第三章地球重力場的基本理論

第三章地球重力場的基本理論第1頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月2

地球重力場狀基本理論3.1.1地球的概說（略）3.1.2地球運動概說

地球是太陽系中的一顆行星，它有自轉和公轉運動。

1、地球的自轉

地球的自轉即地球繞地軸由西向東旋轉。地球的繞地軸旋轉360度的時間：太陽日、恒星日。地球的自轉速度：

第2頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月3地球重力場狀基本理論2、地球的公轉地球的公轉滿足開普勒三大行星運動定律(1)

行星運動軌跡是橢圓，太陽位于其橢圓的一個焦點上直角坐標方程：極坐標方程：

f真近點角，p為焦參數（半通徑）

第3頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月4地球重力場狀基本理論行星運動在單位時間內掃過的面積相等；在時間t內掃過的面積s相等，則面速度

可根據能量守恒定律導出。

(3)

行星運動的周期的平方與軌道的長半軸的立方的比為常數。

設a和a1,T和T1分別表示兩行星軌道的長半徑與軌道運行周期。第4頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月5地球重力場狀基本理論則第三定律表達為：一般可以用來計算行星或衛(wèi)星的質量。牛頓萬有引力定律：開普勒定律是牛頓萬有引力定律的基礎。天體力學第5頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月6地球重力場狀基本理論宇宙空間任意兩質點，彼此相互吸引，其引力大小與他們的質量成積成正比，與他們之間的距離平方成反比。在相對運動中，行星相對于太陽運動的相對加速度：第6頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月7地球重力場狀基本理論考慮到M>>m注意：f、G、k2

在不同的教材都表示引力常數。第7頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月8地球重力場的基本原理3.2.1

引力與離心力其它作用力（太陽、月亮）大多數情況下可忽略。第8頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月9地球重力場的基本原理3.2.2引力位和離心力位由理論力學可知，如果某一空間（有限或無限）的任意一點都有一定力的作用，而力的大小與方向只與該點的位置有關，則這一空間稱為力場。就力場而言，具有共同的特性，即力場所做的功與路徑無關，只與起點與終點有關。這樣的力稱為保守力。引力與離心力都是保守力。引力位：單位質點受物質M的引力作用產生的位能稱為引力位，或者說將單位質點從無窮遠處移動到該點引力所做的功。即：

第9頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月10地球重力場的基本原理萬有引力定律：推導如下:假設沿力線方向做功為，則有此功等于位能的減少，積分則有：因為r→∞,V=0。所以C=0，則有取m=1，第10頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月11地球重力場的基本原理地球總體的位函數：1、由牛頓第二定律可知：2、對位函數求導：,則有第11頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月12地球重力場的基本原理結論：單位質點的物體在引力場中的加速度等于引力位的導數，方向與徑向方向相反。推論：位對被吸引點各坐標軸的偏導數等于相應坐標軸上的加速度(或引力)向量的負值。

第12頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月13地球重力場的基本原理離心力位

在離心力場中，

第13頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月14地球重力場的基本原理3.2.3重力位重力是引力和離心力的合力，重力位W是引力位V和離心力位Q之和：對三坐標軸求偏導數求得重力的分力或重力加速度分量：第14頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月15各分力的模：方向余弦：

重力位在任意方向的偏導數等于重力在該方向上的分力：

地球重力場的基本原理第15頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月16地球重力場的基本原理當g與l相垂直時，那么dＷ=0，Ｗ＝常數當給出不同的常數值，就得到一簇曲面，稱為重力等位面，也就是我們通常說的水準面?？梢娝疁拭嬗袩o窮多個。其中，我們把完全靜止的海水面所形成的重力等位面，專稱它為大地水準面。如果令g與l夾角等于π，則有：水準面之間既不平行，也不相交和相切。第16頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月17

對于某一單位質點而言，作用其上的重力在數值上等于使它產生的重力加速度的數值，所以重力即采用重力加速度的量綱，單位是：伽(Gal=cms－２)，毫伽(mGal=Gal/1000=10－５ms－２)微伽(μGal=mGal/1000=10－８ms－２)1、地面點重力近似值980Gal，赤道重力值978Gal，兩極重力值983Gal。由于地球的極曲率及周日運動的原因，重力有從赤道向兩極增大的趨勢。2、地球上重力的大小與方向只與被吸引點的位置有關，理論上應該是常數，但重力是隨時間變化而變化，即相同的點在不同的時刻所觀測到的重力不相同。地球重力場的基本原理第17頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月183.2.4地球的正常重力位和正常重力

要精確計算出地球重力位，必須知道地球表面的形狀及內部物質密度，但前者正是我們要研究的，后者分布極其不規(guī)則，目前也無法知道，故根據上式不能精確地求得地球的重力位，為此引進一個與其近似的地球重力位——正常重力位。

地球重力場的基本原理第18頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月19地球重力場的基本原理正常重力位是一個函數簡單、不涉及地球形狀和密度便可直接計算得到的地球重力位的近似值的輔助重力位。當知道了地球正常重力位，想法求出它同地球重力位的差異(稱擾動位)，便可求出大地水準面與這已知形狀(正常位水準面)的差異。最后解決確定地球重力位和地球形狀的問題。1地球引力位的數學表達式

