2021 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

數(shù)學（北京卷）第頁（共7頁）2021年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學本試卷共7頁，150分?？荚嚂r長120分鐘?？忌鷦毡貙⒋鸢复鹪诖痤}卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1）已知集合，，則（A） （B）（C） （D）（2）若復數(shù)z滿足，則z=（A）-1-I （B）-1+i（C）1-i （D）1+i（3）設函數(shù)的定義域為[0,1]，則“在區(qū)間[0,1]上單調遞增”是“在區(qū)間[0,1]上的最大值為”的（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件（4）某四面體的三視圖如圖所示，該四面體的表面積為A.B.C.D.（5）若雙曲線，的離心率為2，且過點，則雙曲線的方程為（A） （B）2（C） （D）（6）《中國共產(chǎn)黨黨旗黨徽制作和使用的若干規(guī)定》指出，中國共產(chǎn)黨黨旗為旗面綴有金黃色黨徽圖案的紅旗，通用規(guī)格有五種．這五種規(guī)格黨旗的長（單位：cm）成等差數(shù)列，對應的寬為（單位：cm），且長與寬之比都相等．已知，，，則=（A）64 （B）96（C）128 （D）160（7）函數(shù)是（A）奇函數(shù)，且最大值為2 （B）偶函數(shù)，且最大值為2（C）奇函數(shù)，且最大值為 （D）偶函數(shù)，且最大值為（8）某一時段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個時段的降雨量（單位：mm）．24h降雨量的等級劃分如下：等級24h降雨量（精確到0.1）…………小雨0.1~9.9中雨10.0~24.9大雨25.0~49.9暴雨50.0~99.9…………在綜合實踐活動中，某小組自制了一個底面直徑為200mm，高為300mm的圓錐形雨量器．若一次降雨過程中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如圖所示），則這24h降雨量的等級是（A）小雨 （B）中雨（C）大雨 （D）暴雨（9）已知直線（m為常數(shù)）與圓交于點M,N．當k變化時，若|MN|的最小值為2，則m=（A） （B）（C） （D）（10）已知是各項均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且．若，則n的最大值為（A）9 （B）10（C）11 （D）12

第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）在的展開式中，常數(shù)項為_______．（用數(shù)字作答）（12）已知拋物線的焦點為F，點M在拋物線上，MN垂直x軸于點N．若，則點M的橫坐標為_______；△MNF的面積為_______．（13）已知向量a,b,c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則(a+b)·c=_______；a·b=_______．（14）若點關于y軸的對稱點為，則的一個取值為_______．（15）已知函數(shù)，給出下列四個結論：①當時，恰有2個零點；②存在負數(shù)k，使得恰有1個零點；③存在負數(shù)k，使得恰有3個零點；④存在正數(shù)k，使得恰有3個零點．其中所有正確結論的序號是_______．

三、解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16）（本小題13分）在△ABC中，，.（I）求；（II）再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使△ABC存在且唯一確定，求BC邊上中線的長．條件①：；條件②：△ABC的周長為；條件③：△ABC的面積為.注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．（17）（本小題14分）如圖，在正方體中，E為的中點，與平面CDE交于點F．（Ⅰ）求證：F為的中點；（Ⅱ）若M是棱上一點，且二面角的余弦值為，求的值．（18）（本小題13分）在核酸檢測中，“k合1”混采核酸檢測是指：先將k個人的樣本混合在一起進行1次檢測，如果這k個人都沒有感染新冠病毒，則檢測結果為陰性，得到每人的檢測結果都為陰性，檢測結束；如果這k個人中有人感染新冠病毒，則檢測結果為陽性，此時需對每人再進行1次檢測，得到每人的檢測結果，檢測結束．現(xiàn)對100人進行核酸檢測，假設其中只有2人感染新冠病毒，并假設每次檢測結果準確．（I）將這100人隨機分成10組，每組10人，且對每組都采用“10合1”混采核酸檢測．（?。┤绻腥拘鹿诓《镜?人在同一組，求檢測的總次數(shù)；（ⅱ）已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為.設X是檢測的總次數(shù)，求X的分布列與數(shù)學期望EX．（Ⅱ）將這100人隨機分成20組，每組5人，且對每組都采用“5合1”混采核酸檢測.設Y是檢測的總次數(shù)，試判斷數(shù)學期望EY與（Ⅰ）中EX的大小．（結論不要求證明）（19）（本小題15分）已知函數(shù).（Ⅰ）若，求曲線在點(1,f(1))處的切線方程；（Ⅱ）若在處取得極值，求的單調區(qū)間，并求其最大值與最小值．（20）（本小題15分）已知橢圓的一個頂點為A(0,2)，以橢圓E的四個頂點為頂點的四邊形面積為．（Ⅰ）求橢圓E的方程；（Ⅱ）過點P(0,-3)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B,C，直線AB,AC分別與直線交于點M,N．當時，求k的取值范圍．

