含有條件概率的隨機(jī)變量問題

含有條件概率的隨機(jī)變量問題一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、條件概率：事件B在事件A已經(jīng)發(fā)生的情況下，發(fā)生的概率稱為B在A條件下的條件概率，記為B|A2、條件概率的計(jì)算方法：（1）按照條件概率的計(jì)算公式：p@ia）=p）P（A）（2）考慮事件A發(fā)生后，題目產(chǎn)生了如何的變化，并寫出事件B在這種情況下的概率例如：5張獎(jiǎng)券中有一張有獎(jiǎng)，甲，乙，丙三人先后抽取，且抽完后不放回，已知甲沒有中獎(jiǎng)，則乙中獎(jiǎng)的概率：按照（1）的方法：設(shè)事件A為“甲沒中獎(jiǎng)”，事件B為“乙中獎(jiǎng)”，則所求事件為BIA，按照公式，分別計(jì)算P（AB）,P（A），利用古典概型可得：P（AB）=上二1，P（A）=4，所以P（BIA）==-A255P（A）45按照（2）的方法：考慮甲已經(jīng)抽完了，且沒有中獎(jiǎng)，此時(shí)還有4張獎(jiǎng)券，1張有獎(jiǎng)。那么輪到乙抽時(shí)，乙抽中的概率即為143、含條件概率的乘法公式：設(shè)事件A,B，則A,B同時(shí)發(fā)生的概率P（AB）=P（A）.P（BIA），此時(shí)P（BIA）通常用方案（2）進(jìn)行計(jì)算4、處理此類問題要注意以下幾點(diǎn)：（1）要分析好幾個(gè)事件間的先后順序，以及先發(fā)生的事件對(duì)后面事件的概率產(chǎn)生如何的影響（即后面的事件算的是條件概率）

（2）根據(jù)隨機(jī)變量的不同取值，事件發(fā)生的過程會(huì)有所不同，要注意區(qū)別（3）若隨機(jī)變量取到某個(gè)值時(shí)，情況較為復(fù)雜，不利于正面分析，則可以考慮先求出其它取值時(shí)的概率，然后用間接法解決。二、典型例題：例1：袋中有大小相同的三個(gè)球，編號(hào)分別為1,2,3，從袋中每次取出一個(gè)球，若取到的球的編號(hào)為2，則把該球編號(hào)記下再把編號(hào)數(shù)改為1后放回袋中繼續(xù)取球；若取到的球的編號(hào)為奇數(shù)，則取球停止，取球停止后用X表示“所有被取球的編號(hào)之和”（1）求X的分布列（2）求x的數(shù)學(xué)期望及方差思路：（1）依題意可知如果取球取出的是1,3，則取球停止，此時(shí)X的值為1或3；當(dāng)取球取出的是2號(hào)球時(shí)，按照規(guī)則要改為1號(hào)球放進(jìn)去重取，再取時(shí)只能取到1或3，所有編號(hào)之和X的值為3,5，所以可知X可取的值為1,3,5，當(dāng)X=1時(shí)，意味著直接取到了1號(hào)球（概率為1）；當(dāng)X二3時(shí)，分為兩種情況，一種為直接取到3（概率為1），另一種為取到了2（概率為1），改完數(shù)字后再取到1（概率為2）；當(dāng)X=5時(shí)，33為取到了2（概率為1），改完數(shù)字后再取到3（概率為1），從而可計(jì)33算出概率。進(jìn)而得到分布列與期望方差解：（1）X可取的值為1,3,5???P(X???P(X=1)=-3X的分布列為:X135151P399DX=-(13123￥5L23￥1(176~81⑵EXDX=-(13123￥5L23￥1(176~81例2：深圳市某校中學(xué)生籃球隊(duì)假期集訓(xùn)，集訓(xùn)前共有6個(gè)籃球，其中3個(gè)是新球（即沒有用過的球），3個(gè)是舊球（即至少用過一次的球）．每次訓(xùn)練，都從中任意取出2個(gè)球，用完后放回．（1）設(shè)第一次訓(xùn)練時(shí)取到的新球個(gè)數(shù)為g,求g的分布列和數(shù)學(xué)期望;（2）求第二次訓(xùn)練時(shí)恰好取到一個(gè)新球的概率．