(人教版)中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)梳理+單元達(dá)標(biāo)卷16 二次根式（含解析）

專題16二次根式知識(shí)點(diǎn)1：二次根式的定義與性質(zhì)1.二次根式的定義一般地，我們把形如的式子叫做二次根式。二次根式的實(shí)質(zhì)是一個(gè)非負(fù)數(shù)數(shù)a的算數(shù)平方根。注意：二次根式從形式上看，應(yīng)含有二次根號(hào)；被開方數(shù)的取值范圍有限制即被開方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)。二次根式無(wú)意義的條件是因負(fù)數(shù)沒有算術(shù)平方根，所以當(dāng)a﹤0時(shí)，沒有意義。2.二次根式的性質(zhì)：（1）二次根式的非負(fù)性，的最小值是0；也就是說(shuō)（）是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即。注：因?yàn)槎胃奖硎綼的算術(shù)平方根，這個(gè)性質(zhì)在解答題目時(shí)應(yīng)用較多，如若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0；若，則a=0,b=0。（2）（）文字語(yǔ)言敘述為：一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于這個(gè)非負(fù)數(shù)。注：二次根式的性質(zhì)公式（）是逆用平方根的定義得出的結(jié)論。上面的公式也可以反過(guò)來(lái)應(yīng)用：若，則，如：（3）知識(shí)點(diǎn)2：二次根式的乘除1.二次根式的乘法法則：將上面的公式逆向運(yùn)用可得：積的算術(shù)平方根，等于積中各因式的算術(shù)平方根的積。2.二次根式的除法法則：要點(diǎn)詮釋：（1）當(dāng)二次根式的前面有系數(shù)時(shí)，可類比單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘（或相除）的法則，如.（2）被開方數(shù)a、b一定是非負(fù)數(shù)（在分母上時(shí)只能為正數(shù)）.如.3.分母有理化：（1）定義：把分母中的根號(hào)化去，叫做分母有理化。（2）關(guān)鍵：把分子、分母都乘以一個(gè)適當(dāng)?shù)氖阶樱シ帜钢械母?hào)。4.最簡(jiǎn)二次根式：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開放數(shù)中不含開得盡方的因數(shù)或因式。知識(shí)點(diǎn)3：二次根式的加減1.同類二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開方數(shù)相同，這樣的二次根式叫做同類二次根式。2.二次根式的加減：二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化為最簡(jiǎn)的二次根式，再將被開方數(shù)相同的根式進(jìn)行合并。3.二次根式的混合運(yùn)算(1)明確運(yùn)算的順序，即先乘方、開方，再乘除，最后算加減，有括號(hào)先算括號(hào)里；(2)整式、分式中的運(yùn)算律、運(yùn)算法則及乘法公式在二次根式的混合運(yùn)算中也同樣適用.一、對(duì)于本章內(nèi)容，學(xué)習(xí)中應(yīng)達(dá)到以下幾方面要求：1.理解二次根式的概念，了解被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)的理由；2.了解最簡(jiǎn)二次根式的概念；3.理解并掌握下列結(jié)論：1）是非負(fù)數(shù)；（2）；（3）；4.掌握二次根式的加、減、乘、除運(yùn)算法則，會(huì)用它們進(jìn)行有關(guān)實(shí)數(shù)的簡(jiǎn)單四則運(yùn)算；5.了解代數(shù)式的概念，進(jìn)一步體會(huì)代數(shù)式在表示數(shù)量關(guān)系方面的作用。二、學(xué)習(xí)本章思維導(dǎo)圖有利于對(duì)二次根式的重點(diǎn)把握三、與的異同點(diǎn)（1）不同點(diǎn)：與表示的意義是不同的，表示一個(gè)正數(shù)a的算術(shù)平方根的平方，而表示一個(gè)實(shí)數(shù)a的平方的算術(shù)平方根；在中，而中a可以是正實(shí)數(shù)，0，負(fù)實(shí)數(shù)。但與都是非負(fù)數(shù)，即，。因而它的運(yùn)算的結(jié)果是有差別的，

