2023年研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)二2010-2022歷年真題選編帶答案難題含解析

2023年研究生入學(xué)考試數(shù)學(xué)二2010-2022歷年真題選編帶答案難題含解析（圖片大小可自由調(diào)整）第1卷一.歷年考點試題黑鉆版(共75題)1.設(shè)f(x)，g(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且g'(x)≠0．證明：存在ξ∈(a，b)，使得

2.3.4.已知，則=______．5.設(shè)，其中，是平面x+y+z=1在第一卦限部分的上側(cè)，則I=______。A.1/8B.1/6C.1/4D.1/26.設(shè)f(x，y)=x3+y3-3x2-3y2，求f(x，y)的極值及其在x2+y2≤16上的最大值．7.設(shè)A是n階實對稱陣，λ1，λ2，…，λn是A的n個互不相同的特征值，ξ1是A的對應(yīng)于λ1的1個單位特征向量，則矩陣的特征值為______．8.9.10.11.設(shè)h(x)是[a，b]上的正值連續(xù)函數(shù)，求證：．12.已知f(x)在x=0的某個鄰域內(nèi)連續(xù)，且f(0)=0，則在點x=0處f(x)______A.不可導(dǎo)B.可導(dǎo)且f'(0)≠0C.取得極大值D.取得極小值13.設(shè)A，B為n階方陣，且|A|≠0，則AB和BA相似，這是因為存在可逆矩陣P=______，使得P-1ABP=BA．14.設(shè)函數(shù)y=y(x)由參數(shù)方程所確定，其中f可導(dǎo)，且f'(0)≠0，則15.已知4階矩陣A相似于B，A的特征值為2，3，4，5，E為4階單位矩陣，則|B-E|=______．16.設(shè)則存在初等矩陣______

A.P1P2A．B.P2P1A．C.AP1P2．D.AP2P1．17.18.設(shè)二元函數(shù)

計算二重積分其中D={(x，y)||x|+|y|≤2)．19.20.設(shè)有連接兩點A(0,1)，B(1,0)的一條曲線．它位于弦AB的上方，P(x,y)為曲線上任意一點，已知曲線與弦AP之間的面積為x3，求曲線的方程．21.22.設(shè)位于曲線y=(e≤x＜+∞)下方、x軸上方的無界區(qū)域為G，則G繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得立體的體積為______．23.24.設(shè)矩陣，則A與B______．A.合同，且相似B.合同，但不相似C.不合同，但相似D.既不合同，也不相似25.26.設(shè)A為4階實對稱矩陣，且A2+A=O.若A的秩為3，則A相似于

27.28.29.設(shè)f(x)在[a，b]可導(dǎo)，又，則

在(a，b)內(nèi)A.恒為正．B.恒為負(fù)．C.恒為0．D.變號．30.設(shè)3階實對陣矩陣A滿足A2-3A+2E=O，且|A|=2，則二次型f=xTAx的標(biāo)準(zhǔn)形為______．31.32.設(shè)，則=______．33.34.35.交換二次積分的積分次序：36.37.設(shè)α=(1，0，-1)T，矩陣A=ααT，n為正整數(shù)，則|aE-An|=______．38.設(shè)f(x，y)連續(xù)，D={(x，y)∣x2+y2≤r2．則=______．

A．f(0，0)

B．-f(0，0)

C．

D．π39.設(shè)D是由曲線y=sinx+1與三條直線x=0，x=π，y=0所圍成的曲邊梯形，求D繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所圍成的旋轉(zhuǎn)體的體積．40.41.函數(shù)在(-∞，+∞)內(nèi)______A.連續(xù)．B.有可去間斷點．C.有跳躍間斷點．D.有無窮間斷點．42.43.微分方程yy"=2(y'2-y')滿足初始條件y(0)=1，y'(0)=2的特解為______．44.45.設(shè)A為n階矩陣，α1，α2，α3為n維列向量，其中α1≠0，且Aα1=α1，Aα2=α1+α2，Aα3=α2+α3，證明：α1，α2，α3線性無關(guān)．46.設(shè)f(x)在[a，b]上連續(xù)且單調(diào)增加，證明：47.求函數(shù)f=x+y+z在約束條件xyz=a3下的極值(其中x，y，z，a均大于0)．48.某五元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣經(jīng)初等變換化為則自由變量可取為,

