因式分解章末重難點題型（舉一反三）（浙教版）（原卷版）

專題因式分解章末重難點題型【浙教版】【考點1因式分解定義】【方法點撥】把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做因式分解，因式分解也可稱為分解因式?！纠?】（2019春?青島期中）下列從左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是（）A．（3﹣x）（3+x）＝9﹣x2 B． C．m4﹣n4＝（m2+n2）（m+n）（m﹣n） D．4yz﹣2y2z+z＝2y（2z﹣yz）+z【變式1-1】（2019春?成都期中）下列各式，從左到右的變形是因式分解的是（）A．a(chǎn)（x+y）＝ax+ay B．2x2﹣x＝x（2x﹣1） C．x2+4x+4＝x（x+4）+4 D．x2﹣9＝（x+9）（x﹣9）【變式1-2】（2019春?靈石縣期中）下列各式從左到右的變形，是因式分解且分解結(jié)果正確的為（）A．（a+2）2﹣（a﹣1）2＝6a+3 B．x2+x+＝（x+）2 C．2x2﹣6x＝2x（x﹣6） D．x4﹣16＝（x2+4）（x2﹣4）【變式1-3】（2019春?新田縣期中）下列各式從左到右的變形中，是因式分解的有（）①25x2﹣4y2＝（5x+2y）（5x﹣2y）；②8x2y4﹣12xy2z＝4xy2（2xy2﹣3z）；③（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy；④x3y2﹣x5＝x3（y+x）（y﹣x）；⑤﹣（2x﹣3y）2＝﹣4x2+12xy﹣9y2．（）A．①②③⑤ B．②③④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤【考點2公因式的概念】【方法點撥】把多項式的各項都含有的相同因式，叫做這個多項式的各項的公因式.【例2】（2019春?新田縣期中）多項式2xmyn﹣1﹣4xm﹣1yn（m，n均為大于1的整數(shù)）各項的公因式是（）A．4xm﹣1yn﹣1 B．2xm﹣1yn﹣1 C．2xmyn D．4xmyn【變式2-1】（2019春?灌陽縣期中）代數(shù)式x﹣2是下列哪一組的公因式（）A．（x+2）2，（x﹣2）2 B．x2﹣2x，4x﹣6 C．3x﹣6，x2﹣2x D．x2﹣4，6x﹣18【變式2-2】（2019秋?乳山市期中）代數(shù)式x4﹣81，x2﹣9與x2﹣6x+9的公因式為（）A．x+3 B．（x+3）2 C．x﹣3 D．x2+9【變式2-3】（2019秋?安岳縣校級期中）在m（a﹣x）（x﹣b）﹣mn（a﹣x）（b﹣x）中，公因式是（）A．m B．m（a﹣x） C．m（a﹣x）（b﹣x） D．（a﹣x）（b﹣x）【考點3提公因式法】【方法點撥】如果一個多項式的各項含有公因式，那末就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種因式分解的方法叫做提公因式法【例3】（2019秋?徐匯區(qū)校級期中）（x﹣3y）（x﹣y）﹣（﹣x﹣y）2【變式3-1】（2019秋?西城區(qū)校級期中）因式分解：2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）【變式3-2】（2018秋?寧陽縣期中）把下列各式分解因式：（1）2a（x﹣y）﹣6b（y﹣x）（2）（a2﹣2a+1）﹣b（a﹣1）（3）2x（y﹣x）+（x+y）（x﹣y）【變式3-3】（2018秋?嘉定區(qū)期中）因式分解：3（x+y）（x﹣y）﹣（x﹣y）2．【考點4公式法】【方法點撥】公式法：（1）a2_b2=(a+b)(a-b)（2）a2±2ab+b2=（a±b）2【例4】（2019秋?長寧區(qū)期中）因式分解：16x4﹣1【變式4-1】（2019春?港南區(qū)期中）把下列多項式因式分解：（1）x2﹣9；（2）4x2﹣3y（4x﹣3y）．