基于偏微分方程的數(shù)字圖像處理方法

基于偏微分方程的數(shù)字圖像處理方法

近年來，離散度法（pde）在數(shù)字圖像處理中的應(yīng)用非常廣泛。本文第1節(jié)主要介紹了偏微分方程的產(chǎn)生與發(fā)展;第2節(jié)主要介紹了數(shù)字圖像處理中偏微分方程建立的過程,其中圖像去噪模型的建立來源于物理學(xué)中的擴(kuò)散現(xiàn)象,測地輪廓線模型的建立來源于光程最小原理,故而把這兩個模型單獨(dú)列為2.1節(jié)受自然現(xiàn)象啟發(fā)建立的偏微分方程模型;第3節(jié)主要介紹了人為構(gòu)造最小化某一能量泛函而建立的PDE模型,詳細(xì)地分析了圖像復(fù)原模型、圖像分割模型、圖像增強(qiáng)模型;第4節(jié)對全文做出了總結(jié)和展望。1偏離微分方程的總結(jié)1.1弦振動方程的求解自然界中的許多物理規(guī)律通常用數(shù)學(xué)語言描述,偏微分方程反映了有關(guān)的未知變量及其關(guān)于時間變量的導(dǎo)數(shù)和關(guān)于空間變量的導(dǎo)數(shù)之間的制約關(guān)系。早在18世紀(jì)初,人們已經(jīng)將弦線振動的問題歸結(jié)為弦振動方程,并探討了它的解法,這是人們接觸到的第1個偏微分方程。隨后,人們又陸續(xù)了解了流體運(yùn)動、彈性體的平衡和振動、熱傳導(dǎo)、電磁相互作用、原子核和電子的相互作用、化學(xué)反應(yīng)過程等自然現(xiàn)象的基本規(guī)律,并把它們寫成偏微分方程的形式,偏微分方程理論也逐漸發(fā)展、完善。在圖像處理領(lǐng)域,同樣可以采用偏微分方程方法。它的基本思想是在一個偏微分方程模型中進(jìn)化一幅圖像,一條曲線或一個曲面,通過求解這個偏微分方程來得到期望的結(jié)果。1.2階偏微分方程技術(shù)一個偏微分方程對變量求導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)(包括混合導(dǎo)數(shù))稱為偏微分方程的階數(shù),數(shù)字圖像處理和其他工程技術(shù)中都主要用到二階偏微分方程。一般的二階線性偏微分方程可以寫成如下的形式:式(1)經(jīng)過變換可以令混合導(dǎo)項(xiàng)a12為0。當(dāng)a12=0時,若a11、a22同號,則為橢圓形偏微分方程。若a11、a22異號,則為雙曲型偏微分方程,若a11、a22其中一個為0,則為拋物型偏微分方程。1.3音樂初始形態(tài)以弦振動為例,以u表示弦的橫向位移,設(shè)弦被固定在x=a和x=b兩個端點(diǎn)處,那么有:式(2)為邊界條件,又設(shè)定在開始狀態(tài)t=0時,弦的初始形態(tài)為f(x),那么有:式(3)為初始條件。1.4基于化微分方程的偏微分方程有限差分法解偏微分方程的主要思想是化微分為差分,化微分方程為差分方程。根據(jù)上述各式,化微分方程為差分方程得:整理得:這樣再根據(jù)偏微分方程的初始條件和邊界條件經(jīng)過迭代,可以把每個時間層的數(shù)據(jù)都求解出來。在數(shù)字圖像處理編寫程序部分會用到迭代的方法求偏微分方程的數(shù)值解。1.5圖像去噪機(jī)理應(yīng)用偏微分方程處理圖像的優(yōu)點(diǎn)很多。本文突出體現(xiàn)了PDE在圖像處理中可以達(dá)到“雙重功效”的這一優(yōu)點(diǎn)。例如應(yīng)用PDE方法對圖像進(jìn)行去噪,在圖像去噪的同時可以較好地保護(hù)圖像的邊緣。又如PDE增強(qiáng)模型,利用PDE方法可以在圖像增強(qiáng)的同時去除噪聲,而傳統(tǒng)圖像處理的做法是把圖像增強(qiáng)和去除噪聲分開進(jìn)行。PDE方法處理圖像的效果是傳統(tǒng)方法處理圖像的效果所達(dá)不到的。這些在后文將詳細(xì)論及。2圖像中的偏微分方程構(gòu)建過程2.1采用自然現(xiàn)象[4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17和18]進(jìn)行證明2.1.1圖像的擴(kuò)散去噪物理學(xué)中的擴(kuò)散現(xiàn)象可應(yīng)用到數(shù)字圖像處理領(lǐng)域當(dāng)中。