①x4，x5；

②x3，x5；

③x1，x5；

④x2，x3。

那么正確的共有______A.1個B.2個C.3個D.4個49.計算積分50.設(shè)z=z(x，y)滿足

證明：51.設(shè)u=f(x，y，z)，y=φ(x，t)，t=ψ(x，z)，其中f，φ，ψ可微，求．52.53.函數(shù)的最大值為

A．

B．

C．

D．54.設(shè)D：x2+y2≤R2，則55.設(shè)f(x)，g(x)是連續(xù)函數(shù)，56.設(shè)三階實對稱矩陣A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2，α1=(1，-1，1)T是A的屬于特征值λ1的一個特征向量，記B=A5-4A3+E，其中E為三階單位矩陣。

(Ⅰ)驗證α1是矩陣B的特征向量，并求矩陣B的全部特征值與特征向量；

(Ⅱ)求矩陣B。57.求58.設(shè)f(x)在(-∞，+∞)內(nèi)可導(dǎo)，且對任意x1，x2，當(dāng)x1＞x2時，都有f(x1)＞f(x2)，則______A.對任意x，f'(x)＞0．B.對任意x，f'(-x)≤0．C.函數(shù)f(-x)單調(diào)增加．D.函數(shù)-f(-x)單調(diào)增加．59.60.微分方程y"+y=-2x的通解為______．61.62.微分方程y"+4y=4x-8的通解為______．63.64.設(shè)f(x)是連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)(x)是f(x)的原函數(shù)，則A.當(dāng)f(x)是奇函數(shù)時，F(xiàn)(x)必是偶函數(shù)．B.當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時，F(xiàn)(x)必是奇函數(shù)．C.當(dāng)f(x)是周期函數(shù)時，F(xiàn)(x)必是周期函數(shù)．D.當(dāng)f(x)是單調(diào)增函數(shù)時，F(xiàn)(x)必是單調(diào)增函數(shù)．65.設(shè)f(x)在點x=0處連續(xù)，求66.設(shè)二元函數(shù)

計算二重積分，其中D={(x，y)|x|+|y|≤2}.67.曲線的漸近線的條數(shù)為______A.0條．B.1條．C.2條．D.至少3條．68.在數(shù)中求出最大值．69.70.設(shè)，那么(P-1)2010A(Q2011)-1=______

A．

B．

C．

D．71.72.設(shè)x為3維單位列向量，E為3階單位矩陣，則矩陣E-xxT的秩為______．73.設(shè)函數(shù)f(u，v)由關(guān)系式f(x+g(y)，y)=xy確定，其中函數(shù)g(y)可微，則等于A.u．B.v．C.uv．D.1．74.設(shè)u=f(x，y，z)，又y=φ(x，t)，t=ψ(x，z)，求75.第1卷參考答案一.歷年考點試題黑鉆版1.參考答案：[證明]令F(x)=f(x)g(b))+f(a)g(x)-f(x)g(x)，則F(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，且F(a)=F(b)=f(a)g(b)，由羅爾定理，存在ξ∈(a，b)，使得F'(ξ)=0，而F'(x)=f'(x)g(b)+f(a)g'(x)-f'(x)g(x)-f(x)g'(x)，所以

[解析]這是含端點和含ξ的項的問題，且端點與含ξ的項不可分離，具體構(gòu)造輔助函數(shù)如下：把結(jié)論中的ξ換成x得，整理得

f'(x)g(b)+f(a)g'(x)-f'(x)g(x)-f(x)g'(x)=0，

還原得[f(x)g(b)+f(a)g(x)-f(x)g(x)]'=0，

輔助函數(shù)為F(x)=f(x)g(b)+f(a)g(x)-f(x)g(x)．2.參考答案：3.參考答案：[解析]