【變式4-2】（2019春?汨羅市期中）分解因式或計算：（1）（2m﹣n）2﹣169（m+n）2；（2）8（x2﹣2y2）﹣x（7x+y）+xy．（3）40×2+80××1.85+40×2【變式4-3】（2018秋?雙陽區(qū)校級期中）因式分解：（x2﹣3）2+2（3﹣x2）+1．【考點5提公因式與公式法綜合運用】【方法點撥】分解因式的一般步驟為:（1）若有“-”先提取“-”，若多項式各項有公因式,則再提取公因式.（2）若多項式各項沒有公因式,則根據(jù)多項式特點,選用平方差公式或完全平方公式.（3）每一個多項式都要分解到不能再分解為止.【例5】（2020春?秦淮區(qū)校級期中）因式分解：（1）a3﹣4ab2；（2）（x2+x）2﹣（x+1）2．【變式5-1】（2019春?碑林區(qū)校級期中）分解因式：（1）3a2﹣12ab+12b2；（2）25（a+b）2﹣9（a﹣b）2．【變式5-2】（2018秋?楊浦區(qū)期中）因式分解：（2x﹣3y）2﹣2（2x﹣3y）（4x+y）+（4x+y）2【變式5-3】（2018秋?天河區(qū)校級期中）把下列各式因式分解：（1）12x4﹣6x3﹣168x2（2）a5（2﹣3a）+2a3（3a﹣2）2+a（2﹣3a）3（3）abc（a3+b3+c3+2abc）+（a3b3+b3c3+c3a3）【考點6分組分解法】【方法點撥】將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法是分組分解法．能分組分解的多項式通常有四項或六項，一般的分組分解有四種形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．【例6】（2018秋?寶山區(qū)校級期中）因式分解：x2﹣4xy+4y2﹣3x+6y+2【變式6-1】（2019春?章丘市校級期中）因式分解（1）（x4+y4）2﹣4x4y4（2）x2﹣9y2+4z2+4xz．【變式6-2】（2019秋?乳山市期中）分解因式：（1）（x+1）（x﹣）+；（2）x2﹣y2﹣2x﹣4y﹣3．【變式6-3】（2019春?重慶校級期中）先閱讀下列材料，然后回答后面問題：將一個多項式分組后，可提公因式或運用公式繼續(xù)分解的方法是分組分解法．能分組分解的多項式通常有四項或六項，一般的分組分解有四種形式，即“2+2”分法、“3+1”分法、“3+2”分法及“3+3”分法等．如“2+2”分法：ax+ay+bx+by＝（ax+ay）+（bx+by）＝a（x+y）+b（x+y）＝（x+y）（a+b）如“3+1”分法：2xy+y2﹣1+x2＝x2+2xy+y2﹣1＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）請你仿照以上方法，探索并解決下列問題：（1）分解因式：x2﹣y2﹣x﹣y；（2）分解因式：45am2﹣20ax2+20axy﹣5ay2；（3）分解因式：4a2+4a﹣4a2b﹣b﹣4ab+1．【考點7十字相乘法】【例7】（2019秋?青浦區(qū)校級期中）用雙十字相乘法分解因式：例：20x2+9xy﹣18y2﹣18x+33y﹣14．∵4×6+5×（﹣3）＝9，4×（﹣7）+5×2＝﹣18，﹣3×（﹣7）+2×6＝33，∴20x2+9xy﹣18y2﹣18x+33y﹣14＝（4x﹣3y+2）（5x+6y﹣7）．雙十字相乘法的理論根據(jù)是多項式的乘法，在使用雙十字相乘法時，應(yīng)注意它帶有試驗性質(zhì)，很可能需要經(jīng)過多次試驗才能得到正確答案．分解因式6x2﹣5xy﹣6y2﹣2xz﹣23yz﹣20z2＝_______．【變式7-1】（2019秋?九龍坡區(qū)校級期中）閱讀下列村料：由整式的乘法運算知：（ax+b）（cx+d）＝acx2+（ad+bc）x+bd．由于我們知道因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得acx2+（ad+bc）x+bd＝（ax+b）（cx+d）．