（1）思路：第一次訓(xùn)練時(shí)所取得球是從6個(gè)球（3新，3舊）中不放回取出2個(gè)球，所以可判斷出g服從超幾何分布，即可利用其公式計(jì)算概率與分布列，并求得期望解：g可取的值為0,1,2P(g二P(g二2)=￡二16.g的分布列為：5552）思路：本題要注意一個(gè)常識(shí)，即新球訓(xùn)練過后就變成了舊球，所以要計(jì)算第二次恰好取到一個(gè)新球的概率，需要了解經(jīng)過第一次訓(xùn)練后，所剩的球有幾個(gè)新球，幾個(gè)舊球。所以要對(duì)第一次取球的情況進(jìn)行分類討論：若第一次取2個(gè)新球，則第二次訓(xùn)練時(shí)有5舊1新；若第一次取到1個(gè)新球，則第二次訓(xùn)練時(shí)有4舊2新；若第一次取到2個(gè)舊球，則第二次訓(xùn)練依然為3舊3新，分別計(jì)算概率再相加即可解：設(shè)事件A為“第一次訓(xùn)練取出了i個(gè)新球”則P（A）=CS1iiC26設(shè)事件B為“從六個(gè)球取出兩個(gè)球，其中恰好有一個(gè)新球”事件C為“第二次恰好取出一個(gè)新球”p（C）=P（AB）+P（AB）+P（AB）325325P(AB)=P(A)?P(BIA)=Cl-CLC000C2C2Ci?Ci?Ci—42C26825P(AB)=P(A)?P(BIA)=C3C3TOC\o"1-5"\h\z111C26P(AB)=P(A)?P(BIA)=CL?C=丄222C2C21566QQ???P(c)=P(AB)+P(AB)+P(AB)=—01275例3：若盒中裝有同一型號(hào)的燈泡共10個(gè)，其中有8個(gè)合格品，2個(gè)次品（1）某工人師傅有放回地連續(xù)從該盒中取燈泡3次，每次取一只燈泡，求2次取到次品的概率（2）某工人師傅用該盒中的燈泡去更換會(huì)議室的一只已壞燈泡，每次從中取一燈泡，若是正品則用它更換已壞燈泡，若是次品則將其報(bào)廢

（不再放回原盒中），求成功更換會(huì)議室的已壞燈泡所用燈泡只數(shù)X的分布列和數(shù)學(xué)期望（1）思路：每次有放回的取燈泡，相當(dāng)于做了3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每次試驗(yàn)中取到合格品的概率為4，取到次品的概率為1，在3次試驗(yàn)中52次取到次品，1次取得合格品，所以考慮利用公式求解取到次品的概率解：設(shè)事件a為“2次取到次品”?????P(A)=C2312125（2）思路：因?yàn)橹挥?個(gè)次品，所以最多用掉3個(gè)燈泡，x可取的值為1,2,3，X二1時(shí)，意味著取到的是合格品，概率為4，X二2是取到一5個(gè)次品（概率為1）之后在9個(gè)燈泡中取到一個(gè)合格品（概率為8）,x二359是連續(xù)取到2個(gè)次品（概率為1丄），之后一定拿到合格品，分別計(jì)算59概率即可59845解：X可取的值為59845?P(X=1)=45P(X=3)=-丄=—5945?X的分布列為：123481P54545EX=1x4+2X—+3x—=U545459例4：一個(gè)盒子內(nèi)裝有8張卡片，每張卡片上面寫著1個(gè)數(shù)字，這8

個(gè)數(shù)字各不相同，且奇數(shù)有3個(gè)，偶數(shù)有5個(gè)．每張卡片被取出的概率相等．（1）如果從盒子中一次隨機(jī)取出2張卡片，并且將取出的2張卡片上的數(shù)字相加得到一個(gè)新數(shù)，求所得新數(shù)是奇數(shù)的概率；（2）現(xiàn)從盒子中一次隨機(jī)取出1張卡片，每次取出的卡片都不放回盒子，若取出的卡片上寫著的數(shù)是偶數(shù)則停止取出卡片，否則繼續(xù)取出卡片.設(shè)取出了g次才停止取出卡片，求g的分布列和數(shù)學(xué)期望.（1）思路：本題可用古典概型解決，事件0為“8張卡片中取出2張卡片”所以n（0）=C28事件A為“所得新數(shù)為奇數(shù)”，可知需要一奇一偶相加即可，則n（A）=Ci-Ci，從而可計(jì)算出P（A）35解：設(shè)A為“所得新數(shù)為奇數(shù)”???P（A???P（A）=Ci-Ci5C281528（2）思路：依題意可知g可取的值為1,2,3,4,題目中的要求為“取出偶數(shù)即停止”所以若要保證第n次能繼續(xù)抽卡片，則在前（n-1）次需均抽出奇數(shù)。