拉格朗日乘數(shù)法

§4條件極值教學(xué)目的：了解拉格朗日乘數(shù)法，學(xué)會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值.教學(xué)內(nèi)容：條件極值；拉格朗日乘數(shù)法.基本要求：了解拉格朗日乘數(shù)法的證明，掌握用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值的方法.較高要求：用條件極值的方法證明或構(gòu)造不等式.教學(xué)建議：本節(jié)的重點(diǎn)是用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值.要求學(xué)生熟練掌握.多個(gè)條件的的條件極值問(wèn)題，計(jì)算量較大，可布置少量習(xí)題.在解決很多問(wèn)題中，用條件極值的方法證明或構(gòu)造不等式，是個(gè)好方法.可推薦給較好學(xué)生.在許多極值問(wèn)題中，函數(shù)的自變量往往要受到一些條件的限制，比如，要設(shè)計(jì)一個(gè)容積為V的長(zhǎng)方體形開(kāi)口水箱，確定長(zhǎng)、寬和高，使水箱的表面積最小.設(shè)水箱的長(zhǎng)、寬、高分別為x,V,z，則水箱容積V=xyz焊制水箱用去的鋼板面積為 S(x,v，z)=2(xz+yz)+xy這實(shí)際上是求函數(shù)S(x,y,z)在V=xyz限制下的最小值問(wèn)題。這類附有條件限制的極值問(wèn)題稱為條件極值問(wèn)題，其一般形式是在條件中(x,x,…,x)=0,k=1,2,…，m,(m<n)限制下，求函數(shù)f(氣,x2,…,x〃)的極值條件極值與無(wú)條件極值的區(qū)別條件極值是限制在一個(gè)子流形上的極值，條件極值存在時(shí)無(wú)條件極值不一定存在，即使存在二者也不一定相等。例如，求馬鞍面z=x2-y2+1被平面XOZ平面所截的曲線上的最低點(diǎn)。請(qǐng)看這個(gè)問(wèn)題的幾何圖形(x31馬鞍面)從其幾何圖形可以看出整個(gè)馬鞍面沒(méi)有極值點(diǎn)，但限制在馬鞍面被平面XOZ平面所截的曲線上，有極小值1，這個(gè)極小值就稱為條件極值。二.條件極值點(diǎn)的必要條件設(shè)在約束條件中3,y)=0之下求函數(shù)乙=f3,y)的極值.當(dāng)滿足約束條件的點(diǎn)(％,y0)是函數(shù)f3,y)的條件極值點(diǎn),且在該點(diǎn)函數(shù)中3,y)滿足隱函數(shù)存在條件時(shí),由方程中3,y)=0決定隱函數(shù)y=g(x),于是點(diǎn)X0就是一元函數(shù)z=f(x,g(x))的極限點(diǎn)，有dz-X=fx+fyg'(x)=0.代入g\x)=一知土y0),就有0 甲y(x0,y0)f(x,y)-f(x,y)甲x(-0,*)=0,x00y00甲(x,y)(以下f、f、平、平均表示相應(yīng)偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(x,y)的值.)xyxy 0 0即f甲一f甲=0,亦即(fx,fy)-(甲y,一甲x)=0.可見(jiàn)向量(fx,fy)與向量(甲y,一甲x)正交. 注意到向量(甲x,甲y)也與向量(甲y ,-甲x)正交，即得向量(fx , fy )與向量(甲x ,甲y)線性相關(guān)，即存在實(shí)數(shù)人，使(fx,fy)+人(px,氣)=0.亦即Lagrange乘數(shù)法：由上述討論可見(jiàn),函數(shù)z=f(x,y)在約束條件p(x,y)=0之下的條件極值點(diǎn)應(yīng)是方程組f(x,y)+梅(x,y)=0,xx<fy(x,y)+'py(x,y)=0,P(x,y)=0.的解.引進(jìn)所謂Lagrange函數(shù)L（x,y,入）=f（x,y）+X^（x,y）, （稱其中的實(shí)數(shù)人為L(zhǎng)agrange乘數(shù)）則上述方程組即為方程組L(x,y,入)=0,x(L(x,y,X)=0,y.一L(x,y,X)=0.kX因此，解決條件極值通常有兩種方法1）直接的方法是從方程組（1）中(x,x，…,x)=0,k=1,2,?..,m,中解出％,x2，…,xm并將其表示為x=g(x,x，…，x),k=1,2,…，mTOC\o"1-5"\h\zkkm+1 m+2 n代入f(x,x，…,x)消去x,x,...,x成為變量為x,...,x的函數(shù)1 2 n 1 2 m m+1 nf(x，…，x)=f(g，…，g,x,…，x)=F(x ,…,x)1 n 1 mm+1 n m+1 n將問(wèn)題化為函數(shù)F（xm+1，…,xn）的無(wú)條件極值問(wèn)題;2）在一般情形下，要從方程組（1）中解出氣,x2,?..,xm來(lái)是困難的，甚至是不可能的，因此上面求解方法往往是行不通的。通常采用的拉格朗日乘數(shù)法，是免去解方程組（1）的困難，將求f（氣，…x「的條件極值問(wèn)題化為求下面拉格朗日函數(shù)L（x，…，x;X，…，X）=f（x，…，x）+*X^（x,…，x）1 n1 m 1 n kk1 nk=1的穩(wěn)定點(diǎn)問(wèn)題，然后根據(jù)所討論的實(shí)際問(wèn)題的特性判斷出哪些穩(wěn)定點(diǎn)是所求的極值的。用Lagrange乘數(shù)法解應(yīng)用問(wèn)題舉例:例1拋物面x2+y2=z被平面x+y+z=1截成一個(gè)橢圓.求該橢圓到坐標(biāo)原點(diǎn)的最長(zhǎng)和最短距離.

