第4章 矩陣的分解

第4章、矩陣的分解MatrixFactorizationandDecomposition矩陣分解的概述矩陣的分解：A=A1+A2+…+Ak矩陣的和A=A1A2

…Am矩陣的乘積矩陣分解的原則：實(shí)際應(yīng)用的需要理論上的需要計(jì)算上的需要顯示原矩陣的某些特性矩陣化簡(jiǎn)的方法之一主要技巧：各種標(biāo)準(zhǔn)形的理論和計(jì)算方法矩陣的分塊常見(jiàn)的矩陣標(biāo)準(zhǔn)形與分解常見(jiàn)的標(biāo)準(zhǔn)形等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形相似標(biāo)準(zhǔn)形合同標(biāo)準(zhǔn)形本節(jié)分解：三角分解滿秩分解可對(duì)角化矩陣的譜分解AT=A相似標(biāo)準(zhǔn)形等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形4.1LU分解(圖靈Turing,1948)LU分解：AFnn，存在下三角形矩陣L，上三角形矩陣U，使得A=LU。Application:可以簡(jiǎn)化求解線性方程的算法4.2QR分解1.利用Gram-Schmidt正交化過(guò)程的QR分解

Theorem設(shè)矩陣A

Cm

n，R(A)=n(列滿秩)。則存在非奇異上三角陣R，和矩陣Q，QHQ=E，使得A=QR。Remark:這樣的分解稱之為QR分解。實(shí)施步驟G-S正交化單位化4.2QR分解例

P090例4.2.1

此例中矩陣是列滿秩的例

P091例4.2.2

此例表明即使矩陣不是列滿秩的，也可以用G-S正交化方法，但是其QR分解不是唯一的。4.2QR分解(不做要求)對(duì)于一般的方陣，無(wú)論其是否列滿秩，都可以利用Householder方法得到QR分解。4.3滿秩分解矩陣的滿秩分解對(duì)秩為r的矩陣A

Fm

n，存在秩為r的矩陣B

Fm

r，C

Fr

n

，使得A=BC為A的滿秩分解。列滿秩行滿秩已知的結(jié)論

滿秩分解的實(shí)現(xiàn)：向量組最大無(wú)關(guān)組的求法

例求矩陣A的滿秩分解

總結(jié)：矩陣的滿秩分解的做法對(duì)A

Cm

n做行初等變換得行最簡(jiǎn)形H，取H的前r行所成矩陣為C，取A的列向量組的最大無(wú)關(guān)組所成矩陣為B，則B

Cm

r，C

Cr

n

，其秩序均為r，且A=BC。例P098例4.3.2；例P098例4.3.1（此矩陣為列滿秩矩陣）

4.4奇異值分解(SingularValueDecomposition)Problem:矩陣的奇異值分解是酉等價(jià)型的分解:ACm×n，酉矩陣UCm×m,VCn×n,使得A=U

VH。矩陣A等價(jià)于

=奇異值分解基本適用于內(nèi)積空間中與矩陣秩相關(guān)的問(wèn)題A的奇異值分解依賴于正規(guī)矩陣AHA

的酉相似分解的。一、矩陣A的奇異值及其性質(zhì)1、矩陣AHA和AAH的性質(zhì)：A

Cm×n，AHA

Cn×n，AAH

Cm×m，都是Hermite矩陣。Theorem2.7.8（P052）秩（A）＝秩（AHA）=秩（AAH）。AHA和AAH的非零特征值相等。AHA和AAH是半正定矩陣。

AHA和AAH的特征值是非負(fù)實(shí)數(shù)：

1

2

n2、奇異值的定義：（P099）A

Cm×n，秩（A）=r，設(shè)AHA的特征值1

2

r0，r+1=r+2==n=0，則矩陣的奇異值二、矩陣的奇異值分解1、Theorem4.4.1（P099）設(shè)A

Cm×n，秩（A）=r，則存在酉矩陣U

Cm×m，V

Cn×n，使得證明思想：Step1.

AHA正規(guī)，VHAHAV=，

酉矩陣V。例求矩陣A的奇異值分解，A=。

Step2.令