所以g=1,2,3時(shí)，意味著抽卡片中途停止，則必在最后一次取到了偶數(shù)，以g=3為例，中途停止說明在第三次抽到偶數(shù)，前兩次抽到奇數(shù)。所以P（g=3）=3-2?5（第二次受第一次結(jié)果的影響，只剩7876張卡片，含有2張奇數(shù)卡片，所以是前兩次是奇數(shù)的概率為3?2）。當(dāng)87g=4時(shí)，只要在前三次將奇數(shù)卡片抽完即可。解：g可取的值為1,2,3,4

???p1)=515561556g123451551P8565656P—3)=3?2?5=A87656p—4)=3-2-6=i56?.g的分布列為:???Eg=1x5+2x15+3丄+4丄=385656562例5：某迷宮有三個(gè)通道，進(jìn)入迷宮的每個(gè)人都要經(jīng)過一個(gè)智能門，首次到達(dá)此門，系統(tǒng)會(huì)隨機(jī)（即等可能）為你打開一個(gè)通道，若是1號(hào)通道，則需要1個(gè)小時(shí)走出迷宮；若是2號(hào)，3號(hào)通道，則分別需要2小時(shí)，3小時(shí)返回智能門，再次到達(dá)智能門時(shí)，系統(tǒng)會(huì)隨機(jī)打開一個(gè)你未到過的通道，直至走出迷宮為止，令表示走出迷宮所需的時(shí)間，求g的分布列和數(shù)學(xué)期望思路：迷宮的規(guī)則為只有進(jìn)入1號(hào)通道才能走出迷宮，如果是其他通道（以2號(hào)為例），則可能打開1通道然后走出迷宮，或者打開另一個(gè)通道，通過第三輪進(jìn)入1通道走出迷宮，所以g可取的值為1（1號(hào)），3（2號(hào)+1號(hào)），4（3號(hào)+1號(hào)），6（3號(hào)+2號(hào)+1號(hào)或2號(hào)+3號(hào)+1號(hào)）。根據(jù)g的取值便可判斷出走迷宮的情況，從而列出式子計(jì)算概率，得到分布列解：g可取的值為1,3,4,6p(g=1)=-3P(g=4)=1x1=1326?g的分布列為：P(g=3)=1x-=1326P(g=6)=1x1+1x1=132323

g1346P11113663Eg=1x1+3x136+4x1+6x1=6372例6：某學(xué)校要對(duì)學(xué)生進(jìn)行身體素質(zhì)全面測(cè)試，對(duì)每位學(xué)生都要進(jìn)行9選3考核(即共9項(xiàng)測(cè)試，隨機(jī)選取3項(xiàng))，若全部合格，則頒發(fā)合格證；若不合格，則重新參加下期的9選3考核，直至合格為止，若學(xué)生小李抽到“引體向上”一項(xiàng)，則第一次參加考試合格的概率為1，第2二次參加考試合格的概率為2,第三次參加考試合格的概率為4,若第35四次抽到可要求調(diào)換項(xiàng)目，其它選項(xiàng)小李均可一次性通過求小李第一次考試即通過的概率P求小李參加考核的次數(shù)g分布列(1)思路：由題意可知，小李能夠通過考試的概率取決于是否能夠抽到“引體向上”這個(gè)項(xiàng)目，如果沒有抽到，則必能通過；若抽到“引體向上”則通過的概率為丄。后面通過測(cè)試的概率受到前面抽簽的影響,2要利用條件概率進(jìn)行解決解：(1)若沒有抽到“引體向上”，若抽到“引體向上”，C211若抽到“引體向上”，8C3269??????P=P+P122136(2)思路：依題目要求可知g可取的值為1,2,3,4,在參加下一次考核時(shí),意味著前幾次考核失敗，所以當(dāng)g取2,3,4時(shí)，要考慮前面考核失敗的情況與該次考核成功兩個(gè)方面同時(shí)成立。解：g可取的值為1,2,3,4P(gP(g=2)=(C3C22)—+(C3C33丿994277405C27405C21C21P(g=4)=-6P(g=3)=丄?—?