定積分的定義．

[解題分析]由題設(shè)，原極限可化為定積分表示，即

原式4.參考答案：[解析]先求出k，將其代入所求極限，用等價無窮小代換求之．k可用公式

求之．

由

得到

5.參考答案：A[考點]利用積分函數(shù)的對稱性計算二重積分。[解析]補三個曲面：x=0(后側(cè))；：y=0(左側(cè))；：z=0(下側(cè))，則

0(其中Ω：x+y+z≤1，x≥0，y≥0，z≥0=(由Ω的輪換對稱性得)

6.參考答案：解：由解得x1=0，x2=2，y1=0，y2=2．

即共有4個點(0，0)，(0，2)，(2，0)，(2，2)．

在點(0，0)處，B2-AC=0-(-6)×(-6)=-36＜0且A＝－6＜0，所以點(0，0)是一個極大值點且極大值為f(0，0)=0；

同理，f(2，2)=-8是一個極小值；而f(0，2)與f(2，0)不是極值．

由上面討論可知，f(x，y)在閉域D上的最大值，若在D內(nèi)達(dá)到，則必是在(0，0)點取得，但也可能在D的邊界上，故建立拉格朗日函數(shù)，令

L(x，y，λ)=x3+y3-3x2-3y2+λ(x2+y2+16)．

則由

解得x=0，y=4；x=4，y=0；

因此，f(x，y)在D上的最大值為

[考點]多元函數(shù)的極值、最值．

先求出函數(shù)f(x，y)在D={(x，y)∣x2+y2≤16}內(nèi)的極值可疑點(xi，yi)(i=1，2，…，m)；再利用極值充分判別法判斷每個可疑點是否為極值點，若是極值點，求出對應(yīng)的極值；最后由拉格朗日乘數(shù)法求得f(x，y)在D的邊界上的可疑極值，將以上所得函數(shù)值進(jìn)行比較便可得結(jié)果．7.參考答案：0A是實對稱陣，其余的特征向量為ξ2，ξ3，…，ξn因不同特征值對應(yīng)的特征向量相互正交，且有(A-故知有特征值0，λ2，λ3…，λn．8.參考答案：9.參考答案：[解]應(yīng)填

通分，單獨拿分子考慮，有

1=A(x-1)2+Bx+Cx(x-1)．

比較兩邊同次冪系數(shù)，可得A=1，B=1，C=-1，于是

10.參考答案：B11.參考答案：證明：在上題的施瓦茲不等式中，令，即證得結(jié)論．[考點]一元函數(shù)微積分12.參考答案：D[解析]因為當(dāng)x→0時，故極限條件等價于從而可取f(x)=x2，顯然滿足題設(shè)條件，而f(x)=x2在x=0處取得極小值。故選D。13.參考答案：A．14.參考答案：3[解析]15.參考答案：24．16.參考答案：A[解析]B是上三角形矩陣，應(yīng)作初等行變換將A中下三角元素a21=-1，a32=2消為0，

故應(yīng)選A．17.參考答案：【證明】參見數(shù)學(xué)一模擬106解答題第15題解析.18.參考答案：如圖，積分區(qū)域D分別關(guān)于x軸，y軸均對稱，又f(x，y)分別關(guān)于變量x，y均為偶函數(shù)，從其中D1是D在第一象限的部分．由于被積函數(shù)是分塊表示，把積分區(qū)域D1也按|x|+|y|≤1與|x|+|y|≥1分為兩個部分區(qū)域D11={(x，y)||x|+|y|≤1，x≥0，y≥0}與D12={(x，y)||x|+|y|≥1，x≥0，y≥0)，于是

令x=rcosθ，y=sinθ引入極坐標(biāo)系(r，θ)，則D12在極坐標(biāo)系(r，θ)中可表示為D12

且dσ=rdrdθ，從而

19.參考答案：B20.參考答案：設(shè)所求曲線的方程為

y=y(x)