擴(kuò)散方程如下:如果把式(7)中的u換成數(shù)字圖像中的灰度值I,便得到圖像中的擴(kuò)散如下式:在傳統(tǒng)數(shù)字圖像處理中,去除噪聲的同時必然導(dǎo)致邊緣模糊。但是,利用偏微分方程處理圖像在去除噪聲的同時還可以保留圖像的邊緣信息。Perona和Malik于1990年提出將式(8)中的常數(shù)a換成變量g|ue0baI|,得:在擴(kuò)散去噪模型中,MichielSchaap提出了一種新的方法,該方法的思想是令擴(kuò)散后的圖像與原圖像按比例進(jìn)行融合,生成處理后的圖像,如下式:Iout=Tρ(S)Iin+(1-Tρ(S))Ieed式中,Iin,Ieed,Iout分別表示輸入的原始圖像、擴(kuò)散后的圖像、最后輸出的圖像。Tρ(S)為比例系數(shù)。國內(nèi)學(xué)者劉桂蘭基于經(jīng)典的PM模型,也提出了一類帶時滯非線性PDE模型在圖像去噪中的應(yīng)用。該模型與以往圖像去噪模型不同,以2階擴(kuò)散張量代替經(jīng)典的各向異性擴(kuò)散系數(shù),對經(jīng)典PM模型做出了改進(jìn)。2.1.2基于積分式lr的圖像分割算法光學(xué)中的Fermat原理指出,光在不均勻介質(zhì)中傳播時,“光線”不是直線,而是按最短光程的方式確定其路徑。如果介質(zhì)的折射率為n(x,y,z),那么光線從A點(diǎn)傳播到B點(diǎn)的實(shí)際路徑應(yīng)滿足積分式LR達(dá)到最小值時的從A點(diǎn)到B點(diǎn)的路徑就是光線傳播的實(shí)際路徑。這一想法完全可以應(yīng)用到圖像分割中。如測地線輪廓模型需要確定一幅圖像的邊緣,一幅圖像中的邊緣一定是沿著某條封閉曲線積分取得最大值時的位置,這條封閉的曲線就是圖像的邊緣。具體可用數(shù)學(xué)公式表達(dá)為:式中,L為泛函,g為單調(diào)減函數(shù),L最小時的l便是圖像的邊緣,確定l的方法是變分法,后文將做出說明。描述l的變化可用梯度下降流,如下式:2.2基于變分法的數(shù)字圖像處理人為構(gòu)造某一能量泛函而后建立的模型占大多數(shù)。它的要領(lǐng)在于人為構(gòu)造一個能量泛函,最小化這個人為構(gòu)造的能量泛函,可以達(dá)到實(shí)現(xiàn)數(shù)字圖像處理的目的,如圖像復(fù)原、圖像分割。最小化能量泛函后利用變分法得出的偏微分方程模型即數(shù)字圖像處理的核心。后文所述的PDE模型都是人為構(gòu)造某一能量泛函建立的模型。2.3ess-ped模型由最小化能量泛函推出偏微分方程中的重要一步是應(yīng)用Euler方程,以下說明用微擾法推出Euler方程,以及梯度向量流的引入。y為泛函,在y處取得極小值?，F(xiàn)考慮對最優(yōu)解做一個v(x)的微擾,v(x)滿足v(a)=0,v(b)=0,v(x)具備任意性。那么根據(jù)Tayor展開,下式成立:由于微擾很小,式(14)對任意的v,J值不變,有:式(15)是著名的Euler方程,Euler方程的推出還有其他方法,讀者可參見文獻(xiàn)中P190-192。對于二維情況,用類似的方法得出對應(yīng)的Euler方程為:對于式(15)采用數(shù)值解法的算法復(fù)雜性較高,于是必須采用梯度下降流方法。以一維泛函為例,梯度下降流的主要思想在于人為地增加一個時間變量t,使y不斷隨時間變化,變化的結(jié)果是使J(y)不斷地減小。最終J(y)趨于穩(wěn)定,此時的J(y)就是極小值,就是的解。梯度下降流方法的好處在于初始的y可以取一個滿足條件的任意函數(shù)。以下說明梯度下降流具體實(shí)施過程,微擾項(xiàng)v(x,t)可作為是由y(x,t)從t到t+Δt所產(chǎn)生的改變量,即,代入式(14)得:為確保J(y,t+Δt)不斷減小,令:被積函數(shù)就會始終小于或等于0,達(dá)到了目的。式(18)就是梯度下降流。當(dāng)y穩(wěn)定后,,這時的y便是的解。類似地,對于二維變分問題u=u(x,y),梯度下降流為:為下文PDE圖像復(fù)原模型做準(zhǔn)備,現(xiàn)討論時的Euler方程和梯度下降流。根據(jù)式(16),得出Euler方程為:根據(jù)式(19)得梯度下降流為:當(dāng)ρ(r)=r時,梯度下降流為:當(dāng)ρ(r)=r2時,忽略常數(shù)因子,得:3pde模型在數(shù)據(jù)處理中的分類、簡要分析和分析3.1圖像的原位預(yù)處理一幅圖像在成像的過程中,往往會有相對運(yùn)動和成像系統(tǒng)的噪聲使圖像模糊。