2021年中考數(shù)學壓軸題附答案解析

2021年中考數(shù)學壓軸題

1.如圖1,在平面直角坐標系中，已知直線N8：y=-3+3與直線CD：-2相

交于點A/(4,a),分別交坐標軸于點/、B、C、。，點尸是線段CD延長線上的一個點，

的面積為15.

(1)求直線CD解析式和點P的坐標；

(2)如圖2,當點P為線段CD上的一個動點時，將BP繞點B逆時針旋轉90°得到BQ,

連接與.點。隨著點P的運動而運動，請求出點。運動所形成的線段所在直線

的解析式，以及的最小值.

(3)在(1)的條件下，直線N8上有任意一點凡平面直角坐標系內(nèi)是否存在點N,使

得以點8、D、F、N為頂點的四邊形是菱形，如果存在，請直接求出點N的坐標；如果

不存在，請說明理由.

-

圖1圖2備用圖

解：(1)將點/的坐標代入y=-3+3并解得：a=\,故點M(4,1),

將點M的坐標代入y=Ax-2并解得：k=4,

故直線CD的表達式為：》=%-2,則點。(0,-2),

1

/\PBM的面積=SziBDM+SAB0P=2XBDX(x“-xp)=x(3+2)(4-xp)=15,

解得：xp=-2,故點尸(-2,一夕；

(2)如下圖，分別過點P、。作y軸的垂線，垂足為G、H,

y

、S

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3

設點P（m,一機-2）,

4

*：/HQB+/HBQ=90°,NHBQ+NGBP=90°,

：./HQB=/GBP,ZQHB=ZBGP=90°,

BP=BQ,

:.△BGPQAQHB（4，S）,

:.HQ=GB,HB=GP=m,

3Q

故HQ=BG=3-（-/w-2）=5—左機，OH=OB+BH=m+3,

故點。（5—4加，3+加），

令x=5一五加，＞=3+加，

則尸告+拳設該直線與坐標軸的交點分別為R、S,則R弓0）、S（0,y）,

即OR=學29QS=詈?9，

當O0_LS及時，。0最小，

則SNORS=3xORX0S=.xOQXSR,

口吟Xy=OQXJ晝）2+譚）2,

解得:0。=曷

29

即。。的最小值為三；

1

（3）設點F的坐標為（團，一會《+3）,點N（a,b）,

由（1）知，點5、。的坐標分別為（0,3）、（0,-2）,則8。=5,

①當8。是邊時，

當點尸在點N的上方時，則尸，即52=加2+（一±?）2,解得加=±2k，

則點尸的坐標為（2V5,-V5+3）或（-2祈，V5+3）

點N在點F的正下方5個單位，則點N（2遙，-V5-2）或（-2有，遍一2）；

當點尸在點N的上方時，則BD=DF,即52="/+（一排+3+2）2,解得加=。（舍去）

或4,

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同理可得，點N(4,6)；

②當BD是對角線時，則BD的中點即為酒的中點且BF=BN,

/I1

2(0+0)=2(a+rn)

m=5

111

則彳.(3-2)=*(b_*zn+3)解得a=-5,

b=0.5

m2+(-1m+3-3)2=a2+(fa-3)2

故點N的坐標為(-5,0.5)；

綜上，點N的坐標為(2V5,-V5-2)或(-2V5,V5-2)或(4,6)或(-5,0.5).

2.己知直線2與拋物線y=7-6x+c(6,c為常數(shù)，6>0)的一個交點為N(-1,

0),點/(m,0)是x軸正半軸上的動點.

(1)當直線y=fcv-2與拋物線(h,c為常數(shù)，6>0)的另一個交點為該拋

物線的頂點E時，求A,b,c的值及拋物線頂點E的坐標；

(2)在(1)的條件下，設該拋物線與y軸的交點為C,若點。在拋物線上，且點。的

橫坐標為b,當S&EQM=￥^CE時，求機的值；

1一2742

(3)點、D在拋物線上，且點D的橫坐標為b+之，當dM+2DM的最小值為----時，

求6的值.

解：(1):直線、=h-2與拋物線y=/-b+c(b,c為常數(shù)，h>0)的一個交點為4

(-1,0),

-k-2=0,l+b+c=0,

:.k=-2,c=-b-I,

直線y=kx-2的解析式為y=-2x-2,

b4c—/?2

拋物線y=--6x+c的頂點坐標為E(一，------),

24

b—4匕-4—b

；?E(一，---------)，

24

?.?直線y=-2x-2與拋物線y=f-Z>x+c(6,c為常數(shù)，Z>>0)的另一個交點為該拋物

線的頂點E,

—4ZJ—4-272b

=-2x亍-2,

42

解得，6=2,或6=-2(舍)，

當b=2時，c=-3,

：.E(1,-4),

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故4=-2,6=2,c=-3,E(1,-4)；

⑵由(1)知，直線的解析式為尸-2%-2,拋物線的解析式為尸f-2x-3,

：.C(0,-3),Q(2,-3),

如圖1,設直線y=-2x-2與y軸交點為N,則N(0,-2),

???CN=1,

*e?^LACE=S&ACN+S&ECN=1X1X1+2X1X1=1,

J

:?S〉EQM=2

設直線￡0與x軸的交點為。，顯然點M不能與點。重合，

設直線E。的解析式為(dHO),

則氏+”13,

解得，『=1

.??直線EQ的解析式為歹=x-5,

：.D(5,0),

:?SAEQM=S^EDM-S^QDM=xI-4|xI—3|=*DM=^\5-m\=

解得，加=4,或〃?=6；

(3)???點。(6+1,川)在拋物線1上，

「?知=(b+1)2-b(Jj=

可知點。(6+參-1-1)在第四象限，且在直線x=b的右側，

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,:也AM+2DM=2(竽4M+DM),

可取點N(0,1),則司。4N=45°,

如圖2,過。作直線ZN的垂線，垂足為G,0G與x軸相交于點M,

則此時點加滿足題意，

過。作。軸于點則點，(/>+；,0),

在RtAJ/D〃中，可知NDMH=NMDH=45°,

：.DH=MH,DM