，而（2）相同點(diǎn)：當(dāng)被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，即時(shí)，=；時(shí)，無(wú)意義，而.【例題1】（?常德）計(jì)算：92?【答案】32．【解析】原式=32＝32．【點(diǎn)撥】直接化簡(jiǎn)二次根式進(jìn)而合并得出答案．【例題2】（?常德）若代數(shù)式22x?6在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是【答案】x＞3．【解析】由題意得：2x﹣6＞0，解得：x＞3，【點(diǎn)撥】根據(jù)二次根式有意義的條件可得2x﹣6＞0，再解即可．【例題3】（?濟(jì)寧）下列各式是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A．13 B．12 C．a(chǎn)3 D．【答案】A【解析】A、13是最簡(jiǎn)二次根式，符合題意；B、12=23C、a3=|a|D、53【點(diǎn)撥】利用最簡(jiǎn)二次根式定義判斷即可．《二次根式》單元精品檢測(cè)試卷本套試卷滿分120分，答題時(shí)間90分鐘一、選擇題（每小題3分，共36分）1.若代數(shù)式+有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（）A． x≠1 B． x≥0 C． x≠0 D． x≥0且x≠1【答案】D．【解析】根據(jù)分式及二次根式有意義的條件列出關(guān)于x的不等式組，求出x的取值范圍即可．∵代數(shù)式+有意義，∴，解得x≥0且x≠1．2.當(dāng)1＜a＜2時(shí)，代數(shù)式+|1﹣a|的值是（）A． ﹣1 B． 1 C． 2a﹣3 D． 3﹣2a【答案】B【解析】首先判斷出a﹣2＜0，1﹣a＜0，進(jìn)而利用絕對(duì)值以及二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)求出即可．∵當(dāng)1＜a＜2時(shí)，∴a﹣2＜0，1﹣a＜0，∴+|1﹣a|=2﹣a+a﹣1=1．3．（?綏化）化簡(jiǎn)|2?A．2?3 B．?2?3 C．2+【答案】D【解析】∵2?3＜0∴|2?3|=?(【點(diǎn)撥】根據(jù)絕對(duì)值的定義解答即可．4．（?泰州）下列等式成立的是（）A．3+42=72 B．3×2=5 C．3÷【答案】D【解析】A．3與42不是同類二次根式，不能合并，此選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；B．3×C．3÷16D．(?3)【點(diǎn)撥】根據(jù)二次根式的加、乘、除法法則及二次根式的性質(zhì)逐一判斷即可得．5．（?聊城）計(jì)算45÷33A．1 B．53 C．5 【答案】A【解析】原式=3=35=5×3×15=15＝1．【點(diǎn)撥】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)二次根式后，再根據(jù)二次根式的乘除法法則計(jì)算即可．6．（?無(wú)錫）下列選項(xiàng)錯(cuò)誤的是（）A．cos60°=12 B．a(chǎn)2?a3＝aC．12=22 D．2（x﹣2y）＝2【答案】D【解析】A．cos60°=1B．a(chǎn)2?a3＝a5，故本選項(xiàng)不合題意；C.12D.2（x﹣2y）＝2x﹣4y，故本選項(xiàng)符合題意．【點(diǎn)撥】分別根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，同底數(shù)冪的乘法法則，二次根式的除法法則以及去括號(hào)法則逐一判斷即可．7．（?杭州）2×A．5 B．6 C．23 D．3【答案】B【解析】2×【點(diǎn)撥】根據(jù)二次根式的乘法運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算即可．8.下列等式不一定成立的是（）A． =（b≠0） B． a3?a﹣5=（a≠0）C． a2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b） D． （﹣2a3）2=4a6【答案】A【解析】分別利用二次根式的性質(zhì)以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)和平方差公式以及積的乘方運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求出即可．A．=（a≥0，b＞0），故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；B．a(chǎn)3?a﹣5=（a≠0），正確，不合題意；C．a(chǎn)2﹣4b2=（a+2b）（a﹣2b），正確，不合題意；D．（﹣2a3）2=4a6，正確，不合題意．9．