地球慣性矩表達引力位

(方法1)設地球上的點坐標為:地球表面點坐標為:與與第19頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月20建立空間直角坐標系與球面極坐標系地球重力場的基本原理第20頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月21地球重力場的基本原理由于第21頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月22地球重力場的基本原理理論力學可知：物體的重心為定義坐標系：

，則有：

第22頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月23用球諧函數表達地球引力位（方法2）

勒讓德多項式地球重力場的基本原理第23頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月24地球重力場的基本原理第24頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月25地球重力場的基本原理

勒讓德多項式中：稱為n階主球函數(或帶球函數)，稱為n階K級的勒讓德締合函數(或伴隨函數)。

稱為締合球函數(其中，當k=n時稱為扇球函數，當k≠n時稱為田球函數)

第25頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月26地球重力場的基本原理用球諧函數表示的地球引力位的公式

2地球正常重力位

第26頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月27地球重力場的基本原理當選取前3項時，將重力位W寫成U

第27頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月28地球重力場的基本原理現(xiàn)在需要求系數：若地球是旋轉橢球體，則有轉動慣量，將系數代入則有：式中：

第28頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月29地球重力場的基本原理設赤道的離心力與重力之比為：令：則有：第29頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月30地球重力場的基本原理注意：如果正常重力位已知，則對應的正常水準面已知，不同的正常重力位對應不同的正常位水準面，我們尋找的是與大地水準面相近的正常位水準面的形狀，上式中，對r和取不同的常數值，就得到一簇正常位水準面，取，求得與大地水準面相近的正常位水準面方程：

取：，則有第30頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月31地球重力場的基本原理另外，旋轉橢球面的方程：

則有：

4.4.3正常重力公式

因為：

第31頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月32地球重力場的基本原理特例：，赤道正常重力：

，極點處正常重力：令：則有：

上述正常重力公式稱為克萊羅定理。第32頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月33地球重力場的基本原理顧及到扁率的二次項的正常重力公式式中：第33頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月341901～1909年赫爾默特公式：1930年卡西尼公式：1975年國際地球正常重力公式：ＷGS84坐標系中的橢球重力公式：

地球重力場的基本原理第34頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月35高出水準橢球面H米的正常重力計算公式地球重力場的基本原理第35頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月36

4正常重力場參數在物理大地測量中,正常橢球重力場可用4個基本參數決定,即：地球正常(水準)橢球的基本參數，又稱地球大地基準常數是：其中：

地球重力場的基本原理第36頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月373.2.5正常橢球、水準橢球、總地球橢球與參考橢球

正常橢球面是大地水準面的規(guī)則形狀（一般指旋轉橢球面）。因此引入正常橢球后，地球重力位被分成正常重力位和擾動位兩部分，實際重力也被分成正常重力和重力異常兩部分。正常橢球的確定：1、除了確定其M和ω值外，其規(guī)則形狀可以任意選擇。但考慮到實際使用的方便，又顧及幾何大地測量中采用旋轉橢球的實際情況，目前都采用水準橢球作為正常橢球。2、對于正常橢球，除了確定其4個基本參數：a,J２，fM和ω外，也要定位和定向。正常橢球的定位是使其中心和地球質心重合，正常橢球的定向是使其短軸與地軸重合，起始子午面與起始天文子午面重合。

地球重力場的基本原理第37頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月38地球重力場的基本原理總的地球橢球：

一個和整個大地體最為密合的?？偟厍驒E球中心和地球質心重合，總的地球橢球的短軸與地球地軸相重合，起始大地子午面和起始天文子午面重合，總地球橢球和大地體最為密合。從幾何和物理兩個方面來研究全球性問題，我們可把總地球橢球定義為最密合于大地體的正常橢球。正常橢球參數是根據天文大地測量，重力測量及人衛(wèi)觀測資料一起處理確定的，并由國際組織發(fā)布。參考橢球：其大小及定位定向最接近于本國或本地區(qū)的地球橢球。這種最接近，表現(xiàn)在兩個面最接近及同點的法線和垂線最接近。第38頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月393.3.1一般說明

大地高由兩部分組成：地形高部分(含H正或H正常)及大地水準面(或似大地水準面)高部分。地形高基本上確定著地球自然表面的地貌，大地水準面高度又稱大地水準面差距

N，似大地水準面高度又稱高程異常ζ，它們基本上確定著大地水準面或似大地水準面的起伏。因此，大地高可表示為：

3.3高程系統(tǒng)第39頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月40設由O—A—B路線水準測量得到B點的高程由O—N—B線路得到B點高程由于水準面不平行，對應的Δｈ和Δｈ′不相等，水準環(huán)線高程閉合差也不等于零，稱為

理論閉合差。

高程系統(tǒng)第40頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月413.3.2正高系統(tǒng)正高系統(tǒng)是以大地水準面為高程基準面，地面上任一點的正高是該點沿垂線方向至大地水準面的距離。因為無限接近兩水準面其位能差可以寫為

高程系統(tǒng)第41頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月423.3.3正常高系統(tǒng)