通過觀察可知可把acx2+（ad+bc）x+bd中的x看作是未知數(shù)，a，b，c，d看作常數(shù)的二次三項式；通過觀察acx2+（ad+bc）x+bd＝（ax+b）（cx+d），可知此種因式分解是把二次三項式的二項式系數(shù)ac與常數(shù)項bd分別進行適當(dāng)?shù)姆纸鈦頊愐淮雾椀南禂?shù)，此分解過程可以用十字相乘的形式形象地表示成如圖1，此分解過程可形象地表述為“堅乘得首、尾，叉乘湊中項，這種分解的方法稱為十字相乘法．如：將二次三項式2x2+7x+3的二項式系數(shù)2與常數(shù)項3分別進行適當(dāng)?shù)姆纸?，如圖2．則2x2+7x+3＝（x+3）（2x+1）．根據(jù)閱讀材料解決下列問題：（1）用十字相乘法因式分解：4x2+9x﹣13；（2）用十字相乘法因式分解：2（2a2+1）2﹣3（2a2+1）﹣9；（3）已知x2﹣2x﹣n＝（x+a）（x+b）（1≤n≤200），若a、b均為整數(shù)，則滿足條件的整數(shù)n有幾個？并說明理由．【變式7-2】（2019秋?巴東縣期末）x2+（p+q）x+pq型式子是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常見的一類多項式，如何將這種類型的式子因式分解呢？因為（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，所以，根據(jù)因式分解是與整式乘法方向相反的變形，利用這種關(guān)系可得：x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）．如：x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2＝（x+1）（x+2）上述過程還可以形象的用十字相乘的形式表示：先分解二次項系數(shù)，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角；再分解常數(shù)項，分別寫在十字交叉線的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代數(shù)和，使其等于一次項的系數(shù)，如圖．這樣，我們可以得到：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）利用這種方法，將下列多項式分解因式：（1）x2+7x+10（2）﹣2x2﹣6x+36【變式7-3】（2019春?新田縣期中）提出問題：你能把多項式x2+5x+6因式分解嗎？探究問題：如圖（1）所示，設(shè)a，b為常數(shù)，由面積相等可得：（x+a）（x+b）＝x2+ax+bx+ab＝x2+（a+b）x+ab，將該式從右到左使用，就可以對形如x2+（a+b）x+ab的多項式進行因式分解即x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．觀察多項式x2+（a+b）x+ab的特征是二次項系數(shù)為1，常數(shù)項為兩數(shù)之積，一次項為兩數(shù)之和．解決問題：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+3）（x+2）運用結(jié)論：（1）基礎(chǔ)運用：把多項式x2﹣5x﹣24進行因式分解．（2）知識遷移：對于多項式4x2﹣4x﹣15進行因式分解還可以這樣思考：將二次項4x2分解成圖（2）中的兩個﹣4x的積，再將常數(shù)項﹣15分解成﹣5與3的乘積，圖中的對角線上的乘積的和為﹣4x，就是4x2﹣4x﹣15的一次項，所以有4x2﹣4x﹣15＝（2x﹣5）（2x+3）．這種分解因式的方法叫做“十字相乘法”．請用十字相乘法進行因式分解：3x2﹣19x﹣14（3）綜合運用：靈活運用知識進行因式分解：x3﹣7x+6【考點8利用因式分解判斷三角形】【例8】（2019秋?