(0≤x≤1)．

由題設(shè)，圖2—8—2中陰影部分的面積為x3，又因曲線在弦AB的上方，故上述面積等于一塊曲邊梯形面積減去一塊梯形面積，即

其為一階線性微分方程，故其通解為

因曲線過點B(1,0)，即y(1)=O，得C=5，故所求曲線方程為

y=1+5x-6x2．

[分析]先設(shè)曲線方程y=y(x)，用定積分表達(dá)出題沒的圖形面積，再求導(dǎo)，得一微分方程，然后根據(jù)條件，解出其特解．21.參考答案：B[解析]參見數(shù)學(xué)一模擬105解答題第7題解析.22.參考答案：[考點]旋轉(zhuǎn)體的體積．

利用旋轉(zhuǎn)體的體積公式即可．

解：

故應(yīng)填．23.參考答案：[解析]參見數(shù)學(xué)一模擬98填空題第2題解析.24.參考答案：B[考點]矩陣相似與合同

[解析]，令，

則A=C+3E．由|λE-C|=0得C的特征值為λ1=-3，λ2=λ3=0，

則A的特征值為0，3，3，B的特征值為1，1，0，

顯然A與B不相似，A與B的正、負(fù)慣性指數(shù)均為2，0，即A與B合同，故應(yīng)選B．25.參考答案：26.參考答案：D[解析]設(shè)Aα=λα，α≠0，則A2α=λ2α，那么由A2+A=0有

(λ2+λ)α=0，進(jìn)而知λ2+λ=0．

所以矩陣A的特征值只能是0或-1．

因為A是實對稱矩陣，必有A～A且A的主對角元素是A的特征值，又因r(A)=r(A)=3．

故應(yīng)選(D)．27.參考答案：[解析]參考數(shù)學(xué)一模擬162填空題第(2)題解析.28.參考答案：29.參考答案：C[解析]考察，則F(a)-F(b)=0，且所給條件用F(x)表示即

F"(x)+(F'(x))2-F(x)=0．

(*)

若F(x)在(a，b)恒正，則F(x)在(a，b)取正最大值即，x0∈(a，b)．由極大值點的性質(zhì)，F(xiàn)"(x0)≤0．

但由(*)式得F"(x0)=F(x0)＞0，這便矛盾．

若F(x)在(a，b)恒負(fù)，則，于是同樣得矛盾．

因此，A，B不對，同樣D也不對．選C．30.參考答案：[考點]二次型的標(biāo)準(zhǔn)形．

二次型可經(jīng)過正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，且標(biāo)準(zhǔn)形中平方項的系數(shù)即為對應(yīng)實對稱矩陣A的特征值．

解：由A2-3A+2E=O，得A的特征值為1或2．又因為∣A∣=2，即特征值乘積為2，故A的特征值為1，1，2．所以二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為．

故應(yīng)填．31.參考答案：32.參考答案：e-1-1[考點]定積分的計算[解析]33.參考答案：A34.參考答案：C35.參考答案：[解]如圖所示，

36.參考答案：n2π37.參考答案：a2(a-2n)；38.參考答案：A[考點]求極限．

由于二重積分中f(x，y)是抽象函數(shù)，因此不可能具體計算；又注意極限式子中的πr2恰是積分區(qū)域D的面積，于是，聯(lián)想到應(yīng)用二重積分的中值定理．

解：(因為f連續(xù))．

故應(yīng)選A．39.參考答案：[解]40.參考答案：241.參考答案：B[解析]這是“1∞”型極限，直接有，f(x)在x=0處無定義，且，故x=0是f(x)的可去間斷點，選B．42.參考答案：43.參考答案：[解析]求不顯含x的可降階的二階微分方程特解

[答案解析]方程不顯含x，令p=y'，則

原方程可化為，當(dāng)p≠0時，進(jìn)一步有：-1)．即解為：p-1=c1y2，代入y(0)=1，p(0)=2，得c1=1，于是方程化為y'=1+y2．其通解為：y=tan(x+c2)，再代入y(0)=1，得，從而原方程滿足初始條件的特解為：

注意：就解方程而言，從，還有兩個特解：p=0與p=1，但它們都不滿足初始條件y'(0)=p(0)=2．44.參考答案：45.參考答案：[證明]由Aα1=α1得(A-E)α1=0；

