183B二次函數(shù)的應用（實際）

二次函數(shù)的應用（代數(shù)）一、選擇題1.（2022廣西梧州，11，3分）2011年5月22日—29日在美麗的青島市舉行了蘇迪曼杯羽毛球混合團體錦標賽．在比賽中，某次羽毛球的運動路線可以看作是拋物線y=－eq\f(1,4)x2+bx+c的一部分（如圖5），其中出球點B離地面O點的距離是1m，球落地點A到O點的距離是4m，那么這條拋物線的解析式是（A）y=－eq\f(1,4)x2+eq\f(3,4)x+1 （B）y=－eq\f(1,4)x2+eq\f(3,4)x－1（C）y=－eq\f(1,4)x2－eq\f(3,4)x+1（D）y=－eq\f(1,4)x2－eq\f(3,4)x－1AAxOBy圖5【答案】A2.（2022青海西寧，7，3分）西寧中心廣場有各種音樂噴泉，其中一個噴水管噴水的最大高度為3米，此時距噴水管的水平距離為eq\f(1,2)米，在如圖3所示的坐標系中，這個噴泉的函數(shù)關(guān)系式是A．y=﹣（x﹣eq\f(1,2)）2+3B．y=﹣（x+eq\f(1,2)）2+3C．y=﹣12（x﹣eq\f(1,2)）2+3D．y=﹣12（x+eq\f(1,2)）2+3【答案】C3.4.5.6.7.8.9.10．二、填空題1.2.3.4.5.6.7.8.9.10．三、解答題1.（2022黑龍江省哈爾濱市，24，6分）手工課上，小明準備做一個形狀是菱形的風箏，這個菱形的兩條對角線長度之和恰好為60cm，菱形的面積S（單位：cm）隨其中一條對角線的長x（單位：cm）的變化而變化。（1）請直接寫出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；（2）當x是多少時，菱形風箏面積S最大？最大面積是多少？【參考公式：當時，二次函數(shù)（a≠0）有最小（大）值】【答案】解：（1）（2）∵∴S有最大值∴S的最大值為∴當x為30cm時，菱形風箏面積最大，最大面積是450cm2。2.（2022湖北隨州，23，12分）我市某鎮(zhèn)的一種特產(chǎn)由于運輸原因，長期只能在當?shù)劁N售．當?shù)卣畬υ撎禺a(chǎn)的銷售投資收益為：每投入x萬元，可獲得利潤（萬元）．當?shù)卣當M在“十二?五”規(guī)劃中加快開發(fā)該特產(chǎn)的銷售，其規(guī)劃方案為：在規(guī)劃前后對該項目每年最多可投入100萬元的銷售投資，在實施規(guī)劃5年的前兩年中，每年都從100萬元中撥出50萬元用于修建一條公路，兩年修成，通車前該特產(chǎn)只能在當?shù)劁N售；公路通車后的3年中，該特產(chǎn)既在本地銷售，也在外地銷售．在外地銷售的投資收益為：每投入x萬元，可獲利潤（萬元）⑴若不進行開發(fā)，求5年所獲利潤的最大值是多少？⑵若按規(guī)劃實施，求5年所獲利潤（扣除修路后）的最大值是多少？⑶根據(jù)⑴、⑵，該方案是否具有實施價值？【答案】解：⑴當x=60時，P最大且為41，故五年獲利最大值是41×5=205萬元．⑵前兩年：0≤x≤50，此時因為P隨x增大而增大，所以x=50時，P值最大且為40萬元，所以這兩年獲利最大為40×2=80萬元．后三年：設(shè)每年獲利為y，設(shè)當?shù)赝顿Y額為x,則外地投資額為100－x，所以y=P＋Q=+==，表明x=30時，y最大且為1065，那么三年獲利最大為1065×3=3495萬元，故五年獲利最大值為80＋3495－50×2=3475萬元．⑶有極大的實施價值．3.（2022天津，24,8分）注意：為了使同學們更好地解答本題，我們提供了一種分析問題的方法，你可以照這個方法按要求完成本題的解答，也可以選用其他方法，按照解答題的一般要求進行解答即可.