第10章-梁的彎曲變形

第10章梁的變形建筑力學(xué)

主講韓志型

西南科技大學(xué)土建學(xué)院力學(xué)教研室§10–1概述§10–2梁的撓曲線(xiàn)近似微分方程§10–3用積分法求梁的變形§10–4用疊加法求梁的變形§10–5梁的剛度條件及提高梁剛度的措施第10章梁的變形學(xué)時(shí)：3關(guān)鍵術(shù)語(yǔ)：撓度，轉(zhuǎn)角，撓曲線(xiàn)，撓度方程，轉(zhuǎn)角方程，邊界條件，連續(xù)條件，光滑條件教學(xué)重點(diǎn)：

1、撓度、轉(zhuǎn)角的概念

2、積分法求梁的撓度和轉(zhuǎn)角

3、疊加法求梁指定截面的撓度和轉(zhuǎn)角

4、剛度條件的應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)

1、撓曲線(xiàn)微分方程的建立

2、撓度、轉(zhuǎn)角函數(shù)的確定要求：

1．理解撓度曲線(xiàn)、撓度、轉(zhuǎn)角的概念以及它們之間的關(guān)系；

2、了解梁的撓曲線(xiàn)近似微分方程的應(yīng)用條件，掌握梁撓曲線(xiàn)的近似微分方程；

3、掌握用積分法求梁的變形；

4、熟練運(yùn)用疊加法求梁的變形。

5、熟練運(yùn)用剛度條件，解決剛度校核、截面設(shè)計(jì)和確定容許荷載問(wèn)題?！?0-1概述

工程中的彎曲變形問(wèn)題吊車(chē)梁行車(chē)電葫蘆6彎曲變形高架橋研究目的：①對(duì)梁作剛度校核；②解超靜定梁（變形幾何條件提供補(bǔ)充方程）。研究范圍：等直梁在平面彎曲時(shí)位移的計(jì)算。

工程中的彎曲變形問(wèn)題一、梁的變形特征一、梁的變形特征梁軸線(xiàn)由直線(xiàn)變成曲線(xiàn)。梁軸線(xiàn)由直線(xiàn)變成光滑曲線(xiàn)梁的變形特征？

？思考1、梁的變形如何度量？

2、這些曲線(xiàn)可用方程描述嗎？3、曲線(xiàn)上一點(diǎn)包含了哪些信息？2.轉(zhuǎn)角：橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角度。用

表示，順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)。

3.橫截面形心沿軸線(xiàn)方向的線(xiàn)位移△x。在小變形情況下，△x很小，通常被忽略不計(jì)。

度量梁變形的兩個(gè)基本位移量：撓度和轉(zhuǎn)角二、度量梁變形的兩個(gè)基本位移量PxvCC’vqα1.撓度：橫截面形心沿垂直于軸線(xiàn)方向的線(xiàn)位移。用v表示。

v向下為正，反之為負(fù)。

撓度曲線(xiàn)——指梁在彈性范圍內(nèi)的荷載作用下，梁的軸線(xiàn)將彎曲成一條連續(xù)光滑的曲線(xiàn)，該曲線(xiàn)稱(chēng)為撓度曲線(xiàn)，簡(jiǎn)稱(chēng)為撓曲線(xiàn)。撓曲線(xiàn)方程——用來(lái)描述撓曲線(xiàn)的方程稱(chēng)為撓曲線(xiàn)方程。三、撓曲線(xiàn)與撓曲線(xiàn)方程PxvCqC’v撓曲線(xiàn)上任一點(diǎn)的縱坐標(biāo)v（x）即為該點(diǎn)的橫截面的撓度?？梢?jiàn)：梁的任一橫截面的轉(zhuǎn)角，等于撓曲線(xiàn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的切線(xiàn)的斜率。四、轉(zhuǎn)角與撓度的關(guān)系小變形轉(zhuǎn)角單位為弧度。PxvCqC’vα推導(dǎo)純彎梁橫截面正應(yīng)力時(shí)，得到撓曲線(xiàn)的曲率公式：忽略剪力對(duì)變形的影響，也可用上式計(jì)算橫力彎曲梁的變形：§10-2撓曲線(xiàn)的近似微分方程以撓曲線(xiàn)的曲率來(lái)度量梁彎曲變形的程度。顯然，在純彎曲時(shí)，曲率為常數(shù)，其撓曲線(xiàn)為一圓弧。在橫力彎曲時(shí)，曲率與彎矩成正比。PD由數(shù)學(xué)知識(shí)可知：平面曲線(xiàn)的曲率公式為略去高階小量，得所以在小變形（小撓度）其中的正負(fù)號(hào)與彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)則和v坐標(biāo)的取向有關(guān)。vxM>0vxM<0vxM>0vxM＜0由彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定可得，彎矩的符號(hào)與撓曲線(xiàn)的二階導(dǎo)數(shù)符號(hào)相反，所以取負(fù)號(hào)，撓曲線(xiàn)的近似微分方程為：由上式進(jìn)行積分，就可以求出梁橫截面的轉(zhuǎn)角和撓度。vxM>0vxM<0撓曲線(xiàn)近似微分方程適用條件：線(xiàn)彈性范圍內(nèi)小變形平面彎曲。撓曲線(xiàn)的近似微分方程