（?上海）下列二次根式中，與3是同類二次根式的是（）A．6 B．9 C．12 D．18【答案】C【解析】A.6與3的被開方數(shù)不相同，故不是同類二次根式；B.9=3，與3C.12=23，與D.18=32，與【點(diǎn)撥】根據(jù)同類二次根式的定義，先化簡(jiǎn)，再判斷．10．（?綏化）下列等式成立的是（）A．16=±4 B．3?8=2 C．﹣a1a【答案】D【解析】A.16=4B.3?8C.?a1D.?64【點(diǎn)撥】分別根據(jù)算術(shù)平方根的定義，立方根的定義，二次根式的性質(zhì)逐一化簡(jiǎn)即可判斷．11．（?濟(jì)寧）下列各式是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A．13 B．12 C．a(chǎn)3 D．【答案】A【解析】A、13是最簡(jiǎn)二次根式，符合題意；B、12=23C、a3=|a|D、53【點(diǎn)撥】利用最簡(jiǎn)二次根式定義判斷即可．12．（?重慶）下列計(jì)算中，正確的是（）A．2+3=5 B．2+2=22 C．【答案】C【解析】A．2與3不是同類二次根式，不能合并，此選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；B．2與2不是同類二次根式，不能合并，此選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；C．2×D．23與﹣2不是同類二次根式，不能合并，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；【點(diǎn)撥】根據(jù)同類二次根式的概念與二次根式的乘法逐一判斷可得答案．二、填空題（每空3分，共30分）13．（?衡陽(yáng)）27?3【答案】23．【解析】原式＝33?3=【點(diǎn)撥】先將二次根式化為最簡(jiǎn)，然后合并同類二次根式即可得出答案．14．（?蘇州）使x?13在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義的x的取值范圍是【答案】x≥1．【解析】由題意得，x﹣1≥0，解得，x≥1，【分析】根據(jù)二次根式中的被開方數(shù)必須是非負(fù)數(shù)列出不等式，解不等式得到答案．15.若=3﹣x，則x的取值范圍是．【答案】x≤3．【解析】本題考查了二次根式的性質(zhì)的應(yīng)用，注意：當(dāng)a≥0時(shí)，=a，當(dāng)a＜0時(shí)，=﹣a．根據(jù)二次根式的性質(zhì)得出3﹣x≥0，求出即可．∵=3﹣x，∴3﹣x≥0，解得：x≤3，16．若y=++2，則xy=．【答案】9【解析】根據(jù)二次根式有意義的條件得出x﹣3≥0，3﹣x≥0，求出x，代入求出y即可．y=有意義，必須x﹣3≥0，3﹣x≥0，解得：x=3，代入得：y=0+0+2=2，∴xy=32=9．17．若y=﹣2，則（x+y）y=．【答案】1/4【解析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0，列式求出x，再求出y，然后代入代數(shù)式進(jìn)行計(jì)算即可得解．由題意得，x﹣4≥0且4﹣x≥0，解得x≥4且x≤4，∴x=4，y=﹣2，∴x+y）y=（4﹣2）﹣2=．18．計(jì)算的結(jié)果是．【答案】5【解析】此題主要考查了二次根式的乘除運(yùn)算，正確掌握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．直接利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)求出即可．=×=5．19.計(jì)算：﹣2等于．【答案】2．【解析】本題考查的是二次根式的加減法，熟知二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把被開方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變是解答此題的關(guān)鍵．先把各根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再合并同類項(xiàng)即可．原式=3﹣=2．20.（﹣）×=．【答案】8【解析】此題考查了二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．原式利用乘法分配律及二次根式乘法法則計(jì)算即可得到結(jié)果．原式=﹣=9﹣1=821.實(shí)數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，化簡(jiǎn)的結(jié)果是.【答案】﹣2a+b【解析】直接利用數(shù)軸上a，b的位置，進(jìn)而得出a＜0，a﹣b＜0，再利用絕對(duì)值以及二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)得出答案．