第三章 集合代數

第三章集合代數第1頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月第一節(jié)集合的基本概念一、集合的概念與表示[注]：a)集合的兩個要素：元素互異；性質確定。b)常見集合：N,Z,Q,R,C;

特殊集合：，E（U）。定義’:具有共同性質的一些事物的全體稱為集合。定義:一些不同的確定的對象的全體稱為集合。1.集合的基本概念第2頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月2.集合的表示：描述法（性質法）：給出一般元素所具有的性質，如列舉法（枚舉法）：對有限可列的集合進行表示，如第3頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月a)包含：如果集合A中的每一個元素都是集合B中的元素，則稱A是B的子集，記作：A?B或B?A如果A不是B的子集，即在A中至少有一個元素不屬于B，稱B不包含A，記作：B?A或A?B3、集合間的關系第4頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月b)相等：如果兩個集合A和B的元素完全相同，則稱這兩個集合相等，記作A＝B。例如：A＝｛1，2，3，4｝B＝｛3，1，4，2｝C＝｛x|x是英文字母且x是元音｝

D＝｛a，e，i，o，u｝顯然有A＝B，C＝D第5頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月定義設A是有限集，由A的所有子集作為元素而構成的集合稱為A的冪集，記作ρ(A)，即ρ(A)＝｛X|X?A｝在A的所有子集中，A和

這兩個子集又叫平凡子集。4、冪集例如：A＝｛1，2，3｝，則ρ(A)={

,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}第6頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月5、集合的階及其應用1）定義：集合A中包含的元素個數稱為A的階（基數、元數），記為。b）若有限，稱A為有限集，為無限，稱為無限集?！咀ⅰ浚篴）是反映集合A“大小”的數字特征。2）定理設A是有限集，|A|=n，則A的冪集ρ(A)的階為2n。第7頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月包含排斥定理設A、B為有限集合，|A|、|B|為其基數，則|A∪B|＝|A|+|B|-|A∩B|【注】：1）推廣：設A，B，C為有限集合，則【注】:對任意集合A,,A∈ρ(A),當A≠

時,則|ρ(A)|≥2，當A＝時,|ρ(A)|＝1第8頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月

2）設為n個有限集合，則例1：15名居民中，有12名工人，5名干部，3名既是工人又是干部，求既不是工人又不是干部的居民人數。第9頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月例2：假設某班有20名學生，其中有10人英語成績?yōu)閮?yōu)，有8人數學成績?yōu)閮?yōu)，又知有6人英語和數學成績都為優(yōu)。問兩門課都不為優(yōu)的學生有幾名？解設A,B分別表示英語成績和數學成績是優(yōu)的學生組成的集合，因此兩門課成績都是優(yōu)的學生組成的集合是A∩B。由題意可知|A|＝10|B|＝8|A∩B|＝6第10頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月由包含排斥原理可得：|A∪B|＝|A|+|B|-|A∩B|＝10+8-6=12所以兩門課都不是優(yōu)的學生數為：20-|A∪B|＝8。第11頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月1、集合的運算

用文氏圖表示集合之間的并運算：

a)

并運算二、集合的運算

第12頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月b)交運算[注]：若，則稱A，B是分離的。

用文氏圖表示為：第13頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月c)

差運算例：E={1,2,3,a,b,c},A={1,2,a,b},B={2,3,b,c}則A-B={1,a},B-A={3,c}[注](1)差運算不滿足交換律。(2)

第14頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月d)補運算AU[注]：用文氏圖表示為：第15頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月e)對稱差運算用文氏圖表示為：第16頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月三、集合恒等式（1）交換律：A∪B＝B∪AA∩B＝B∩A（2）結合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)(A∩B)∩C＝A∩(B∩C)（3）分配律：(A∪B)∩C＝(A∩C)∪(B∩C)(A∩B)∪C＝(A∪C)∩(B∪C)（4）同一律：A∪

＝AA∩U＝A（5）互補律：A∪～A＝UA∩～A＝

第17頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月（6）零一律：A∪U＝UA∩

＝

（7）冪等律：A∪A＝AA∩A＝A（8）吸收律：A∪(A∩B)＝AA∩(A∪B)＝A（9）雙重否定律：～(～A)＝A（10）狄·摩根定律：～(A∪B)=～A∩～B

～(A∩B)=～A∪～B

第18頁，課件共20頁，創(chuàng)作于2023年2月【注】1、對DeMorgan’sLaw的推廣。a)b)設為n個集合，則2、對吸收律及