某商品現(xiàn)在的售價為每件35元，每天可賣出50件.市場調(diào)查反映：如果調(diào)整價格每降價1元，每天可多賣出2件.請你幫助分析當每件商品降價多少元時，可使每天的銷售額最大，最大銷售額是多少？設(shè)每件商品降價元，每天的銷售額為元.（Ⅰ）分析：根據(jù)問題中的數(shù)量關(guān)系，用含的式子填表：原價每件降價1元每件降價2元…每件降價元每件售價（元）353433…每天銷量（件）505254…（Ⅱ）（由以上分析，用含的式子表示，并求出問題的解）答案：（Ⅰ）35-x；50+2x.（Ⅱ）根據(jù)題意，每天的銷售額，（0＜x＜35）配方得：∴當x=5時，y取最大值1800.答：當每件商品降價5元時，可使每天的銷售額最大，最大銷售額為1800元.4.（2022廣東佛山，24，10）商場對某種商品進行市場調(diào)查，1至6月份該種商品的銷售情況如下:①銷售成本p(元/千克)與銷售月份x的關(guān)系如圖所示：②銷售收入q（元/千克)與銷售月份x滿足q=-EQ\f(3,2)x+15③銷售量m(千克）與銷售月份x滿足m=100x+200.試解決以下問題：(1)根據(jù)圖形，求與p與x之間的函數(shù)關(guān)系式：(2)求該種商品每月的銷售利潤y(元)與銷售月份X的函數(shù)關(guān)系式，并求出哪個月的銷售利潤最大？【答案】解：(1)根據(jù)圖形可知；p與x之間的關(guān)系符合一次函數(shù).故可設(shè)為p=kx+b并有解得故p與x的函數(shù)關(guān)系式為p=-x+10根據(jù)題意，月銷售利潤y=(q-p)m=[（-EQ\f(3,2)x+15）-（-x+10）](100x+200)化簡得y=-50x2+400x+10000所以4月份銷售利潤最大。5.（2022黑龍江省哈爾濱市，24，6分）手工課上，小明準備做一個形狀是菱形的風箏，這個菱形的兩條對角線長度之和恰好為60cm，菱形的面積S（單位：cm）隨其中一條對角線的長x（單位：cm）的變化而變化。（1）請直接寫出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）；（2）當x是多少時，菱形風箏面積S最大？最大面積是多少？【參考公式：當時，二次函數(shù)（a≠0）有最?。ù螅┲怠俊敬鸢浮拷猓海?）（2）∵∴S有最大值∴S的最大值為∴當x為30cm時，菱形風箏面積最大，最大面積是450cm2。6.（2022湖北省隨州市，23，14分）我市某鎮(zhèn)的一種特產(chǎn)由于運輸原因，長期只能在當?shù)劁N售。當?shù)卣畬υ撎禺a(chǎn)的銷售投資收益為：每投產(chǎn)x萬元，可獲得利潤P=－（x—60）2+41（萬元）。當?shù)卣當M在“十二·五”規(guī)劃中加快開發(fā)該特產(chǎn)的銷售，其規(guī)劃方案為：在規(guī)劃前后對該項目每年最多可投入100萬元的銷售投資，在實施規(guī)劃5年的前兩年中，每年都從100萬元中撥出50萬元用于修建一條公路，兩年修成，通車前該特產(chǎn)只能在當?shù)劁N售；公路通車后的3年中，該特產(chǎn)既在本地銷售，也在外地銷售。在外地銷售的投資收益為：每投產(chǎn)x萬元，可獲得利潤P=－（100—x）2+（100—x）+160（萬元）。(1)若不進行開發(fā)，求5年所獲利潤的最大值是多少？（2）若按規(guī)劃實施，求5年所獲利潤（扣除修路后）的最大值是多少？（3）根據(jù)（1）、（2），該方案是否具有實施價值？【答案】（1）若不進行開發(fā)，每年投產(chǎn)60萬元時，可獲利潤最大，為41萬元。5年所獲利潤的最大值為41×5=205萬元。