因此需要對圖像進(jìn)行復(fù)原。圖像復(fù)原的PDE方法難點(diǎn)在于最小化能量泛函的確定。3.1.1圖像重建模型的構(gòu)建過程3.1.2成像系統(tǒng)的散散性由上文所述,圖像復(fù)原的能量泛函可表示為:hd*u=u0為u的約束條件。其中hd為成像系統(tǒng)的彌散函數(shù),u0為成像系統(tǒng)的輸出圖像。式(24)推出的Euler-Langrange方程為:式(25)在中存在的點(diǎn),式(25)具有病態(tài)性質(zhì),對其進(jìn)行正則化得經(jīng)過修正的Euler-Langrange方程為:式(26)的梯度下降流為:3.1.3熱傳導(dǎo)模型國內(nèi)學(xué)者近些年來也提出過圖像復(fù)原的新模型,應(yīng)用到圖像復(fù)原中也取得了良好的效果。選取作為能量泛函,二階導(dǎo)數(shù)相比一階導(dǎo)數(shù)對邊緣信息更敏感,對噪聲的平滑速度更快,取得了更好的效果。所建立的能量泛函為:約束條件為式(28)推出的Euler-Langrange方程為:國內(nèi)學(xué)者王朔中等人基于熱傳導(dǎo)模型建立了PDE修復(fù)模型。該方法采用更為簡潔的數(shù)學(xué)表達(dá),能以較低的計(jì)算復(fù)雜度實(shí)現(xiàn)有效的圖像結(jié)構(gòu)層修復(fù)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方法適用于修復(fù)圖像中的小塊缺損和劃痕,消除可見水印等疊加成分。3.2幾何式蛇模型圖像分割的PDE方法大致可分為蛇模型方法、水平集方法和近年來提出的梯度向量流(GVF)方法。1987年,M.Kass提出了基于能量變分的活動輪廓模型(activecontourmodel),即蛇模型(snakemodel)。蛇模型可分為幾何式蛇模型和參數(shù)式蛇模型兩大類。幾何式蛇模型是Caselles和Malladi提出的,該模型基于曲線演化理論,用水平集方法實(shí)現(xiàn),它的演化過程是基于曲線的幾何度量參數(shù),如法向量、曲率等,如2.1.2節(jié)提到的GAC模型是經(jīng)典的幾何式蛇模型。參數(shù)式蛇模型是用一條參數(shù)曲線表示蛇模型的活動輪廓,通過最小化能量函數(shù)使得該曲線在圖像上移動,并最終收縮到待分割的目標(biāo)邊界上。其優(yōu)點(diǎn)是運(yùn)算速度快,但由于模型表示是采用參數(shù)化曲線,當(dāng)演化曲線的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化時,參數(shù)無法自適應(yīng)變化。水平集方法是由Osher和Sethian于1988年提出的,這是一種基于幾何形變的曲線演化模型。它是將輪廓曲線嵌入到一個高維函數(shù)中,用某個水平集(通常是零水平集)隱式表示,演化過程中不同拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的水平集都對應(yīng)同一個水平集函數(shù),因此,可自動控制拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的變化。3.2.1圖像初始位置的選取及相關(guān)模型圖像分割的PDE方法的主要思想是首先建立一個初始曲線,再設(shè)置曲線的推動力,曲線在推動力的作用下運(yùn)動,最后曲線停止處就是圖像的邊緣。一個圖像分割的PDE模型的3個主要指標(biāo)是(1)曲線能否進(jìn)入到圖像的深陷區(qū)域;(2)初始狀態(tài)下曲線位置的選取是否靈活;(3)PDE數(shù)值解法的算法復(fù)雜性。根據(jù)這3個指標(biāo)評價PDE模型,傳統(tǒng)的Snake模型存在著兩個嚴(yán)重的缺點(diǎn),首先是曲線無法進(jìn)入圖像深陷區(qū)域,其次是初始曲線必須靠近圖像輪廓邊緣。對此Xu等在1997年提出梯度矢量流主動輪廓模型(GVF),也是目前應(yīng)用最廣泛的模型,GVF模型對于前兩個指標(biāo)都有很好的效果,但是算法復(fù)雜性很高。