甘肅省天水一中2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期第三學(xué)段考試試題含解析

PAGE15-甘肅省天水一中2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)上學(xué)期第三學(xué)段考試試題（含解析）一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.直線的傾斜角為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出斜率，依據(jù)斜率與傾斜角關(guān)系，即可求解.【詳解】化為，直線的斜率為，傾斜角為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查直線方程一般式化為斜截式，求直線的斜率、傾斜角，屬于基礎(chǔ)題.2.圓錐的軸截面是邊長為的正三角形，則圓錐的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)圓錐軸截面的定義結(jié)合正三角形的性質(zhì)，可得圓錐的底面半徑、母線長，結(jié)合圓錐表面積公式，即可求出答案.【詳解】圓錐的軸截面是邊長為的正三角形，圓錐的底面半徑，母線長；表面積故選C.【點(diǎn)睛】本題給出圓錐軸截面的形態(tài)，求圓錐的表面積，著重考查了等邊三角形的性質(zhì)和圓錐軸截面等學(xué)問，屬于基礎(chǔ)題.3.直線與平行，則的值等于()A.-1或3 B.1或3 C.-3 D.【答案】D【解析】試題分析：直線可化為，斜率為在y軸上截距兩直線平行，則直線斜率存在，即直線可化為斜率為在y軸上截距為則由得即，解得故選D．考點(diǎn)：直線方程與直線平行間的關(guān)系．4.下列函數(shù)中，值域?yàn)榕己瘮?shù)是A. B. C. D.【答案】D【解析】值域?yàn)榈呐己瘮?shù)；值域?yàn)镽的非奇非偶函數(shù)；值域?yàn)镽的奇函數(shù)；值域?yàn)榈呐己瘮?shù).故選D5.設(shè)，是兩條不同的直線，，，是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①若，，則②若，，，則③若，，則④若，，則其中正確命題的序號(hào)是（）A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④【答案】A【解析】【分析】依據(jù)線面平行性質(zhì)定理，結(jié)合線面垂直的定義，可得①是真命題；依據(jù)面面平行的性質(zhì)結(jié)合線面垂直的性質(zhì)，可得②是真命題；在正方體中舉出反例，可得平行于同一個(gè)平面的兩條直線不肯定平行，垂直于同一個(gè)平面和兩個(gè)平面也不肯定平行，可得③④不正確．由此可得本題的答案．【詳解】解：對(duì)于①，因?yàn)?，所以?jīng)過作平面，使，可得，又因?yàn)椋?，所以，結(jié)合得．由此可得①是真命題；對(duì)于②，因?yàn)榍?，所以，結(jié)合，可得，故②是真命題；對(duì)于③，設(shè)直線、是位于正方體上底面所在平面內(nèi)的相交直線，而平面是正方體下底面所在的平面，則有且成立，但不能推出，故③不正確；對(duì)于④，設(shè)平面、、是位于正方體經(jīng)過同一個(gè)頂點(diǎn)三個(gè)面，則有且，但是，推不出，故④不正確．綜上所述，其中正確命題的序號(hào)是①和②故選：【點(diǎn)睛】本題給出關(guān)于空間線面位置關(guān)系的命題，要我們找出其中的真命題，著重考查了線面平行、面面平行的性質(zhì)和線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)等學(xué)問，屬于中檔題．6.直線與圓交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A.2個(gè) B.1個(gè) C.0個(gè) D.不確定【答案】A【解析】化為點(diǎn)斜式：，明顯直線過定點(diǎn)，且定點(diǎn)在圓內(nèi)∴直線與圓相交，故選A7.函數(shù)f(x)=的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是A.（-2，-1） B.（-1,0） C.（0,1） D.（1,2）【答案】B【解析】試題分析：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2+3x在其定義域內(nèi)是遞增的，那么依據(jù)f(-1)=,f（0）=1+0=1>0,那么函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理可知，函數(shù)的零點(diǎn)的區(qū)間為（-1,0），選B．考點(diǎn)：本試題主要考查了函數(shù)零點(diǎn)的問題的運(yùn)用．點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是利用零點(diǎn)存在性定理，依據(jù)區(qū)間端點(diǎn)值的乘積小于零，得到函數(shù)的零點(diǎn)的區(qū)間．8.在三棱柱中，各棱長均相等，側(cè)棱垂直于底面，點(diǎn)是側(cè)面的中心，則與平面所成角的大小是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先依據(jù)題意作出三棱柱，取的中點(diǎn)，連接，得到為所求的線面角，再設(shè)三棱柱的棱長為1，求出，即可得出結(jié)果.