將正高系統(tǒng)中不能精確測定的用正常重力代替，便得到另一種系統(tǒng)的高程，稱其為正常高。我國規(guī)定采用正常高高程系統(tǒng)作為我國高程的統(tǒng)一系統(tǒng)。正常高高差的實際計算公式

高程系統(tǒng)第42頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月43說明：1、正常高與正高不同，它不是地面點到大地水準面的距離，而是地面點到一個與大地水準面極為接近的基準面的距離，這個基準面稱為似大地水準面。因此，似大地水準面是由地面沿垂線向下量取正常高所得的點形成的連續(xù)曲面，它不是水準面，只是用以計算的輔助面。因此，我們可以把正常高定義為以似大地水準面為基準面的高程。2、正常高和正高之差,在高山地區(qū)可達4米，在平原地區(qū)數厘米，在海水面上相等，大地水準面的高程原點對似大地水準面也是適用的。

高程系統(tǒng)第43頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月443.3.4力高和地區(qū)力高高程系統(tǒng)同一個重力位水準面上兩點的正高或正常高是不相等的。對于大型水庫等工程項目，它的靜止水面是一個重力等位面，在設計、施工、放樣等工作中，通常要求這個水面是一個等高面。這時若繼續(xù)采用正常高或正高顯然是不合適的，為了解決這個矛盾，可以采用所謂力高系統(tǒng)，它按下式定義：

高程系統(tǒng)第44頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月45注意：說明力高是區(qū)域性的，主要用于大型水庫等工程建設中。它不能作為國家統(tǒng)一高程系統(tǒng)。在工程測量中，應根據測量范圍大小，測量任務的性質和目的等因素，合理地選擇正常高，力高或區(qū)域力高作為工程的高程系統(tǒng)。

高程系統(tǒng)第45頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月463.3.5國家高程基準1、高程基準面

高程基準面：就是地面點高程的統(tǒng)一起算面，由于大地水準面所形成的體形——大地體是與整個地球最為接近的體形，因此通常采用大地水準面作為高程基準面。高程基準面的確定：在海洋近岸的一點處豎立水位標尺，成年累月地觀測海水面的水位升降，根據長期觀測的結果可以求出該點處海洋水面的平均位置，假定大地水準面就是通過這點處實測的平均海水面。驗潮、驗潮站

高程系統(tǒng)第46頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月471956年黃海高程系統(tǒng)：1950年至1956年7年間青島驗潮站的潮汐資料推求的平均海水面作為我國的高程基準面。1985國家高程基準：根據青島驗潮站1952～1979年中取19年的驗潮資料計算確定，并從1988年1月1日開始啟用。

高程系統(tǒng)第47頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月482、水準原點

為了長期、牢固地表示出高程基準面的位置，作為傳遞高程的起算點，必須建立穩(wěn)固的水準起算點，用精密水準測量方法將它與驗潮站的水準標尺進行聯(lián)測，以高程基準面為零推求水準原點的高程。高程系統(tǒng)第48頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月491956年黃海高程系統(tǒng)中，我國水準原點的高程為72.289m1985國家高程基準系統(tǒng)中，我國水準原點的高程為72.260m。地面上的點相對于高程基準面的高度，通常稱為絕對高程或海拔高程，也簡稱為標高或高程。海洋的深度也是相對于高程基準面而言的，例如太平洋的平均深度為4000m，就是說在高程基準面以下4000m。

高程系統(tǒng)第49頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月503.4測定垂線偏差和大地水準面差距的基本概念

大地坐標同天文坐標的區(qū)別主要是由同一點的法線和垂線不一致，亦即由垂線偏差引起的。地面一點上的重力向量g和相應橢球面上的法線向量n之間的夾角定義為該點的垂線偏差。很顯然，根據所采用的橢球不同可分為絕對垂線偏差及相對垂線偏差，垂線同總地球橢球(或參考橢球)法線構成的角度稱為絕對(或相對)垂線偏差，它們統(tǒng)稱為天文大地垂線偏差。

第50頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月51圖中，u是垂線偏差，ξ、η分別是u在子午圈和卯酉圈上的分量

垂線偏差第51頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月52垂線偏差1、天文大地測量方法

在天文大地點上，既進行大地測量取得大地坐標(B,L)，又進行天文測量取得天文坐標(φ，λ）。

2、重力測量方法建立擾動位與垂線偏差的關系，即擾動位與觀測量(重力異常)的函數第52頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月53垂線偏差維寧.曼尼茲公式此公式是在假定大地水準面之外沒有擾動物質及全球重力異常Δｇ都已知的情況下推導的。然而這兩個條件都還不能實現(xiàn)，所以重力方法至今也沒有得到獨立的應用。第53頁，課件共65頁，創(chuàng)作于2023年2月543、天文重力方法

綜合利用天文大地方法和重力測量方法來確定垂線偏差

4、GPS測量方法

在GPS相對定位中，只要測出基線長D，大地方位角A及高程異常差Δζ，便可求得垂線偏差。但這種方法應用是有條件的，比如，地形平坦，基線不長，精度要求較低等。

垂線偏差第54頁，課件