一-—+—-—IC33丿IC3C35999g12345471P627405810?―8?—?—4?—IC33丿IC35丿99.?.g的分布列為:例7：袋子A和B中裝有若干個(gè)均勻的紅球和白球，從A中摸出一個(gè)紅球的概率是1,從B中摸出一個(gè)紅球的概率是2，現(xiàn)從兩個(gè)袋子中有放33回的摸球（1）從A中摸球，每次摸出一個(gè)，共摸5次，求恰好有3次摸到紅球的概率設(shè)摸得紅球的次數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的期望（2）從A中摸出一個(gè)球，若是白球則繼續(xù)在袋子A中摸球，若是紅球則在袋子B中摸球；若從袋子B中摸出的是白球則繼續(xù)在袋子B中摸球，若是紅球則在袋子A中摸球，如此反復(fù)摸球3次，計(jì)摸出紅球的次數(shù)為Y，求Y的分布列和期望（1）思路：①題目中說“有放回的摸球”所以本題為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ?，在A中摸出紅球的概率為1，代入獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)?zāi)Ｐ凸郊纯捎?jì)3算出概率；②隨機(jī)變量X指摸出紅球發(fā)生的次數(shù)，所以符合二項(xiàng)分布全國(guó)名校高考數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案專題匯編(附詳解)全國(guó)名校高考數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案專題匯編(附詳解)XnB[5,1]，直接可計(jì)算期望口I3丿解：①設(shè)事件M為“恰好有3次摸到紅球”:P（:P（M）=C35"1丫（2￥40<3丿=243②X的取值為0,1,2,3,4,5，依題意可知XD:.EX=5--=-33(2)思路：有放回的摸球三次，所以Y可取的值為0丄2,3，因?yàn)橄乱淮卧谀膫€(gè)袋子里摸球取決于上一次的結(jié)果：若是白球則在本袋繼續(xù)摸，若是紅球則要換袋子摸，所以在計(jì)算概率的過程中要監(jiān)控每一次摸球的結(jié)果，并按紅球個(gè)數(shù)進(jìn)行安排。例如Y=1時(shí)，要按“紅白白”，“白紅白”，“白白紅”三種情況進(jìn)行討論，并匯總在一起。解：Y可取的值為0,1,2,3（2「38P（Y=1）=1xr1「2211+—.—?—+（2丫<3丿=273<3丿333<3丿P（Y=0）=1732721-+-33210327Y0123P871022727272713227:Y的分布列為::EY=0X—+1x—+2x10+3X—=2727272711~9例8：為了參加中央電視臺(tái)，國(guó)家語(yǔ)言文字工作委員會(huì)聯(lián)合主辦的《中國(guó)漢字聽寫大會(huì)》節(jié)目，某老師要求參賽學(xué)生從星期一到星期四每天全國(guó)名校高考數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案專題匯編(附詳解)全國(guó)名校高考數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案專題匯編(附詳解)56485648學(xué)習(xí)3個(gè)漢字及正確注釋，每周五對(duì)一周內(nèi)所學(xué)漢字隨機(jī)抽取若干個(gè)進(jìn)行檢測(cè)(一周所學(xué)的漢字每個(gè)被抽到的可能性相同)(1)老師隨機(jī)抽了4個(gè)漢字進(jìn)行檢測(cè)，求至少有3個(gè)是后兩天學(xué)習(xí)過的漢字的概率(2)某學(xué)生對(duì)后兩天所學(xué)過的漢字每個(gè)能默寫對(duì)的概率為4，對(duì)前兩5天所學(xué)過的漢字每個(gè)能默寫對(duì)的概率為3，若老師從后三天所學(xué)漢字中5各抽取一個(gè)進(jìn)行檢測(cè)，求該