江蘇省南京民辦求真中學(xué)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期初測試數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年南京求真中學(xué)初三上期初試卷一．選擇題（共6小題，18分）1．一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的根的情況是（）A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根2．下列說法：（1）長度相等的弧是等弧，（2）相等的圓心角所對的弧相等，（3）劣弧一定比優(yōu)弧短，（4）直徑是圓中最長的弦．其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)3．用配方法將方程2x2﹣4x﹣3＝0變形，結(jié)果正確的是（）A．2（x﹣1）2﹣4＝0 B．（x﹣1）2﹣＝0 C．2（x﹣1）2﹣＝0 D．（x﹣1）2﹣5＝04．如圖，在⊙O中，若＝2，則AB與2CD的大小關(guān)系為（）A．AB＝2CD B．AB＜2CD C．AB＞2CD D．無法確定5．如圖，⊙O的直徑為10，弦AB的長為8，點(diǎn)P是弦AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，使線段OP的長度為整數(shù)的點(diǎn)P有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)6．關(guān)于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p為常數(shù)）根的情況下，下列結(jié)論中正確的是（）A．兩個(gè)正根 B．一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，正根的絕對值比負(fù)根的絕對值大 C．兩個(gè)負(fù)根 D．一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，正根的絕對值比負(fù)根的絕對值小二．填空題（共10小題，30分）7．化簡：（a﹣b）＝．8．若一個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根分別是1、﹣2，請寫出一個(gè)符合題意的一元二次方程．9．⊙O中，弦AB的長恰等于半徑，則弧的度數(shù)是度．10．若關(guān)于x的方程kx2+2x+1＝0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是．11．若關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝3，x2＝﹣5，則關(guān)于y的方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的解是．12．一個(gè)點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最小距離為6cm，最大距離為10cm，則圓的半徑為cm．13．已知關(guān)于x的方程x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，則k＝．14．如圖，過A、C、D三點(diǎn)的圓的圓心為點(diǎn)E，過B、F、E三點(diǎn)的圓的圓心為D，如果∠A＝66°，那么∠θ＝．15．如圖，從A地到B地有兩條路可走，一條路是大半圓，另一條路是4個(gè)小半圓．有一天，一只貓和一只老鼠同時(shí)從A地到B地．老鼠見貓沿著大半圓行走，它不敢與貓同行（怕被貓吃掉），就沿著4個(gè)小半圓行走．假設(shè)貓和老鼠行走的速度相同，那么_______先到達(dá)B地16．若△ABC的一條邊BC的長為5，另兩邊AB、AC的長是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)k＝時(shí)，△ABC是直角三角形．三．解答題（共5小題，52分）17．解方程：（1）x(x-4)=2(4-x)（2）x2+3x＝4；（3）3x2+5x+1＝0；（4）x（2x﹣4）＝5﹣8x．18．如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圓弧所在的圓的半徑r的長；（2）當(dāng)洪水泛濫到跨度只有30米時(shí)，要采取緊急措施，若拱頂離水面只有4米，即PE＝4米時(shí)，是否要采取緊急措施？19．如圖，利用一面墻（墻長25米），用總長度49米的柵欄（圖中實(shí)線部分）圍成一個(gè)矩形圍欄ABCD，且中間共留兩個(gè)1米的小門，設(shè)柵欄BC長為x米．（1）AB＝米（用含x的代數(shù)式表示）；（2）若矩形圍欄ABCD面積為210平方米，求柵欄BC的長；（3）矩形圍欄ABCD面積是否有可能達(dá)到240平方米？若有可能，求出相應(yīng)x的值，若不可能，請說明理由．20．某景區(qū)在2021年“五一”小長假期間，接待游客達(dá)2萬人次．