【詳解】如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，則平面，故，為所求的線面角.設(shè)三棱柱的棱長為1，則，所以，所以，因此.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與平面所成的角，依據(jù)題中條件作出線面角，干脆求解即可，屬于?？碱}型.9.在空間直角坐標(biāo)系中,已知.若分別是三棱錐在坐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，分別向三個(gè)坐標(biāo)平面正投影，找出正投影的圖形形態(tài)、邊長等，從而解出三個(gè)圖形的面積，進(jìn)而比較大?。驹斀狻拷猓喝忮F各頂點(diǎn)在平面上的正投影坐標(biāo)為，，，，在平面上正投影的圖形為直角三角形，其面積為；三棱錐各頂點(diǎn)在平面上的正投影坐標(biāo)為，，，，在平面上正投影的圖形為直角梯形，其面積為；三棱錐各頂點(diǎn)在平面上正投影坐標(biāo)為，，，，在平面上正投影的圖形為直角梯形，其面積為；所以得，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了點(diǎn)的正投影學(xué)問，點(diǎn)的正投影是將點(diǎn)向面作垂線，垂足便是該點(diǎn)正投影對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，這里其實(shí)是將正投影轉(zhuǎn)化為我們熟識(shí)的線面垂直問題，如何作垂直，找出垂足是解決本問題的關(guān)鍵．10.已知四棱錐的底面是正方形，側(cè)棱長均相等，是線段上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)），設(shè)與所成的角為，與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分別作出線線角、線面角以及二面角，再構(gòu)造直角三角形，依據(jù)邊的大小關(guān)系確定角的大小關(guān)系.【詳解】設(shè)為正方形的中心，為中點(diǎn)，過作的平行線，交于，過作垂直于，連接、、，則垂直于底面，垂直于，因此從而因?yàn)椋约?，選D.【點(diǎn)睛】線線角找平行，線面角找垂直，面面角找垂面.二、填空題（共4小題，每小題4分，共16分）11.如圖所示，在正方體中，點(diǎn)是上底面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐的正視圖與側(cè)視圖的面積之比為_________．【答案】1∶1【解析】【分析】由題意確定點(diǎn)在正視圖和側(cè)視圖中的位置，可知正視圖和側(cè)視圖的底邊長和高，即可求出面積比.【詳解】由題意知，點(diǎn)在正視圖中的射影在上，所以正視圖是以為底邊，為高的三角形，同理，點(diǎn)在側(cè)視圖中的射影在上，所以側(cè)視圖是以為底邊，為高的三角形，因?yàn)闉檎襟w，所以，所以三棱錐的正視圖與側(cè)視圖的面積比為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖和直觀圖形的關(guān)系，考查學(xué)生空間想象實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.12.設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系是________．【答案】【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性即可推斷三個(gè)式子的大小.【詳解】對(duì)和，因?yàn)楹瘮?shù)為減函數(shù)，，所以，即，對(duì)和，因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，，所以，即，所以，，的大小關(guān)系是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.13.已知點(diǎn)在上，求的最小值________．【答案】【解析】【分析】利用的幾何意義，畫出圖形，利用點(diǎn)到直線距離即可求出答案.【詳解】設(shè)，則的幾何意義是圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)的斜率，由圖象可知，當(dāng)直線與圓在其次象限相切時(shí)，直線斜率最小，此時(shí)，則圓心到直線的距離，解得.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查直線和圓位置關(guān)系，點(diǎn)到直線距離公式，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.14.在直三棱柱內(nèi)有一個(gè)與其各面都相切的球O1，同時(shí)在三棱柱外有一個(gè)外接球.若,，,則球的表面積為______.【答案】【解析】【分析】先求出球O1的半徑，再求出球的半徑，即得球的表面積.【詳解】解：,，,，設(shè)球O1的半徑為，由題得，所以棱柱的側(cè)棱為.