學(xué)生能默寫對(duì)的漢字的個(gè)數(shù)g的分布列和期解：(1)設(shè)事件A為“至少有3個(gè)是后兩天學(xué)習(xí)過的漢字”???P(A)=ClC3+C4666C412135_3495—11(2)思路：依題意可知g可取的值為o丄2,3，本問的關(guān)鍵在于后三天中包括“后兩天”與“第二天”兩類，這兩類中學(xué)生默寫對(duì)的概率是不同的，所以在求概率時(shí)要討論默對(duì)的屬于哪個(gè)類別，再考慮其概率即P(g=1)=CP(g=1)=Ci2412(1\23X—X—X—+—X—=19P(g=2)=C1241X—X—55P(g=3)=(4)2<5丿?g的分布列為：全國(guó)名校高考數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案專題匯編（附詳解）全國(guó)名校高考數(shù)學(xué)優(yōu)質(zhì)學(xué)案專題匯編（附詳解）g01232195648P125125125125Eg=0+1xJ9+2XJ6+3X18125125125125115例9：QQ先生的魚缸中有7條魚，其中6條青魚和1條黑魚，計(jì)劃從當(dāng)天開始，每天中午從該魚缸中抓出一條魚（每條魚被抓到的概率相同）并吃掉，若黑魚未被抓出，則它每晚要吃掉一條青魚（規(guī)定青魚不吃魚）（1）求這7條魚中至少有6條被QQ先生吃掉的概率（2）以g表示這7條魚中被QQ先生吃掉的魚的條數(shù)，求g的分布列及其數(shù)學(xué)期望Eg（1）思路：依題意可知，如果QQ先生沒有抓到黑魚，則黑魚會(huì)一次次的吃掉青魚，從而使得QQ先生吃掉魚的總數(shù)減少。所以QQ先生吃魚的總數(shù)決定于第幾次將青魚拿出，“QQ先生至少吃掉6條”包含6條和7條，若吃掉6條，則表示第一次拿出的是青魚，在第二次拿黑魚時(shí)，因?yàn)楹隰~已經(jīng)吃掉一條青魚，所以只能從剩下5條中拿出，故概率為6x-;若吃掉7條，則表示第一次就拿出黑魚，即概率為丄。57解：設(shè)事件a為“第i次拿到青魚”事件a為“QQ先生至少吃掉6條i魚”???P（A）=P（A）+P（A）=-+-丄=111277535（2）思路：依題意可知只要晚一天拿出黑魚，則這一天就會(huì)少兩條青魚（一條QQ吃掉，一條黑魚吃掉），所以g可取的值為4,5,6,7。g=7代表第一天就拿到黑魚；g=6代表第二天拿到黑魚；g=5代表第三天拿

到黑魚；g=4代表第四天拿到黑魚，此時(shí)QQ先生吃了3條青魚，黑魚解：g可取的值為4,5,6,7.??P(g=解：g可取的值為4,5,6,7.??P(g=7)=17()6418P(g=5丿=—?—=-75335.?.g的分布列為：16535g4567Pi686i3535357p一4)=6?4?I=16I5???Eg=4x16+5亠+6/+7x1=175=5353535735例10：有A,B,C三個(gè)盒子，每個(gè)盒子中放有紅，黃，藍(lán)顏色的球各一個(gè),所有的球僅有顏色上的區(qū)別（1）從每個(gè)盒子中任意取出一個(gè)球，記事件s為“取得紅色的三個(gè)球“，事件T為”取得顏色互不相同的三個(gè)球“，求P（S）,P（T）（2）先從A盒中任取一球放入b盒，再?gòu)腂盒中任取一球放入C盒，最后從c盒中任取一球放入A盒，設(shè)此時(shí)A盒中紅球的個(gè)數(shù)為g，求g的分布列與數(shù)學(xué)期望（1）思路一：可利用古典概型求出P（s）,P（T），基本事件空間O為“三個(gè)盒子的取球情況”則n（0）=Ci?Ci?Ci=27，則n（S）=1，n（T）=A3=6（三3333種顏色全排列確定出自哪個(gè)盒），從而求得P（s）,P（T）解：（1）P（S）二1二丄P（T）=A3二-Ci?Ci?Ci27Ci?Ci?Ci9333333思路二：本題也可用概率的乘法進(jìn)行計(jì)算。S表示每個(gè)盒均取出紅球（取

出紅球的概率為1）,因?yàn)槊亢兄g互不影響，所以P（s）=1X1X1；T要TOC\o"1-5"\h\z3333求每盒顏色不同