預(yù)計(jì)在2023年“五一”小長假期間，接待游客2.88萬人次，該景區(qū)一家冰淇淋店希望在“五一”小長假期間獲得較好的收益，經(jīng)測算可知，某種口味的冰淇淋成本價(jià)為每碗10元，借鑒以往經(jīng)驗(yàn)．若每碗賣15元，平均每天將銷售120碗．若價(jià)格每提高0.5元，則平均每天少銷售4碗，每天店面所需其他各種費(fèi)用為168元．（1）求出2021至2023年“五一”小長假期間游客人次的年平均增長率；（2）為了更好地維護(hù)景區(qū)形象，物價(jià)局規(guī)定每碗該種口味的冰淇淋售價(jià)不得超過20元，當(dāng)每碗售價(jià)定為多少元時(shí)．店家售賣該種口味的冰淇淋才能實(shí)現(xiàn)每天凈利潤600元？（凈利潤＝總收入﹣總成本﹣其它各種費(fèi)用）21．在正方形ABCD和正方形BEFG中，點(diǎn)A、B、E在同一條直線上，連接DF，且P是線段DF的中點(diǎn)，連接PG、PC．（1）如圖1，PG與PC的關(guān)系為；（2）如圖2將條件“正方形ABCD和正方形BEFG”改為“矩形ABCD和矩形BEFG”其它條件不變，判斷PG、PC關(guān)系，并證明：（3）如圖3，若將條件“正方形ABCD和正方形BEFG”改為“菱形ABCD和菱形BEFG”，點(diǎn)A、B、E在同一條直線上，連接DF．P是線段DF的中點(diǎn)，連接PG、PC，且∠ABC＝∠BEF＝60°．求的值．

2023-2024學(xué)年南京求真中學(xué)初三上期初試卷參考答案與試題解析一．選擇題（共6小題，18分）1．一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的根的情況是（）A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒有實(shí)數(shù)根【解答】解：∵x2﹣3x﹣1＝0，∴Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝9+4＝13＞0，∴該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選：B．2．下列說法：（1）長度相等的弧是等弧，（2）相等的圓心角所對的弧相等，（3）劣弧一定比優(yōu)弧短，（4）直徑是圓中最長的弦．其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【解答】解：（1）長度相等的弧不一定是等弧，弧的度數(shù)必須相同，故錯(cuò)誤；（2）同圓或等圓中相等的圓心角所對的弧相等，故錯(cuò)誤；（3）同圓或等圓中劣弧一定比優(yōu)弧短，故錯(cuò)誤；（4）直徑是圓中最長的弦，正確，正確的只有1個(gè)，故選：A．3．用配方法將方程2x2﹣4x﹣3＝0變形，結(jié)果正確的是（）A．2（x﹣1）2﹣4＝0 B．（x﹣1）2﹣＝0 C．2（x﹣1）2﹣＝0 D．（x﹣1）2﹣5＝0【解答】解：∵2x2﹣4x﹣3＝0，∴2x2﹣4x＝3，則x2﹣2x＝，∴x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，故選：B．4．如圖，在⊙O中，若＝2，則AB與2CD的大小關(guān)系為（）A．AB＝2CD B．AB＜2CD C．AB＞2CD D．無法確定【解答】解：如圖，取的中點(diǎn)E，連接AE，BE，在⊙O中，＝2，∴＝＝，∴AE＝BE＝CD，∵AE+BE＞AB，∴AB＜2CD．故選：B．5．如圖，⊙O的直徑為10，弦AB的長為8，點(diǎn)P是弦AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，使線段OP的長度為整數(shù)的點(diǎn)P有（）A．3個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．6個(gè)【解答】解：當(dāng)P為AB的中點(diǎn)時(shí)，利用垂徑定理得到OP⊥AB，此時(shí)OP最短，∵AB＝8，∴AP＝BP＝4，在直角三角形AOP中，OA＝5，AP＝4，根據(jù)勾股定理得：OP＝＝3，即OP的最小值為3；當(dāng)P與A或B重合時(shí)，OP最長，此時(shí)OP＝5，∴3≤OP≤5，則使線段OP的長度為整數(shù)的點(diǎn)P有3，4，5，共5個(gè)．故選：C．6．關(guān)于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p為常數(shù)）根的情況下，下列結(jié)論中正確的是（）A．兩個(gè)正根 B．一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，正根的絕對值比負(fù)根的絕對值大 C．兩個(gè)負(fù)根 D．一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，正根的絕對值比負(fù)根的絕對值小【解答】解：設(shè)方程兩根設(shè)為a，b，方程整理得：x2+x﹣2﹣p2＝0，∴由根與系數(shù)的關(guān)系得：a+b＝﹣1＜0，ab＝﹣2﹣p2＜0，則一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，正根的絕對值比負(fù)根的絕對值?。