第三章 不定積分

第三章不定積分第1頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月§1不定積分的概念與基本積分公式第三章不定積分第2頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在第二章我們研究了已知f，如何求f

的導(dǎo)數(shù)f

的表達(dá)式，得到了一些計(jì)算法則，例如：(f+g)=f+g,(fg)

=fg+fg,(f[

])

=f[

]

這些計(jì)算方法加上基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，我們可以解決初等函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題，即是，若f

為初等函數(shù)，f

的表達(dá)式能求出.第3頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月我們現(xiàn)在來(lái)研究第二章求導(dǎo)問(wèn)題的逆問(wèn)題。問(wèn)題：在已知f

的表達(dá)式時(shí)，f的表達(dá)式是什么形式呢？即是，已知函數(shù)f

的表達(dá)式，求f

的原函數(shù)是什么。第4頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月.

基本積分表

換元積分法

分部積分法

有理函數(shù)積分本章主要內(nèi)容：第5頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

例如，在區(qū)間(-

,+

)內(nèi)，因?yàn)?sinx)

cosx，所以sinx是cosx的一個(gè)原函數(shù)。提問(wèn)：

cosx還有其它的原函數(shù)嗎？提示：

cosx的原函數(shù)還有sinx+C。

定義1

如果在區(qū)間I

上，可導(dǎo)函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)為

f(x)，即對(duì)任一x

I

，都有F

(x)

f(x)或dF(x)

f(x)dx，則稱函數(shù)F(x)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I

上的原函數(shù)。

原函數(shù)概念第6頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月兩點(diǎn)說(shuō)明：2、f(x)的任意兩個(gè)原函數(shù)之間只差一個(gè)常數(shù)，即如果

(x)和F(x)都是f(x)的原函數(shù)，則

(x)

F(x)

C(C為某個(gè)常數(shù))。1、如果F(x)是f(x)的原函數(shù)，那么F(x)

C都是f(x)的原函數(shù)，其中C是任意常數(shù)。

定義1

如果在區(qū)間I

上，可導(dǎo)函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)為

f(x)，即對(duì)任一x

I

，都有F

(x)

f(x)或dF(x)

f(x)dx，則稱函數(shù)F(x)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I

上的原函數(shù)。

原函數(shù)概念第7頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月不定積分的概念1.定義：設(shè)I為某區(qū)間，稱f(x)在I上的原函數(shù)的全體為f(x)在I上的不定積分，記作積分號(hào)被積函數(shù)積分變量注1.(3)式中積分號(hào)下的f(x)dx,可看作是原函數(shù)的微分。(3)第8頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理1.

設(shè)F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù)，則(4)其中C為任意常數(shù)0x0yxy=F(x)+C1y=F(x)+C2y=F(x)+C3y=F(x)+C4第9頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

例1．

例2．

例3．

解：第10頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月-1O1xyy=x2

函數(shù)f(x)的原函數(shù)的圖形稱為f(x)的積分曲線。C1y=x2+C1C2y=x2+C2C3y=x2+C3

函數(shù)f(x)的積分曲線也有無(wú)限多條。函數(shù)f(x)的不定積分表示f(x)的一簇積分曲線，而f(x)正是積分曲線的斜率。三、不定積分的幾何意義第11頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

例4．求過(guò)點(diǎn)(1,3)，且其切線斜率為2x的曲線方程。解：設(shè)所求的曲線方程為y

f(x)，則y

f

(x)

2x，即f(x)是2x

的一個(gè)原函數(shù)。

因?yàn)樗笄€通過(guò)點(diǎn)(1,3)，故3

1

C，C

2。于是所求曲線方程為y

x2

2。-2-1O12x-2-112yy

x2+2y

x2(1,3)

．所以y=f(x)

x2

C。第12頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例5：解：容易看到兩邊除以3，得求導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)yy=x2xyx因此,第13頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.不定積分的性質(zhì)：1)2)3)4)第14頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.基本積分公式積分公式導(dǎo)數(shù)公式1

2

3

1)2)3)第15頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月5)6)7)5

6

7

4

4)第16頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月10)11)10

11

9)9

8)8

第17頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4.積分公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用例1.

