹣cosα)可化簡為.9.(2023?嘉定區(qū)校級三模)若關于x的方程2sin2x﹣sin2x+m﹣1=0在(,π)上在實數(shù)根,則實數(shù)m的取值范圍是.三.解答題(共11小題)10.(2021?浙江)設函數(shù)f(x)=sinx+cosx(x∈R).(Ⅰ)求函數(shù)y=[f(x+)]2的最小正周期;(Ⅱ)求函數(shù)y=f(x)f(x﹣)在[0,]上的最大值.11.(2023?青浦區(qū)二模)已知函數(shù)y=f(x)的表達式為.(1)求函數(shù)y=f(x)的最小正周期及圖像的對稱軸的方程;(2)求函數(shù)y=f(x)在上的值域.12.(2022?崇明區(qū)二模)已知.(1)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)設△ABC的內(nèi)角A滿足f(A)=0,且,求BC邊長的最小值.13.(2021?青浦區(qū)二模)已知函數(shù)f(x)=2sincos+2cos2﹣.(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,π]上的值域;(2)若方程f(ωx)=(ω>0)在區(qū)間[0,π]上至少有兩個不同的解,求ω的取值范圍.14.(2018?上海)已知y=cosx.(1)若,且α∈[0,π],求的值;(2)求函數(shù)y=f(2x)﹣2f(x)的最小值.15.(2018?上海)設常數(shù)a∈R,函數(shù)f(x)=asin2x+2cos2x.(1)若f(x)為偶函數(shù),求a的值;(2)若f()=+1,求方程f(x)=1﹣在區(qū)間[﹣π,π]上的解.16.(2023?寶山區(qū)二模)已知函數(shù).(1)求函數(shù)y=f(x)的最小正周期和單調(diào)區(qū)間;(2)若關于x的方程f(x)﹣m=0在上有兩個不同的實數(shù)解,求實數(shù)m的取值范圍.17.(2022?奉賢區(qū)模擬)已知函數(shù)f(x)=sin2ωx+cos2ωx+1(0<ω<5),將函數(shù)的圖像向右平移個單位,得到函數(shù)y=g(x)的圖像,x=是g(x)一個零點.(1)求函數(shù)y=f(x)的最小正周期;(2)求函數(shù)y=g(x)在x∈[0,]上的單調(diào)區(qū)間.18.(2021?徐匯區(qū)校級三模)如圖,OA,OB是兩條互相垂直的筆直公路,半徑OA=2km的扇形AOB是某地的一名勝古跡區(qū)域.當?shù)卣疄榱司徑庠摴袍E周圍的交通壓力,欲在圓弧AB上新增一個入口P(點P不與A,B重合),并新建兩條都與圓弧AB相切的筆直公路MB,MN,切點分別是B,P.當新建的兩條公路總長最小時,投資費用最低.設∠POA=θ,公路MB,MN的總長為f(θ).(1)求f(θ)關于θ的函數(shù)關系式,并寫出函數(shù)的定義域;(2)當θ為何值時,投資費用最低?并求出f(θ)的
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