蔬x：D．二．填空題（共10小題，30分）7．化簡：（a﹣b）＝﹣．【解答】解：∵有意義，∴（a﹣b）＜0，∴（a﹣b）＝﹣＝﹣．故答案為：﹣．8．若一個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根分別是1、﹣2，請寫出一個(gè)符合題意的一元二次方程x2﹣x﹣2＝0．【解答】解：∵1+（﹣2）＝﹣1，1?（﹣2）＝﹣2，∴以1和﹣2為根的一元二次方程可為x2﹣x﹣2＝0．故答案為x2﹣x﹣2＝0．9．⊙O中，弦AB的長恰等于半徑，則弧的度數(shù)是60度．【解答】解：如圖，連接OA、OB，∵AB＝OA＝OB，∴△ABC為等邊三角形，∴∠AOB＝60°，∴弧的度數(shù)是60°．故答案為60．10．若關(guān)于x的方程kx2+2x+1＝0有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是k≤1．【解答】解：∵關(guān)于x的方程kx2+2x+1＝0有實(shí)數(shù)根，∴當(dāng)k≠0時(shí)，Δ＝4﹣4k≥0，∴k≤1，∴k≤1且k≠0，當(dāng)k＝0時(shí)，此時(shí)方程為3x+1＝0，滿足題意，故答案為：k≤1．11．若關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝3，x2＝﹣5，則關(guān)于y的方程a（y+1）2+b（y+1）+c＝0的解是y1＝2，y2＝﹣6．【解答】解：設(shè)t＝y(tǒng)+1，則原方程可化為at2+bt+c＝0，∵關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝3，x2＝﹣5，∴t1＝3，t2＝﹣5，∴y+1＝3或y+1＝﹣5，解得y1＝2，y2＝﹣6．故答案為：y1＝2，y2＝﹣6．12．一個(gè)點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最小距離為6cm，最大距離為10cm，則圓的半徑為8或2cm．【解答】解：分為兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)在圓內(nèi)時(shí)，如圖1，∵點(diǎn)到圓上的最小距離MB＝6cm，最大距離MA＝10cm，∴直徑AB＝6cm+10cm＝16cm，∴半徑r＝8cm；②當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，如圖2，∵點(diǎn)到圓上的最小距離MB＝6cm，最大距離MA＝10cm，∴直徑AB＝10cm﹣6cm＝4cm，∴半徑r＝2cm，綜上所述，圓的半徑為8cm或2cm，故答案為：8或2．13．已知關(guān)于x的方程x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，則k＝﹣2．【解答】解：設(shè)方程的兩根分別為x1，x2，∵x2+（k2﹣4）x+k﹣1＝0的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，∴x1+x2，＝﹣（k2﹣4）＝0，解得k＝±2，當(dāng)k＝2，方程變?yōu)椋簒2+1＝0，Δ＝﹣4＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根，所以k＝2舍去；當(dāng)k＝﹣2，方程變?yōu)椋簒2﹣3＝0，Δ＝12＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；∴k＝﹣2．故答案為﹣2．14．如圖，過A、C、D三點(diǎn)的圓的圓心為點(diǎn)E，過B、F、E三點(diǎn)的圓的圓心為D，如果∠A＝66°，那么∠θ＝16°．【解答】解：如圖，連接CE、DE，∵過A，C，D三點(diǎn)的圓的圓心為E，且過B，F(xiàn)，E三點(diǎn)的圓的圓心為D，∴AE＝CE＝DE＝DB，∴∠A＝∠ACE，∠ECD＝∠CDE，∠DEB＝∠DBE，∵∠A＝66°，∴∠AEC＝180°﹣2×66°＝48°，∵∠ECD＝∠CDE＝2∠DBE，∴∠AEC＝∠ECD+∠DBE＝3∠DBE，即3∠DBE＝48°，∴∠DBE＝16°，即∠θ＝16°，故答案為：16°．15．如圖，從A地到B地有兩條路可走，一條路是大半圓，另一條路是4個(gè)小半圓．有一天，一只貓和一只老鼠同時(shí)從A地到B地．老鼠見貓沿著大半圓行走，它不敢與貓同行（怕被貓吃掉），就沿著4個(gè)小半圓行走．假設(shè)貓和老鼠行走的速度相同，那么_______先到達(dá)B地【解答】解：以AB為直徑的半圓的長是：π?AB；設(shè)四個(gè)小半圓的直徑分別是a，b，c，d，則a+b+c+d＝AB．則老鼠行走的路徑長是：a+πb+πc+πd＝π（a+b+c+d）＝π?AB．故貓和老鼠行走的路徑長相同．16．