（2）按規(guī)劃實施，前2年每年所獲利潤最大為—（50—60）2+41=40萬元，所以前兩年最大所獲利潤為80萬元。后3年中，每年在外地銷售，由P=—（100—x）2+（100—x）+160=—（x—）2+可知，當投資萬元時，可獲利潤最大，為萬元，約1033萬元。其余的100—=萬元在本地銷售，可獲利潤約32萬元。即最大為1065萬元。所以3年共獲利潤3195萬元。5年所獲利潤（扣除修路后）的最大值是3195+80—100=3175萬元。（3）該方案具有實施價值。7.（2022江蘇徐州，25,8分）某網(wǎng)店以每件60元的價格購進一批商品，若以單價80元銷售，每月可售出300件.調(diào)查表明：單價每上漲1元，該商品每月的銷售量就減少10件.（1）請寫出每月銷售該商品的利潤y（元）與單價上漲x（元）間的函數(shù)關(guān)系式；（2）單價定為多少元時，每月銷售商品的利潤最大？最大利潤為多少？【答案】（1）y=（x－60）［300－10（x－80）］=（x－60）（300－10x+800）=（x－60）（1100－10x）=即y=（2）y==.因為－10＜0，所以當x=85時，y有最大值，=6250.即單價定為85元時，每月銷售商品的利潤最大，最大利潤為6250元.8.（2022遼寧沈陽，23，12分）一玩具廠去年生產(chǎn)某種玩具，成本為10元/件。出廠價為12元/件，年銷售量為2萬件。今年計劃通過適當增加成本來提高產(chǎn)品的檔次，以拓展市場。若今年這種玩具每件的成本比去年成本增加倍，今年這種玩具每件的出廠價比去年出廠價相應提高倍。則預計今年年銷售量增加x倍（本題中0＜x≤1）（1）用含x的代數(shù)式表示，今年生產(chǎn)的這種玩具每件的成本為①元，今年生產(chǎn)的這種玩具每件的出廠價為②元（2）求今年這種玩具每件的利潤y元與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）設(shè)今年這種玩具的年銷售利潤為w萬元，求當x為何值時，今年的年銷售利潤最大？最大年銷售利潤是多少萬元？注：年銷售利潤=（每件玩具的出廠價－每件玩具的成本）×年銷售量【答案】（1）①（10＋7x）,②(12＋6x)（2）y=(12＋6x)－（10＋7x）=2－x（3）∵w=2(1＋x)(2－x)=－2x2＋2x＋4∴w=－2(x－2＋∵－2＜0，o＜x≤1∴w有最大值，當x=時，最大值為（萬元）答：當x=時，今年的年銷售利潤最大，最大年銷售利潤是萬元。9.（2022湖北鄂州，23，12分）我市某鎮(zhèn)的一種特產(chǎn)由于運輸原因，長期只能在當?shù)劁N售．當?shù)卣畬υ撎禺a(chǎn)的銷售投資收益為：每投入x萬元，可獲得利潤（萬元）．當?shù)卣當M在“十二?五”規(guī)劃中加快開發(fā)該特產(chǎn)的銷售，其規(guī)劃方案為：在規(guī)劃前后對該項目每年最多可投入100萬元的銷售投資，在實施規(guī)劃5年的前兩年中，每年都從100萬元中撥出50萬元用于修建一條公路，兩年修成，通車前該特產(chǎn)只能在當?shù)劁N售；公路通車后的3年中，該特產(chǎn)既在本地銷售，也在外地銷售．在外地銷售的投資收益為：每投入x萬元，可獲利潤（萬元）⑴若不進行開發(fā)，求5年所獲利潤的最大值是多少？⑵若按規(guī)劃實施，求5年所獲利潤（扣除修路后）的最大值是多少？⑶根據(jù)⑴、⑵，該方案是否具有實施價值？【答案】解：⑴當x=60時，P最大且為41，故五年獲利最大值是41×5=205萬元．⑵前兩年：0≤x≤50，此時因為P隨x增大而增大，所以x=50時，P值最大且為40萬元，所以這兩年獲利最大為40×2=80萬元．