由圖可知：a＜0，a﹣b＜0，則|a|+=﹣a﹣（a﹣b）=﹣2a+b．22．（?湖州）計(jì)算：|1|=_______【答案】31．【解析】首先利用二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)二次根式，利用絕對(duì)值的性質(zhì)計(jì)算絕對(duì)值，然后再算加減即可．原式＝21＝31．三、解答題（8個(gè)小題，共54分）23.（5分）化簡(jiǎn)：【答案】見解析?！窘馕觥?，所以，可看作可利用乘法公式來(lái)進(jìn)行化簡(jiǎn)，使運(yùn)算變得簡(jiǎn)單。原式24．（5分）計(jì)算：（+1）（﹣1）+﹣（）0．【答案】見解析?！窘馕觥勘绢}考查了二次根式的計(jì)算：先把各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，然后合并同類二次根式．也考查了零指數(shù)冪．先根據(jù)平方差公式和零指數(shù)冪的意義得到原式=3﹣1+2﹣1，然后進(jìn)行加減運(yùn)算．原式=3﹣1+2﹣1=1+2．25．（5分）（?銅仁市）計(jì)算：2（﹣1）（）0．【答案】見解析?！痉治觥吭嚼贸ǚ▌t，乘方的意義，算術(shù)平方根定義，以及零指數(shù)冪法則計(jì)算即可求出值；【解析】（1）原式＝2×2﹣1﹣2﹣1＝4﹣1﹣2﹣1＝0；26.（5分）把下列式子的分母有理化：【答案】見解析。【解析】把分母中的根號(hào)化去，叫做分母有理化，兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們說(shuō)，這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因子，如與，與均為有理化因式。27.（8分）實(shí)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖：化簡(jiǎn).【答案】【解析】由數(shù)軸可知并且===28.（8分）已知a、b、c為△ABC的三邊長(zhǎng)，化簡(jiǎn)【答案】2a+4b【解析】利用三角形任意兩邊之和大于第三邊和進(jìn)行化簡(jiǎn).∵a、b、c為△ABC的三邊長(zhǎng)，∴原式29．（6分）探究過(guò)程：觀察下列各式及其驗(yàn)證過(guò)程．3eq\r(\f(3,8))＝eq\r(3＋\f(3,8)).驗(yàn)證：3eq\r(\f(3,8))＝eq\r(32)×eq\r(\f(3,8))＝eq\r(\f(33,8))＝eq\r(\f(33－3＋3,32－1))＝eq\r(\f(332－1＋3,32－1))＝eq\r(\f(332－1,32－1)＋\f(3,32－1))＝eq\r(3＋\f(3,8)).同理可得：4eq\r(\f(4,15))＝eq\r(4＋\f(4,15))5eq\r(\f(5,24))＝eq\r(5＋\f(5,24))，…通過(guò)上述探究你能猜測(cè)出：aeq\r(\f(a,a2－1))＝________(a>0)，并驗(yàn)證你的結(jié)論．【答案】見解析?！窘馕觥縜eq\r(\f(a,a2－1))＝eq\r(a＋\f(a,a2－1))驗(yàn)證：aeq\r(\f(a,a2－1))＝eq\r(a2×\f(a,a2－1))＝eq\r(\f(a3,a2－1))＝eq\r(\f(a3－a＋a,a2－1))＝eq\r(\f(a3－a,a2－1)＋\f(a,a2－1))＝eq\r(\f(aa2－1,a2－1)＋\f(a,a2－1))＝eq\r(a＋\f(a,a2－1)).30．（12分）閱讀材料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號(hào)的式子可以寫成另一個(gè)式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明進(jìn)行了以下探索：設(shè)a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有a+b=m2+2n2+2mn．∴a=m2+2n2，b=2mn．這樣小明就找到了一種把類似a+b的式子化為平方式的方法．請(qǐng)你仿照小明的方法探索并解決下列問(wèn)題：（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時(shí)，若a+b=，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a=，b=；（2）利用所探索的結(jié)論，找一組正整數(shù)a、b、m、n填空：+2=（+）2；（3）若a+4=，且a、m、n均為正整數(shù)，求a的值？【答案】（1）m2+3n2，2mn．（2）4、1．