1111一+一+_=-xyzr例3求函數(shù)f(x,y,z)=xyz在條件(x>0,y>0,z>0,r1111一+一+_=-xyzr(11 1、-1 , 下的極小值.并證明不等式3-+-+- <出,其中a,b,c為任意正VabcJ常數(shù).現(xiàn)在就以上面水箱設(shè)計(jì)為例，看一看拉格朗日乘數(shù)法求解條件極值的過(guò)程解：這個(gè)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是求函數(shù) S(x,y,z)=2(xz+yz)+xy在條件xyz-V=0下的最小值問(wèn)題，應(yīng)用拉格朗日乘法，令L='2*(x*z+y*z)+x*y+v*(x*y*z-V)';dLdx=diff(L,'x')dLdy=diff(L,'y')dLdz=diff(L,'z')dLdv=diff(L,'v')dLdx=2*z+y+v*y*zdLdy=2*z+x+v*x*zdLdz=2*x+2*y+v*x*ydLdv=x*y*z-V令L的各偏導(dǎo)等零，解方程組求穩(wěn)定點(diǎn)s1='2*z+y+v*y*z';s2='2*z+x+v*x*z';s3='2*x+2*y+v*x*y';s4='x*y*z-V';[v,x0,y0,z0]=solve(s1,s2,s3,s4)v=[-2*2"(2/3)/V"(1/3)][-8*(-1/4*2"(1/3)*K(1/3)+1/4*i*3"(1/2)*2"(1/3)*K(1/3))"2/V][-8*(-1/4*2"(1/3)*V"(1/3)-1/4*i*3"(1/2)*2"(1/3)*V"(1/3))"2/V]x0=[2"(1/3)*V"(1/3)]y0=[2"(1/3)*K(1/3)]z0=[1/2*2"(1/3)*K(1/3)]這里顯然只有實(shí)數(shù)解才有意義，所以L的穩(wěn)定點(diǎn)只有下面一個(gè)= 1=x=y=32V,z-3：2V2又已知所求的問(wèn)題確實(shí)存在最小值，從而解出的穩(wěn)定點(diǎn)就是最小值點(diǎn)，即水箱長(zhǎng)寬與為高的2倍時(shí)用鋼板最省。下面再看一個(gè)條件極值求解問(wèn)題例2拋物面x2+y2-z被平面x+y+z-1截成一個(gè)橢圓，求這個(gè)橢圓到坐標(biāo)原點(diǎn)的最長(zhǎng)最短距離。(x73)解： 這個(gè)問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是求函數(shù) f(x,y,z)-x2+y2+z2在條件x2+y2-z-0與x+y+z-1-0下的最大、最小值問(wèn)題，應(yīng)用拉格朗日乘法，令L='x"2+y"2+z"2+v*(x"2+y"2-z)+h*(x+y+z-1)';dLdx=diff(L,'x')dLdy=diff(L,'y')dLdz=diff(L,'z')dLdv=diff(L,'v')dLdh=diff(L,'h')dLdx=2*x+2*v*x+hdLdy=2*y+2*v*y+hdLdz=2*z-v+hdLdv=x"2+y"2-zdLdh=x+y+z-1

s1='2*x+2*v*x+h';s2='2*y+2*v*y+h';s3='2*z-v+h';s4='x"2+y"2-z';s5='x+y+z-1';[h,v,x0,y0,z0]=solve(s1,s2,s3,s4,s5);x0,y0,z0x0=[3/4-1/4*i*13"(1/2)][3/4+1/4*i*13"(1/2)][-1/2+1/2*3"(1/2)][-1/2-1/2*3"(1/2)]y0=[3/4+1/4*i*13"(1/2)][3/4-1/4*i*13"(1/2)][-1/2+1/2*3"(1/2)][-1/2-1/2*3"(1/2)]z0=-1/2,-1/2, 2-3"(1/2),2+3"(1/2)即L的穩(wěn)定點(diǎn)有兩個(gè)Z]=2-J3zZ]=2-J3z=2+板'32-1-(3尤2=*=一^因?yàn)楹瘮?shù)f3,y,z）在有界閉集｛3,j,z）Ix2+j2=z,x+y+z=1｝上連續(xù)，必有最大值和最小值，而求得的穩(wěn)定點(diǎn)又恰是兩個(gè)，所以它們一個(gè)是最大點(diǎn)，另一