國內(nèi)一些學(xué)者針對以上3個指標(biāo)的優(yōu)化也提出了一些新模型。3.2.2eexv值(s))表示曲線的內(nèi)部能量(內(nèi)力)。它的第1項(xiàng)控制曲線的弧長,第2項(xiàng)控制曲線的曲率,保證曲線的光滑。α(s)、β(s)一般設(shè)置為常數(shù)。有學(xué)者認(rèn)為第2項(xiàng)不必單獨(dú)提出,根據(jù)曲率運(yùn)動演化性質(zhì),在最小化曲線弧長的過程中,也將使曲線逐漸光滑。Eext(v(s))=Eim(v(s))+Econ(v(s)),Eext(v(s))表示曲線的外部能量(外力)。Eim(v(s))表示圖像能量,Econ(v(s))表示約束力,通常不考慮。其梯度下降流為:3.2.3基于深度凹陷圖像的拉普拉斯算子式中,μ是調(diào)節(jié)系數(shù),為常數(shù),噪聲越高時,μ的取值越大。根據(jù)Euler方程,E取最小值時,滿足以下偏微分方程組:如圖2所示,圖2(a)為用傳統(tǒng)方法分割圖像的效果,圖2(b)為利用GVF場分割圖像的效果。可見對于深度凹陷圖像GVF方法明顯好于傳統(tǒng)方法。式(33)的第1項(xiàng)為擴(kuò)散項(xiàng),是拉普拉斯算子。國內(nèi)學(xué)者王宇等人認(rèn)為將擴(kuò)散項(xiàng)改為得到了更好的收斂效果。由函數(shù)性質(zhì)可知,在圖像梯度大的地方,擴(kuò)散較弱;在圖像梯度較小的地方,擴(kuò)散較強(qiáng)。這樣就可以有效解決弱邊界泄露問題。3.3數(shù)字圖像處理中pde模型的建立對于灰度圖像而言,圖像增強(qiáng)就是圖像灰度值反差增強(qiáng)。傳統(tǒng)數(shù)字圖像處理方法包括累計(jì)頻率求轉(zhuǎn)換函數(shù)方法和分段線性拉伸的直方圖均衡化方法。只從圖像增強(qiáng)考慮,PDE方法會和累計(jì)頻率求轉(zhuǎn)換函數(shù)方法得到相同的結(jié)論。但是,PDE在圖像增強(qiáng)的同時也可實(shí)現(xiàn)對圖像去噪。這便是PDE方法的優(yōu)勢。圖像增強(qiáng)的PDE方法需最小化以下能量泛函:最小化E(I)的目的在于最小化第1項(xiàng)和最大化第2項(xiàng)。最小化第1項(xiàng)的目的是使增強(qiáng)后的圖像整體灰度值接近于,最大化第2項(xiàng)的目的是增強(qiáng)后的圖像與原圖像相比有較大反差。這兩個共同的效果就是圖像增強(qiáng)。根據(jù)Euler方程,得出最小化式(34)能量泛函的梯度下降流為:式中,AΩ表示圖像像素點(diǎn)總數(shù),A(I(x,y,t))為圖像中灰度值大于I(x,y,t)的個數(shù)。穩(wěn)定后,式(35)左邊為0。得假定Dbmin=0,式(36)與傳統(tǒng)圖像增強(qiáng)的方法有相同的結(jié)果。但這不代表PDE方法無實(shí)際意義,后文可見。式(35)可以整理成:式中,[(Dbmax-Dbmin)H(I(x,y,t))+Dmin]為采用累積頻率求轉(zhuǎn)換函數(shù)方法得到增強(qiáng)后的圖像。式(37)可以歸結(jié)為下式:式中,f(I(x,y,t))表示用戶指定的任何灰度變換函數(shù),對式(38)做簡單的行為分析表明,當(dāng)f(·)大于I(x,y,t)時,I(x,y,t)將增大,當(dāng)f(·)小于I(x,y,t)時,I(x,y,t)將減小?？梢?I(x,y,t)將“跟隨”f(I(x,y,t)),最終將等于f(I(x,y,t))。人們建立PDE模型時基于以上常常再添加一個去除噪聲項(xiàng),所以PDE方法的最大優(yōu)點(diǎn)在于圖像增強(qiáng)的同時可以去除噪聲。如以下模型:式(39)的梯度下降流可以同時實(shí)現(xiàn)對圖像的增強(qiáng)和去噪,參數(shù)α的選取用以平衡圖像去噪和圖像增強(qiáng)的比重。傳統(tǒng)圖像增強(qiáng)的方法是先增強(qiáng)后去噪或者先去噪后增強(qiáng)。先增強(qiáng)后去噪的做法會使噪聲大大增強(qiáng),后續(xù)的去噪難以奏效。先去噪后增強(qiáng)難以保護(hù)弱的邊緣,原有的弱邊緣不能得到有效的增強(qiáng)。這兩種傳統(tǒng)的圖像增強(qiáng)方法都不可能達(dá)到PDE方法的