（21）（本小題15分）設p為實數(shù)．若無窮數(shù)列滿足如下三個性質，則稱為數(shù)列：①，且；②；③．（Ⅰ）如果數(shù)列的前四項為2,-2,-2,-1，那么是否可能為數(shù)列？說明理由；（Ⅱ）若數(shù)列是數(shù)列，求；（Ⅲ）設數(shù)列的前n項和為．是否存在數(shù)列，使得恒成立？如果存在，求出所有的p；如果不存在，說明理由．（考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）

2021年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）B （2）D （3）A （4）A （5）B（6）C （7）D （8）B （9）C （10）C二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（11）-4 （12）5 （13）0 3 （14）（答案不唯一）（15）①②④三、解答題（共6小題，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）由正弦定理及，得.因為，所以.又因為，所以.（Ⅱ）選條件②：△ABC的周長為．由（Ⅰ）知，.所以△ABC是頂角為，底角為的等腰三角形．所以．由題設，(2+)a=4+2．所以a=2．設BC邊上中線的長為d．由余弦定理得.所以.故．選條件③：△ABC的面積為由（Ⅰ）知，.所以△ABC是頂角為，底角為的等腰三角形．所以a=b．由題設，.所以．設BC邊上中線的長為d．由余弦定理得所以.故.（17）（共14分）解：（Ⅰ）在正方體中，因為CD//，且平面，所以CD//平面．因為平面平面，所以CD//EF．所以//EF．因為E為的中點，所以F為的中點．（Ⅱ）不妨設正方體的棱長為2．如圖建立空間直角坐標系，則D(0,0,0)，C(0,2,0)，F(xiàn)(1,2,2)．所以(0,2,0)，=(1,0,2).設平面CDE的法向量為m=(x1,y1,z1)，則 即.令，則，.于是m=(-2,0,1)．由題設，存在，使得所以．所以.設平面MFC的法向量為，則 即令，則.于是.由題設，，所以.所以.（18）（共13分）解：（Ⅰ）（?。┮李}意，如果感染新冠病毒的2人在同一組，則該組需要檢測11次，其他9個組都只需要檢測1次，所以檢測總次數(shù)為20．（ⅱ）由（ⅰ）知，當感染新冠病毒的2人分在同一組時，檢測的總次數(shù)是20．當感染新冠病毒的2人分在不同組時，可以求得檢測的總次數(shù)是30．所以隨機變量X的可能取值為20,30．因為感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為所以感染新冠病毒的2人分在不同組的概率為．所以隨機變量X的分布列為：X 20 30P

故隨機變量X的數(shù)學期望.（Ⅱ）．（19）（共15分）解：（Ⅰ）當a=0時，.所以=1，．所以曲線在點(1,f(1))處的切線方程為，即．（Ⅱ）由得.由題意知，所以.故.當時，，.與的情況如下：x (-,-1)-1 (-1,4) 4 (4,+)

+ 0 - 0 +↗ 1 ↘ ↗因此，的單調遞增區(qū)間是(-,-1)和(4,+)，單調遞減區(qū)間是(-1,4)．所以在區(qū)間(-,4]上的最大值是．又因為當(4,+)時，<0，所以是的最大值．同理可知，是的最小值.（20）（共15分）解：（I）.所以.所以橢圓E的方程為.（Ⅱ）直線BC的方程為．由得.由，得.設，，則.直線AB的方程為.令，得點M的橫坐標為.同理可得點N的橫坐標為.由題設，，所以.所以同號.所以.由題設，5|k|≤15．所以1<|k|≤3．所以k的取值范圍是．（21）（本小題15分）解：（I）數(shù)列不可能為數(shù)列.理由如下：因為，所以，.因為.所以數(shù)列不滿足性質③.（Ⅱ）根據(jù)數(shù)列的定義，可知滿足：；；或.或，以及，可知.所以.由或或，以及，可知.由或，以及，可知.（III）假設數(shù)列是滿足“恒成立”的數(shù)列.因為或，且，所以.由，可知.從而或.又因為，所以.因為，且，所以.又因為，所以