第七章偏導數(shù)與全微分

第七章偏導數(shù)與全微分1第1頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月xo-RRR-R2第2頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月（2）鄰域：以點為園心，以為半徑的開園域稱為點的鄰域，即3第3頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月（3）平面區(qū)域：由一條或幾條連續(xù)曲線所圍的平面的一部分稱為平面區(qū)域記為D.圍成區(qū)域的曲線稱為邊界，連同邊界在內的區(qū)域稱為閉區(qū)域，不包括邊界的區(qū)域稱為開區(qū)域；如果可延伸到無窮遠處，就稱為無界區(qū)域，否則稱為有界區(qū)域.我們這里討論的區(qū)域是一種特殊的區(qū)域：任何平行于X軸或Y軸的直線與該平面區(qū)域的交點不多于兩點，但容許邊界曲線包含平行坐標軸的線段.例如：是無界開區(qū)域4第4頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月是有界閉區(qū)域.5第5頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月2、多元函數(shù)的定義二元函數(shù)的定義域是平面點集，通常用平面區(qū)域D表示.6第6頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月107第7頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月對應關系的求法同一元函數(shù)8第8頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月9第9頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月3、二元函數(shù)的幾何意義10第10頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月11第11頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月注：二元函數(shù)的極限要求點Q(x,y)以任何方式，任何方向，任何路徑趨向于時，均有若能找到兩條不同的路徑使沿此兩路徑時，f(x,y)具有不同的4.二元函數(shù)的極限12第12頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月例4.若有(C),則極限存在.當點沿無窮條路徑趨向定點時,有分析:多元極限是全面極限,動點趨于定點13第13頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月方式應是任意方向任意路徑.同時取極限過程中各變量變化是同步的,與累次極限沒有關系,由此(C)成立,即連續(xù)必有極限.5.二元函數(shù)連續(xù)性定義：14第14頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月4.閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的有界性定理介值定理、最大最小值定理、零值定理。6.二元函數(shù)偏導數(shù)定義15第15頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月同樣可定義關于y的偏導數(shù):注：16第16頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月17第17頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月7．二元函數(shù)的二階偏導數(shù)18第18頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月12若題設條件告之函數(shù)具有二階連續(xù)偏導數(shù)，則意味著可交換混合偏導數(shù)的求導次序，可將結果整理為最簡形式。8.二元函數(shù)的全微分:19第19頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月20第20頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月21第21頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月三元函數(shù)的全微分:多元函數(shù)的全微分等于各自變量偏微分的和.22第22頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月12349.連續(xù)、偏導數(shù)存在與可微之間的關系混合偏導數(shù)相等.23第23頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月24第24頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月二、基本問題及解法問題(一):一般函數(shù)偏導數(shù)與全微分的計算★25第25頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月26第26頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.已知則（）分析：如果先求導再代值，無法將代入，所以應按定義去做。27第27頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月故應選（B）28第28頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月29第29頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月解：（1）30第30頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月31第31頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月搞清復合關系，哪是自變量、中間變量，通常畫變量關系圖，再按變量關系圖的路徑求導。從應變量到自變量有多少條路徑，求導時就有多少項，每一項均為函數(shù)對中間變量的偏導數(shù)與中間變量對自變量的偏導數(shù)之積。注：有些復雜的函數(shù)也可引進中間變量畫出變量關系圖后再求導。問題(二):復合函數(shù)偏導數(shù)求法★32第32頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月解:變量關系如圖:33第33頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月34第34頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月35第35頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月36第36頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月“抽象”的復合函數(shù)偏導數(shù)的求法對抽象的二元復合函數(shù)求偏導數(shù)時，有的偏導數(shù)無法法具體求出只能保留“抽象”的形式。視情況可畫變量關系圖，也可不畫變量關系圖。37第37頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.設可導，則分析：應填2Z38第38頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月另解：39第39頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.設函數(shù)解：40第40頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月由三元方程F(x,y,z)=0所確定的z是x,y的函數(shù)z=f(x,y)稱二元隱函數(shù)。(因變量不能單獨出現(xiàn)在等號一邊);問題(三)：多元隱函數(shù)偏導數(shù)的求法★41第41頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月42第42頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月43第43頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月44第44頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月兩邊求導法:公式法：45第45頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月問題(四):求二元函數(shù)的極值(1)定義：46第46頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月(3)極值存在的充分條件：47第47頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月步驟48第48頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月條件極值及解法求條件極值有兩種方法：(1)化為無條件極值49第49頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)拉格朗日乘數(shù)法——求極值步驟：123無須判定，直接根據(jù)實際問題下結論50第50頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月51第51頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月52第52頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月例2.（條件極值）某廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，其銷售單價分別為10萬元和9萬元，生產(chǎn)x件甲種產(chǎn)品和y件乙種產(chǎn)品的總成本為又已知兩種產(chǎn)品的總產(chǎn)量為100件，求企業(yè)獲得最大利潤時,兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量各是多少?53第53頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月54第54頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月答:企業(yè)獲得最大利潤時,兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量分別為70件和30件.55第55頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.某公司可通過電臺，報紙兩種方式做銷售某種商品的廣告，根據(jù)統(tǒng)計資料，銷售收入R（萬元）與電臺廣告費（萬元）及報紙廣告費用(萬元)之間有關系式：(1)在廣告費用不限的情況下,求最優(yōu)廣告策略;解:（1）無條件極值利潤函數(shù)56第56頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月(2)求條件極值——拉格朗日乘數(shù)法注：因駐點唯一，且實際問題存在最大利潤，故當電臺廣告費為0.75萬元，報紙廣告費為1.25萬元時利潤最大此為最優(yōu)廣告策略.以此代替檢驗。構造拉格朗日函數(shù)：57第57頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月解得因此將廣告費1.5萬元全部用于報紙廣告，可使利潤最大.58第58頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月三、課后練習59第59頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月60第60頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月61第61頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月11.已知函數(shù)設12.則（B）62第62頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月13.已知的全微分為則的取值分別為（B）（A）－2和2；（B）2和－2；（C）－3和3；（D）3和－3.分析；由全微分存在，知偏導數(shù)存且連續(xù)，從兩個二階混合偏導數(shù)相等，即，由此可而確定由題設知63第63頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月故應選（B）64第64頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月計算。

14.設且解：變量關系如圖65第65頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月于是66第66頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月16.設所確定的函數(shù)，且是可微的，求67第67頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月解：變量關系如圖：由對x求導，得……（1）再由兩邊對x求導，得出（2）68第68頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月將（2）代入（1）得：整理解出：17.設69第69頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月提示：18.設70第70頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月提示：可引進中間變量，也可直接求導.令71第71頁，課件共74頁，創(chuàng)作于2023年2月19.設提示：先分別求出，再代入化簡.20.設由方程確定了函數(shù)，則（D