若△ABC的一條邊BC的長為5，另兩邊AB、AC的長是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)k＝2或11時(shí)，△ABC是直角三角形．【解答】解：∵x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0，∴[x﹣（k+1）][x﹣（k+2）]＝0，∴x1＝k+1，x2＝k+2，即AB、AC的長為k+1，k+2，當(dāng)（k+1）2+（k+2）2＝52時(shí)，△ABC為直角三角形，解得k1＝2，k2＝﹣5（舍去）；當(dāng)（k+1）2+52＝（k+2）2時(shí)，△ABC為直角三角形，解得k＝11；綜上所述，當(dāng)k＝2或11時(shí)，△ABC是直角三角形．故答案為2或11．17．解方程：（1）x(x-4)=2(4-x)（2）x2+3x＝4；（3）3x2+5x+1＝0；（4）x（2x﹣4）＝5﹣8x．【解答】解：（1）x(x-4)=2(4-x)所以x1＝4，x2＝2；（2）x2+3x＝4；所以x1＝﹣4，x2＝1；（3）（3）3x2+5x+1＝0；a＝3，b＝5，c＝1，Δ＝13＞0，x＝＝＝，所以x1＝，x2＝；（4））x（2x﹣4）＝5﹣8x．所以x1＝1，x2＝．18．如圖，有一座拱橋是圓弧形，它的跨度AB＝60米，拱高PD＝18米．（1）求圓弧所在的圓的半徑r的長；（2）當(dāng)洪水泛濫到跨度只有30米時(shí)，要采取緊急措施，若拱頂離水面只有4米，即PE＝4米時(shí)，是否要采取緊急措施？【解答】解：（1）連接OA，由題意得：AD＝AB＝30（米），OD＝（r﹣18）米，在Rt△ADO中，由勾股定理得：r2＝302+（r﹣18）2，解得，r＝34（米）；（2）連接OA′，∵OE＝OP﹣PE＝30米，∴在Rt△A′EO中，由勾股定理得：A′E2＝A′O2﹣OE2，即：A′E2＝342﹣302，解得：A′E＝16（米）．∴A′B′＝32（米）．∵A′B′＝32＞30，∴不需要采取緊急措施．19．如圖，利用一面墻（墻長25米），用總長度49米的柵欄（圖中實(shí)線部分）圍成一個(gè)矩形圍欄ABCD，且中間共留兩個(gè)1米的小門，設(shè)柵欄BC長為x米．（1）AB＝（51﹣3x）米（用含x的代數(shù)式表示）；（2）若矩形圍欄ABCD面積為210平方米，求柵欄BC的長；（3）矩形圍欄ABCD面積是否有可能達(dá)到240平方米？若有可能，求出相應(yīng)x的值，若不可能，請說明理由．【解答】解：（1）設(shè)柵欄BC長為x米，∵柵欄的全長為49米，且中間共留兩個(gè)1米的小門，∴AB＝49+2﹣3x＝51﹣3x（米），故答案為：（51﹣3x）；（2）依題意，得：（51﹣3x）x＝210，整理，得：x2﹣17x+70＝0，解得：x1＝7，x2＝10．當(dāng)x＝7時(shí)，AB＝51﹣3x＝30＞25，不合題意，舍去，當(dāng)x＝10時(shí)，AB＝51﹣3x＝21，符合題意，答：柵欄BC的長為10米；（3）不可能，理由如下：依題意，得：（51﹣3x）x＝240，整理得：x2﹣17x+80＝0，∵Δ＝（﹣17）2﹣4×1×80＝﹣31＜0，∴方程沒有實(shí)數(shù)根，∴矩形圍欄ABCD面積不可能達(dá)到240平方米．20．某景區(qū)在2021年“五一”小長假期間，接待游客達(dá)2萬人次．預(yù)計(jì)在2023年“五一”小長假期間，接待游客2.88萬人次，該景區(qū)一家冰淇淋店希望在“五一”小長假期間獲得較好的收益，經(jīng)測算可知，某種口味的冰淇淋成本價(jià)為每碗10元，借鑒以往經(jīng)驗(yàn)．若每碗賣15元，平均每天將銷售120碗．若價(jià)格每提高0.5元，則平均每天少銷售4碗，每天店面所需其他各種費(fèi)用為168元．（1）求出2021至2023年“五一”小長假期間游客人次的年平均增長率；（2）為了更好地維護(hù)景區(qū)形象，物價(jià)局規(guī)定每碗該種口味的冰淇淋售價(jià)不得超過20元，當(dāng)每碗售價(jià)定為多少元時(shí)．店家售賣該種口味的冰淇淋才能實(shí)現(xiàn)每天凈利潤600元？（凈利潤＝總收入﹣總成本﹣其它各種費(fèi)用）【解答】解：（1）可設(shè)年平均增長率為x，依題意有2（1+x）2＝2.88，解得x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．答：年平均增長率為20%；（2）設(shè)每碗售價(jià)定為y元時(shí)，店家才能實(shí)現(xiàn)每天利潤600元，依題意得：（y﹣10）[120﹣（y﹣15）]﹣168＝600，解得y1＝18，y2＝22，∵每碗售價(jià)不得超過20元，∴y＝18．答：當(dāng)每碗售價(jià)定為18元時(shí)，店家才能實(shí)現(xiàn)每天利潤600元．21．在正方形ABCD和正方形BEFG中，點(diǎn)A、B、E在同一條直線上，連接DF，且P是線段DF的中點(diǎn)，連接PG、PC．（1）如圖1，PG與PC的關(guān)系為PG⊥PC，PG＝PC；（2）如圖2將條件“正方形ABCD和正方形BEFG”改為“矩形ABCD和矩形BEFG”其它條件不變，判斷PG、PC關(guān)系，并證明：（3）如圖3