由Aα2=α1+α2得(A-E)α2=α1；由Aα3=α2+α3得(A-E)α3=α2，

令k1α1+k2α2+k3α3=0，

(1)

(1)兩邊左乘A-E得

k2α1+k3α2=0，

(2)

(2)兩邊左乘A-E得k3α1=0，因為a1≠0，所以k3=0，代入(2)、(1)得k1=0，k2=0，故α1，α2，α3線性無關(guān)．46.參考答案：[證明]方法一

令

因為f(x)在[a，b]上單調(diào)增加，所以

而

故

方法二

令

由得φ(b)≥φ(a)=0，所以47.參考答案：解：作拉格朗日函數(shù)

L(x，y，z，λ)=x+y+z+λ(xyz-a3)

對L求偏導(dǎo)數(shù)并令它們都等于零，得

由前三式得x=y=z，代入第四式得唯一穩(wěn)定點x=y=z=a．

計算可得

所以，且A＞0，故點(a，a)為g的極小值點，點(a，a，a)則為極小值點，極小值為3a．[考點]多元函數(shù)微分學(xué)48.參考答案：B[解析]因為系數(shù)矩陣的秩r(A)=3，則n-r(A)=5-3=2，故應(yīng)當(dāng)有兩個自由變量。

由于去掉x4，x5兩列之后，所剩三階矩陣為因為其秩與r(A)不相等，故x4，x5不是自由變量。同理，x3，x5不能是自由變量。

而x1，x5與x2，x3均可為自由變量，因為行列式都不為0。

故選B。49.參考答案：[解]50.參考答案：[證明]由則

51.參考答案：[解]

52.參考答案：B53.參考答案：A[解析]f(x)為奇函數(shù)，f(x)＜0(x＜0)，f(x)>0(x＞0)．只須在區(qū)間[0，+∞)上分析f(x)的單調(diào)性．

f(x)在[0，+∞)上的最大值為

它也是f(x)在(-∞，+∞)上的最大值．選A．54.參考答案：[解析]55.參考答案：[解析]因為于是

從而有

56.參考答案：解：(Ⅰ)由Aα1=α1得A2α1=Aα1=α1，依次遞推，則有A3α1=α1，A5α1=α1，故

Bα1=(A5-4A3+E)α1=A5α1-4A3α1+α1=-2α1，

即α1是矩陣B的屬于特征值一2的特征向量。

由關(guān)系式B=A5-4A3+E及A的三個特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2得B的三個特征值為μ1=-2，μ2=1，μ3=1。

設(shè)α2，α3為B的屬于μ2=μ3=1的兩個線性無關(guān)的特征向量，又由A為對稱矩陣，則B也是

對稱矩陣，因此α1與α2，α3正交，即。

因此α2，α3可取為下列齊次線性方程組兩個線性無關(guān)的解，即

得其基礎(chǔ)解系為

B的全部特征向量為其中k1≠0，k2，k3不同時為零。

(Ⅱ)[解析](1)實對稱矩陣屬于不同特征值的特征向量正交，該性質(zhì)經(jīng)常被用來計算實對稱矩陣的特征向量。

(2)當(dāng)矩陣A可相似對角化時，如果知道了A所有的特征值和特征向量，則可以利用等式A=PΛP-1計算出矩陣A。57.參考答案：解

原極限58.參考答案：D59.參考答案：A60.參考答案：C1cosx+C2sinx-2x[考點]微分方程的通解[解析]方程y"+y=-2x對應(yīng)的齊次方程的特征方程為λ2+1=0，特征根為λ1,2=±i，故對應(yīng)的齊次方程通解為C1cosx+C2sinx．

因為a=0不是特征根，因此原方程的特解可設(shè)為y*=Ax+B，代入原方程得A=-2，B=0．所以原方程的通解為y=C1cosx+C2sinx-2x．61.參考答案：B62.參考答案：C1cos2x+C2sin2x+x-2[解析]微分方程兩個特征值為λ1=-2i，λ2=2i，則微分方程的通解為y=C1cos2x+C2sin2x+x-