由題得棱柱外接球的直徑為，所以外接球的半徑為，所以球的表面積為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的內(nèi)切球和外接球問題，考查球的表面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問的理解駕馭水平，屬于中檔題.三、解答題（共4小題，44分，請(qǐng)?jiān)诖痤}卡上寫清必要的解題過程）15.已知圓經(jīng)過（2，5），（﹣2，1）兩點(diǎn)，并且圓心在直線yx上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求圓上的點(diǎn)到直線3x﹣4y+23＝0的最小距離.【答案】（1）（x﹣2）2+（y﹣1）2＝16（2）1【解析】【分析】（1）先求出圓心的坐標(biāo)和圓的半徑，即得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求出圓心到直線3x﹣4y+23＝0的距離即得解.【詳解】（1）A（2，5），B（﹣2，1）中點(diǎn)為（0，3），經(jīng)過A（2，5），B（﹣2，1）的直線的斜率為，所以線段AB中垂線方程為，聯(lián)立直線方程y解得圓心坐標(biāo)為（2，1），所以圓的半徑.所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣2）2+（y﹣1）2＝16.（2）圓的圓心為（2，1），半徑r＝4.圓心到直線3x﹣4y+23＝0的距離d.則圓上的點(diǎn)到直線3x﹣4y+23＝0的最小距離為d﹣r＝1.【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法和圓上的點(diǎn)到直線的距離的最值的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問的理解駕馭水平.16.如圖，在直三棱柱中，已知，.設(shè)的中點(diǎn)，.求證：（1）平面；（2）.【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】試題分析：（1）要證線面平行，只需找線線平行，因?yàn)镈,E為中點(diǎn)，利用中位線即可證明；（2）只需證明平面即可，明顯可證，因此原命題得證.試題解析：⑴在直三棱柱中，平面，且矩形是正方形，為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，，又平面，平面，平面⑵在直三棱柱中，平面,平面,又，平面，平面，，平面，平面，矩形是正方形，，平面，，平面又平面，.點(diǎn)睛：兩條直線的垂直，一般須要用到線面垂直，先證明其中一條直線是另外一條直線所在平面的垂線，在此證明過程中，一般還要再次用到線面垂直的判定或性質(zhì)，從而得到線線垂直.17.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱之為塹堵；將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱之為陽馬；將四個(gè)面均為直角三角形的四面體稱之為鱉臑[biēnào]．某學(xué)校科學(xué)小組為了節(jié)約材料，擬依托校內(nèi)內(nèi)垂直的兩面墻和地面搭建一個(gè)塹堵形的封閉的試驗(yàn)室,是邊長為2的正方形．（1）若，在上，四面體是否為鱉臑，若是，寫出其每個(gè)面直角：若不是，請(qǐng)說明理由；（2）當(dāng)陽馬的體積最大時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）是；四個(gè)直角分別為、、、；（2）【解析】【分析】（1）由題意可知，，，都是直角三角形，再證明面，得到，可得直角三角形，可以得到四面體是為鱉臑，再寫出四個(gè)直角即可；（2）由和，求出，此時(shí)，即此時(shí)陽馬的體積最大，然后利用等體積法求出點(diǎn)到平面的距離即可.【詳解】（1）如圖，連接和，由題意可知，，都是直角三角形，面，在平面內(nèi)，∴，又∵，且，∴面又在面內(nèi)，故，∴直角三角形．∴四面體四個(gè)面都是直角三角形，故四面體是鱉臑．在中，是直角，在中，是直角，在中，是直角，在中，是直角.（2）在中，由，得，（取得等號(hào)）由題意可知，面∴陽馬的體積：，（取得等號(hào)）所以以為頂點(diǎn)，以底面的三棱錐體積最大值為：在中，，設(shè)到面距離為，則以為頂點(diǎn)，以底面時(shí)，三棱錐體積：，即，解得：，即點(diǎn)到面距離為.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面垂直的應(yīng)用和等體積法求點(diǎn)到平面的距離，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合和計(jì)算實(shí)力，屬于中檔題.18.已知圓，直線，點(diǎn)在直線上，過點(diǎn)作圓的切線、，切點(diǎn)為、．（1）若，求點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，過作直線與圓交于、兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線的方程；（3）求證：經(jīng)過、、三點(diǎn)的圓與圓的公共弦必過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）或；（2）或；（3）【解析】【詳解】試題