求解:第18頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2.求解:第19頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例3.求解:第20頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例4.求f(x)=x2+1,x<0.解:F(x)=第21頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月而要使F(x)成為f(x)在R上的原函數(shù)，必須F(x)連續(xù)，從而C1＝0，C2＝1，因此滿足條件的函數(shù)為F(x)=故第22頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例5．例6．例7．第23頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例8．第24頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)：習(xí)題五：2(1,3,5,7)例9．第25頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例10．例11．例12．例13．例14．第26頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例15．例16．第27頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

解：因?yàn)榭偝杀臼强偝杀咀兓蕐

的原函數(shù)，所以

已知當(dāng)x=0時(shí)，y=1000，

例17．某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每日生產(chǎn)的產(chǎn)品的總成成本為1000元，求總成本與日產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系。因此有C=1000，.第28頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月上頁(yè)下頁(yè)結(jié)束返回首頁(yè)鈴第三章不定積分§2換元積分法與分部積分法第29頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第三章不定積分§2換元積分法與分部積分法第30頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月但是解決方法利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量.令一問(wèn)題的提出我們知道第31頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月令

利用基本積分表與積分的性質(zhì)，所能計(jì)算的不定積分是非常有限的；我們可以把復(fù)合函數(shù)的微分法反過(guò)來(lái)用于求不定積分，利用中間變量的代換，得到復(fù)合函數(shù)的積分法，稱為換元積分法。目的是去掉根式。第32頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月若則設(shè)（且可微，根據(jù)復(fù)合函數(shù)微分法，）于是可得下述定理二第一類換元法第33頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注意使用此公式的關(guān)鍵在于將第一類換元公式（湊微分法）定理1第一類換元法又稱為湊微分法。第34頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解決問(wèn)題的關(guān)鍵在哪里呢？再看上式的特點(diǎn)外部函數(shù)的導(dǎo)數(shù)中間變量u中間變量u的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)得到的函數(shù)是兩個(gè)因子的乘積外部函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

中間變量的導(dǎo)數(shù)。如果從被積函數(shù)中你能看出這種形式，問(wèn)題的答案就出來(lái)了。第35頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1.求解：函數(shù)3x2cosx3看上去象某復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)而得：cosx3

3x2sinu的導(dǎo)數(shù)中間變量u中間變量u的導(dǎo)數(shù)因此猜測(cè)sinx3是一個(gè)原函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)驗(yàn)證所以第36頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月使用這種方法的基本想法從被積函數(shù)中找到一個(gè)作中間變量的函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)是作為一個(gè)因子出現(xiàn)的。這個(gè)想法在相差一個(gè)常數(shù)因子時(shí)也可以用。使用這種方法要求想象出復(fù)合函數(shù)的形式。第37頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2.解：觀察中間變量u=x2+1但u=x2+1的導(dǎo)數(shù)為u

=2x在被積函數(shù)中添加2個(gè)因子u因此第38頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月?lián)Q元法u=

(x)第39頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例3.解:uudu第40頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月重算一遍第41頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例4.解：能想出原函數(shù)的形式嗎？記得這個(gè)公式嗎？如何用這個(gè)公式？第42頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例5.求sin2xdx解：第43頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例8.解：第44頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例9.解：第45頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例3

求解第46頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例4

求解熟練以后就不需要進(jìn)行轉(zhuǎn)化了第47頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例4

求解第48頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例5

求解第49頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例6求解例7解正弦余弦三角函數(shù)積分偶次冪降冪齊次冪拆開放在微分號(hào)后面。第50頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

解例8

求第51頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例9求第52頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例10

求解第53頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例11求解說(shuō)明當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí)，拆開奇次項(xiàng)去湊微分.第54頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例12

求解利用三角學(xué)中的積化和差公式，得第55頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解類似地可推出例13

求第56頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例15．第57頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例17．當(dāng)a>0時(shí)，例16．第58頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例18．例19．例20．第59頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例21．例22．第60頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三第二類換元法第一類換元法是通過(guò)變量替換

將積分下面介紹的第二類換元法是通過(guò)變量替換將積分第61頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月證設(shè)為的原函數(shù),令則則有換元公式定理2第62頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第二類積分換元法第63頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例13

求解1三角代換第64頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例14

求解令第65頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例15

求解令注三角代換的目的是化掉根式.第66頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例16

求解令2根式代換考慮到被積函數(shù)中的根號(hào)是困難所在，故第67頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式時(shí)，可采用令（其中為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)）例17

求解令第68頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3其他形式代換注1

積分中為了化掉根式除采用上述代換外還可用雙曲代換.也可以化掉根式

中,令第69頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月注2倒數(shù)代換

也是常用的代換之一

例18

求令解第70頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例19

求解令分母的次冪太高第71頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第72頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月基本積分表續(xù)第73頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第74頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月考慮積分解決思路利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則.分部積分公式四分部積分法第75頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月分部積分公式

下面利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則，得出求積分的基本方法——分部積分法.對(duì)此不等式兩邊求不定積分即第76頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月分部積分公式：

關(guān)鍵：恰當(dāng)選取u和確定v.如何選取u:(LIATE法)L-----對(duì)數(shù)函數(shù)I-----反三角函數(shù)A-----代數(shù)函數(shù)T-----三角函數(shù)E-----指數(shù)函數(shù)根據(jù)LIATE法，f(x)與g(x)誰(shuí)排在LIATE這一字母表前面就選誰(shuí)為u.即若選f(x)為u,則g(x)dx=dv。v=∫g(x)dx、或v'=g(x).使用分部積分公式，若選f(x)=u,則v≠g(x)注：而v'=g(x).第77頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1