閩清縣期中）已知BC＝a，AC＝b，AB＝c，且滿足a2+b2+＝ac+bc，試判定a，b，c能否構(gòu)成三角形，如果能，請判定形狀，并說明理由．【變式8-1】（2019秋?徐聞縣期中）已知：a，b，c為△ABC的三邊長，且2a2+2b2+2c2＝2ab+2ac+2bc，試判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論．【變式8-2】（2019秋?東營期中）已知a，b，c為△ABC的三條邊，若a2+b2+c2＝ab+ac+bc，則該△ABC是什么三角形？【變式8-3】（2019秋?仁壽縣期中）已知△ABC的三條邊分別是a、b、c．（1）判斷（a﹣c）2﹣b2的值的正負(fù)．（2）若a、b、c滿足a2+c2+2b（b﹣a﹣c）＝0，判斷△ABC的形狀．【考點9利用因式分解求值】【例9】（2019秋?孟津縣期中）已知a+b＝，ab＝﹣，求代數(shù)式a3b+2a2b2+ab3的值．【變式9-1】（2019秋?泰安期中）利用因式分解計算：已知：a+b＝4，ab＝﹣2，求：a3+a2b+ab2+b3的值．【變式9-2】（2019春?淮北期中）若x＝2018，y＝2019，z＝2020，求2x2+2y2+2z2﹣2xy﹣2xz﹣2yz的值．【變式9-3】（2019秋?鯉城區(qū)校級期末）已知a﹣b＝1，a﹣c＝3．（1）求5b﹣5c+7的值：（2）求a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc的值．【考點10因式分解的應(yīng)用】【例10】（2019秋?乳山市期中）【閱讀材料】因式分解：（x+y）2+2（x+y）+1．解：將“x+y”看成整體，令x+y＝A，則原式＝A2+2A+1＝（A+1）2．再將“A”還原，原式＝（x+y+1）2．上述解題用到的是“整體思想”，整體思想是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法．【問題解決】（1）因式分解：1+5（x﹣y）+4（x﹣y）2；（2）因式分解：（a+b）（a+b﹣4）+4；（3）證明：若n為正整數(shù)，則代數(shù)式（n+1）（n+2）（n2+3n）+1的值一定是某個整數(shù)的平方．【變式10-1】（2019春?太倉市期中）你會對多項式（x2+5x+2）（x2+5x+3）﹣12分解因式嗎？對結(jié)構(gòu)較復(fù)雜的多項式，若把其中某些部分看成一個整體，用新字母代替（即換元），能使復(fù)雜的問題簡單化、明朗化．從換元的個數(shù)看，有一元代換、二元代換等．對于（x2+5x+2）（x2+5x+3）﹣12．解法一：設(shè)x2+5x＝y(tǒng)，則原式＝（y+2）（y+3）﹣12＝y(tǒng)2+5y﹣6＝（y+6）（y﹣1）＝（x2+5x+6）（x2+5x﹣1）＝（x+2）（x+3）（x2+5x﹣1）．解法二：設(shè)x2+5x+2＝y(tǒng)，則原式＝y(tǒng)（y+1）﹣12＝y(tǒng)2+y﹣12＝（y+4）（y﹣3）＝（x2+5x+6）（x2+5x﹣1）＝（x+2）（x+3）（x2+5x﹣1）．解法三：設(shè)x2+2＝m，5x＝n，則原式＝（m+n）（m+n+1）﹣12＝（m+n）2+（m+n）﹣12＝（m+n+4）（m+n﹣3）＝（x2+5x+6）（x2+5x﹣1）＝（x+2）（x+3）（x2+5x﹣1）．按照上面介紹的方法對下列多項式分解因式：（1）（x2+x﹣4）（x2+x+3）+10；（2）（x+1）（x+2）（x+3）（x+6）+x2；（3）（x+y﹣2xy）（x+y﹣2）+（xy﹣1）2．【變式10-2】（2019春?邗江區(qū)校級期中）對于形如x2+2ax+a2這樣的二次三項式，可以用公式法將它分解成（x+a）2的形式．但對于二次三項式x2+2ax﹣3a2，就不能直接運用公式了．此時，我們可以在二次三項式x2+2ax﹣3a2中