第一章數(shù)值計(jì)算中的誤差

第一章數(shù)值計(jì)算中的誤差第1頁(yè)，課件共19頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月利用計(jì)算機(jī)等計(jì)算工具求數(shù)學(xué)問題的的數(shù)值解的全過程，稱為數(shù)值計(jì)算。利用計(jì)算機(jī)解決數(shù)學(xué)問題的經(jīng)歷的幾個(gè)過程實(shí)際問題數(shù)學(xué)模型程序設(shè)計(jì)上機(jī)計(jì)算求出結(jié)果研究計(jì)算方法一、什么是計(jì)算方法?第2頁(yè)，課件共19頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二、計(jì)算方法的主要內(nèi)容

計(jì)算機(jī)只能進(jìn)行加減乘除四則運(yùn)算和簡(jiǎn)單的函數(shù)運(yùn)算(函數(shù)也是通過計(jì)算數(shù)學(xué)的方法轉(zhuǎn)化成四則運(yùn)算的小型軟件包)。1、數(shù)值代數(shù)：求解線性方程組和非線性方程，分直接法和間接法。2、插值和數(shù)值逼近。3、數(shù)值微分和數(shù)值積分。4、常微分方程數(shù)值解法。第3頁(yè)，課件共19頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三、計(jì)算方法所要考慮的問題1計(jì)算速度。2儲(chǔ)存量。3數(shù)值穩(wěn)定性。第4頁(yè)，課件共19頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月四、學(xué)習(xí)計(jì)算方法的目的1拓寬對(duì)21世紀(jì)科學(xué)的了解；2加深對(duì)數(shù)學(xué)思想的了解;3運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。第5頁(yè)，課件共19頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月幾點(diǎn)要求1保證課堂紀(jì)律2按時(shí)上課3按時(shí)完成作業(yè)4實(shí)驗(yàn)要認(rèn)真第6頁(yè)，課件共19頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§1.2誤差的種類及來(lái)源1模型誤差2觀測(cè)誤差3截?cái)嗾`差4舍入誤差第7頁(yè)，課件共19頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§1.3絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差1絕對(duì)誤差和絕對(duì)誤差限

設(shè)某一個(gè)量的精確值為,其近似值為，則與的差

稱為近似值的絕對(duì)誤差。若稱為近似值的絕對(duì)誤差限。第8頁(yè)，課件共19頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限絕對(duì)誤差與精確值之比稱為近似值的相對(duì)誤差。若，則稱為近似值的相對(duì)誤差限。由于精確值未知，一般用表示相對(duì)誤差。第9頁(yè)，課件共19頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§1.4有效數(shù)字和誤差的關(guān)系1有效數(shù)字

設(shè)有一個(gè)數(shù)，其近似值的規(guī)格化形式：若的誤差限為

則稱為具有位有效數(shù)字。

第10頁(yè)，課件共19頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月有效數(shù)字與誤差的關(guān)系當(dāng)式(1.4.1)表示的近似值具有n位有效數(shù)字時(shí)，有相對(duì)誤差限反之，也可由相對(duì)誤差限來(lái)確定有效數(shù)字位數(shù)，若則至少具有n位有效數(shù)字。第11頁(yè)，課件共19頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§1.5誤差的傳播與估計(jì)1誤差估計(jì)的一般公式1)對(duì)一元函數(shù)的計(jì)算:設(shè)是的近似值，

相對(duì)誤差限

第12頁(yè)，課件共19頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2）對(duì)二元函數(shù)的計(jì)算:設(shè)分別為的近似值，相對(duì)誤差限第13頁(yè)，課件共19頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3）對(duì)更一般的多元函數(shù)其中，為的近似值,第14頁(yè)，課件共19頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2誤差在算術(shù)運(yùn)算中的傳播

1）加、減運(yùn)算

及第15頁(yè)，課件共19頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)兩數(shù)相減時(shí)有即當(dāng)，即大小相近的兩同號(hào)近似值相減時(shí)，注：由上式知，相對(duì)誤差可能會(huì)很大，說明計(jì)算結(jié)果的有效數(shù)字將嚴(yán)重丟失，計(jì)算精度很低。因此在實(shí)際計(jì)算中，應(yīng)盡量設(shè)法避開。第16頁(yè)，課件共19頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2乘法運(yùn)算及注：當(dāng)乘數(shù)的絕對(duì)值很大時(shí)，乘積的絕對(duì)誤差可能會(huì)很大，因此也應(yīng)設(shè)法避免。第17頁(yè)，課件共19頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3除法運(yùn)算及注:當(dāng)除數(shù)的絕對(duì)值很小、接近于零時(shí)，商的絕對(duì)誤差可能會(huì)很大，甚至造成計(jì)算機(jī)的“溢出”錯(cuò)誤，應(yīng)設(shè)法避免。第18頁(yè)，課件共19頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§1.6算法的數(shù)值穩(wěn)定性選擇數(shù)值穩(wěn)定的算法

在運(yùn)算過程中，舍入誤差能控制在某個(gè)范圍內(nèi)的算法，稱之為數(shù)值穩(wěn)定的算法，否則稱之為