？思考1、梁的變形如何度量？

2、這些曲線(xiàn)可用方程描述嗎？3、曲線(xiàn)上一點(diǎn)包含了哪些信息？PxvCvq一、轉(zhuǎn)角方程和撓曲線(xiàn)方程1.微分方程的積分§10-3用積分法求梁的變形對(duì)于等截面直梁，EI是常數(shù)，撓曲線(xiàn)近似微分方程：積分一次積分二次轉(zhuǎn)角方程撓曲線(xiàn)方程討論：（1）梁的彎矩M(x)可用一個(gè)函數(shù)描述時(shí)，積分常數(shù)僅2個(gè)，由支承約束條件確定；（2）梁上有突變荷載將梁分成幾段，則各段梁的彎矩方程M(x)不同，因而各段的轉(zhuǎn)角和撓度具有不同的函數(shù)形式，應(yīng)分段積分，每一段的積分常數(shù)有2個(gè)，這些常數(shù)由支承約束條件和分段點(diǎn)連續(xù)光滑條件確定。

2.求積分常數(shù)PD（1）支點(diǎn)位移條件：（2)連續(xù)條件：(3)光滑條件：PABC例1用積分法求撓曲線(xiàn)方程時(shí)，試問(wèn)下列梁的撓曲線(xiàn)近似微分方程應(yīng)分幾段，將分別出現(xiàn)幾個(gè)積分常數(shù)，確定積分常數(shù)的條件是什么?解（1）分AB、BC2段，4個(gè)積分常數(shù)CqBaaaAＦ(1)支座條件：連續(xù)條件：光滑條件：例1用積分法求撓曲線(xiàn)方程時(shí)，試問(wèn)下列梁的撓曲線(xiàn)近似微分方程應(yīng)分幾段，將分別出現(xiàn)幾個(gè)積分常數(shù)，確定積分常數(shù)的條件是什么?解（2）分AB、BC2段，4個(gè)積分常數(shù)EI1EI2aPaCx(2)支座條件：連續(xù)條件：光滑條件：例1用積分法求撓曲線(xiàn)方程時(shí)，試問(wèn)下列梁的撓曲線(xiàn)近似微分方程應(yīng)分幾段，將分別出現(xiàn)幾個(gè)積分常數(shù)，確定積分常數(shù)的條件是什么?解（3）分AB、BC2段，4個(gè)積分常數(shù)B(3)支座條件：連續(xù)條件：B鉸處光滑條件不滿(mǎn)足，左右兩截面可相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，例2求等截面直梁AB的撓曲線(xiàn)方程、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。

建立坐標(biāo)系并寫(xiě)出彎矩方程

寫(xiě)出微分方程并積分

應(yīng)用位移邊界條件求積分常數(shù)解：xPLv(1)(2)

寫(xiě)出撓曲線(xiàn)方程和轉(zhuǎn)角方程，并畫(huà)出撓曲線(xiàn)

最大撓度及最大轉(zhuǎn)角xvPL例3簡(jiǎn)支梁受集中力F作用，求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求C截面的撓度和A截面的轉(zhuǎn)角。已知梁的EI，l=a+b，a>b。解：1）由梁整體平衡分析得：2）彎矩方程AC段：CB段：HA3）列撓曲線(xiàn)近似微分方程并積分AC段：CB段：l4）由邊界條件確定積分常數(shù)代入求解，得位移邊界條件光滑連續(xù)條件（1）（2）（3）（4）l5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程AC段：CB段：（1）（2）（3）（4）l6）確定C截面的撓度：7）確定A截面轉(zhuǎn)角：將x1=a代入v1或?qū)2=a代入v2將x1=0代入（1）式：l疊加原理：多個(gè)載荷同時(shí)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形

等于每個(gè)載荷單獨(dú)作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和?！?0-3疊加法求梁的撓度與轉(zhuǎn)角計(jì)算時(shí)可查表10-1（p194）。疊加原理適用條件：小變形、材料服從胡克定律。例4按疊加原理求A點(diǎn)轉(zhuǎn)角和C點(diǎn)

撓度。解、

載荷分解如圖

查梁的簡(jiǎn)單載荷變形表：qqPP=+AAABBB

CaaqqPP=+AAABBB

Caa

疊加例5按疊加原理求B點(diǎn)轉(zhuǎn)角和撓度。解、

載荷分解如圖qabqCabqCab=+（1）（2）（1）

（2）

查梁的簡(jiǎn)單載荷變形表：疊加：qabqCabqCab=+（1）（2）（1）

（2）

一、梁的剛度條件其中[v]稱(chēng)為許用撓度。§10-4梁的剛度條件及提高梁剛度的措施建筑工程中的梁主要是強(qiáng)度條件控制，即按強(qiáng)度條件設(shè)計(jì)出梁的截面尺寸，然后進(jìn)行剛度校核。剛度條件就是將最大撓度控制在一定范圍內(nèi)，而對(duì)轉(zhuǎn)角一般不要求。建筑鋼梁的許可撓跨比：例6圖示一圓木桁條，d=11.62cm、l=3.6m，E=104MPa，q=1.04kN/m，桁條的容許撓度[v]=l/200,試校核此桁條的剛度。qBAlvmax解：

查表可見(jiàn)，不滿(mǎn)足剛度條件。因此需重新設(shè)計(jì)圓木的直徑。qBAlvmax（2）重新設(shè)計(jì)桁條尺寸

根據(jù)剛度條件：例6圖示一圓木桁條，d=11.62cm、l=3.6m，E=104MPa，q=1.04kN/m，桁條的容許撓度[v]=l/200,試校核此桁條的剛度。二、提高梁剛度的主要措施撓曲線(xiàn)微分方程：轉(zhuǎn)角：1、選擇合理的截面形狀，以增大截面慣性矩Iz2、盡量減小梁的跨度或長(zhǎng)度，減少?gòu)澗財(cái)?shù)值3、改善梁的受力情況4、改變支座形式

提高彎曲剛度的措施，就是減小結(jié)構(gòu)的最大變形，根據(jù)上面所述的變形公式，可得相應(yīng)的措施。1、選擇合理的截面形狀