求積分解令如果令顯然，選擇不當(dāng)，積分更難進(jìn)行.第78頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

一般地，若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余)弦函數(shù)的乘積,就考慮設(shè)冪函數(shù)為,使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù))第79頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2

求積分解

若被積函數(shù)是冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積,就考慮設(shè)冪函數(shù)為v,使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù))第80頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例3

求積分解第81頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例4

求積分解

若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)為.第82頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例5

求積分解令

若被積函數(shù)是冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)反三角函數(shù)為u.第83頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例6

求積分解復(fù)原法在求不定積分時(shí)有著廣泛的應(yīng)用。第84頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例7

求積分解第85頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例8

求積分解用分部積分法，當(dāng)?shù)?6頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月在積分的過(guò)程中往往要兼用換元法與分部積分法。例9

求積分解第87頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月解兩邊同時(shí)對(duì)求導(dǎo),得第88頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例題與練習(xí)

練習(xí)1.求下列不定積分解：第89頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月常用解題技巧(Ⅰ)多次使用分部積分法則解：練習(xí)2.求不定積分例2.第90頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月常用解題技巧(Ⅱ)還原法例3.解：練習(xí)3：第91頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Ⅲ與換元法相結(jié)合練習(xí)4.求不定積分解：常用解題技巧第92頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)：5(2,4,6)例9．例10．例11．第93頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

解：因?yàn)榫毩?xí)：

例12．第94頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

解：因?yàn)?/p>

例13．第95頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí):用什么積分法求下列積分？第96頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月五小結(jié)兩類積分換元法：（一）湊微分（二）三角代換、根式代換、倒數(shù)代換三角代換常有下列規(guī)律可令可令可令第97頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月合理選擇，正確使用分部積分式注意復(fù)原分部積分

若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余)弦函數(shù)的乘積,就考慮設(shè)冪函數(shù)為,使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù))一般地，（1）（2）若被積函數(shù)是冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積,就考慮設(shè)冪函數(shù)為v,使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù))(4)若被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)乘積時(shí),二者皆可作為u,但作為u的函數(shù)的類型不變。(3)若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為u.第98頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月六思考與判斷題12第99頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月函數(shù)使用分部積分公式的要點(diǎn)是確定34中.第100頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第三章不定積分§3有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分第101頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月一問(wèn)題的提出怎么計(jì)算？關(guān)鍵是被積函數(shù)的裂項(xiàng)？（2）很顯然不能用湊微分和分部積分怎么辦？（3）去掉根號(hào)才能計(jì)算，怎樣去掉根號(hào)？第102頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù).二有理函數(shù)的積分(IntegrationofRationalFunction)有理函數(shù)的定義：第103頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月假定分子與分母之間沒(méi)有公因式這有理函數(shù)是真分式；這有理函數(shù)是假分式；

有理函數(shù)有以下性質(zhì)：1）利用多項(xiàng)式除法,假分式可以化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和.例如，我們可將化為多項(xiàng)式與真分式之和第104頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)真分式總可以分解成幾個(gè)最簡(jiǎn)式之和最簡(jiǎn)分式是下面兩種形式的分式第105頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（1）分母中若有因式，則分解后為3）有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：特殊地：分解后為第106頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（2）分母中若有因式，其中則分解后為特殊地：分解后為第107頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月便于求積分必須把真分式化為部分分式之和，同時(shí)要把上面的待定的常數(shù)確定，這種方法叫待定系數(shù)法例1第108頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例2通分以后比較分子得：第109頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1第110頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月代入特殊值來(lái)確定系數(shù)取取取并將值代入例2第111頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例3整理得第112頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例4

求積分解第113頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例5

求積分解第114頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例6

求積分解令第115頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第116頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月說(shuō)明將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出現(xiàn)三類情況：多項(xiàng)式；討論積分令第117頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月則記第118頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月這三類積分均可積出,且原函數(shù)都是初等函數(shù).結(jié)論有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).第119頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月我們也可以用代值確定法來(lái)得到最簡(jiǎn)分式，比如前面的例2，兩端去分母后得到第120頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例3整理得第121頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例4求積分

解由前面的裂項(xiàng)第122頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例5求積分

解由前面的裂項(xiàng)得第123頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月三角有理式的定義：

由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)稱之．一般記為二、三角函數(shù)有理式的積分第124頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月令（萬(wàn)能置換公式）第125頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例7

求積分解由萬(wàn)能置換公式第126頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第127頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例6求積分解由萬(wàn)能置換公式第128頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例7求積分解一直做下去，一定積出來(lái)，只是太麻煩。

由此可以看出，萬(wàn)能代換法不是最簡(jiǎn)方法，能不用盡量不用。第129頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例8

求積分解（一）第130頁(yè)，課件共151頁(yè)，創(chuàng)作于202