后三年：設(shè)每年獲利為y，設(shè)當?shù)赝顿Y額為x,則外地投資額為100－x，所以y=P＋Q=+==，表明x=30時，y最大且為1065，那么三年獲利最大為1065×3=3495萬元，故五年獲利最大值為80＋3495－50×2=3475萬元．⑶有極大的實施價值．10．（2022山東青島，22，10分）（本小題滿分10分）某商場經(jīng)營某種品牌的童裝，購進時的單價是60元.根據(jù)市場調(diào)查，在一段時間內(nèi)，銷售單價是80元時，銷售量是200件，而銷售單價每降低1元，就可多售出20件.（1）寫出銷售量y（件）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）寫出銷售該品牌童裝獲得的利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（3）若童裝廠規(guī)定該品牌童裝銷售單價不低于76元，且商場要完成不少于240件的銷售任務，則商場銷售該品牌童裝獲得的最大利潤是多少元？【答案】解：（1）由題意，得:y=200+（80﹣x）×20=﹣20x+1800；答：y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y=﹣20x+1800.（2）由題意，得：w=(x﹣60)(﹣20x+1800)=﹣20x2+3000x﹣108000.答：w與x之間的函數(shù)關(guān)系式是w=﹣20x2+3000x﹣108000.（3）由題意，得：，解得.w=﹣20x2+3000x﹣108000對稱軸為x=，又a＜0∴當時，w最大=(76﹣60)(﹣20×76+1800)=4480.答：這段時間商場最多獲利4480元.11.(2022烏魯木齊，19，12分)某商場銷售一種進價為20元/臺的臺燈，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該臺燈每天的銷售量（臺）與銷售單價（元）滿足，設(shè)銷售這種臺燈每天的利潤為（元）.（1）求與之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當銷售單價定為多少元時，每天的利潤最大？最大利潤是多少？（3）在保證銷售量盡可能大的前提下，該商場每天還想獲得150元的利潤，應將銷售單價定為多少元？【答案】解：（1）y=(x-20)(-2x+80)=2x2+120x-1600（2）∵y=-2x2+12-1600=-2(x-30)2+200∴當x=30元時，最大利潤y=200元.（3）由題意，y=150，即-2(x-30)2+200+150，解得x1=25，x2=35又銷售量w=-2x+80隨單價x的增大而減小，故當x=25時，既能保證銷售量大，又可以每天獲得150元的利潤.12.九（1）班數(shù)學課題學習小組，為了研究學習二次函數(shù)問題，他們經(jīng)歷了實踐——應用——（2022湖南岳陽，26,10分）探究的過程：（1）實踐：他們對一條公路上橫截面為拋物線的單向雙車道的隧道（如圖①）進行測量，測得一隧道的路面寬為10m，隧道頂部最高處距地面，并畫出了隧道截面圖，建立了如圖②所示的直角坐標系，請你求出拋物線的解析式．（2）應用：按規(guī)定機動車輛通過隧道時，車頂部在豎直方向上的高度差至少為．為了確保安全，問該隧道能否讓最寬3m，最高的兩輛廂式貨車居中并列行駛（兩車并列行駛時不考慮兩車間的空隙）？（3）探究：該課題學習小組為進一步探索拋物線的有關(guān)知識，他們借助上述拋物線模型，提出了以下兩個問題：請予解答：Ⅰ．如圖③，在拋物線內(nèi)作矩形ABCD，使頂點C、D落在拋物線上，頂點A、B落在