第10章-梁的彎曲變形

第10章梁的變形建筑力學

主講韓志型

西南科技大學土建學院力學教研室§10–1概述§10–2梁的撓曲線近似微分方程§10–3用積分法求梁的變形§10–4用疊加法求梁的變形§10–5梁的剛度條件及提高梁剛度的措施第10章梁的變形學時：3關鍵術語：撓度，轉(zhuǎn)角，撓曲線，撓度方程，轉(zhuǎn)角方程，邊界條件，連續(xù)條件，光滑條件教學重點：

1、撓度、轉(zhuǎn)角的概念

2、積分法求梁的撓度和轉(zhuǎn)角

3、疊加法求梁指定截面的撓度和轉(zhuǎn)角

4、剛度條件的應用教學難點

1、撓曲線微分方程的建立

2、撓度、轉(zhuǎn)角函數(shù)的確定要求：

1．理解撓度曲線、撓度、轉(zhuǎn)角的概念以及它們之間的關系；

2、了解梁的撓曲線近似微分方程的應用條件，掌握梁撓曲線的近似微分方程；

3、掌握用積分法求梁的變形；

4、熟練運用疊加法求梁的變形。

5、熟練運用剛度條件，解決剛度校核、截面設計和確定容許荷載問題?！?0-1概述

工程中的彎曲變形問題吊車梁行車電葫蘆6彎曲變形高架橋研究目的：①對梁作剛度校核；②解超靜定梁（變形幾何條件提供補充方程）。研究范圍：等直梁在平面彎曲時位移的計算。

工程中的彎曲變形問題一、梁的變形特征一、梁的變形特征梁軸線由直線變成曲線。梁軸線由直線變成光滑曲線梁的變形特征？

？思考1、梁的變形如何度量？

2、這些曲線可用方程描述嗎？3、曲線上一點包含了哪些信息？2.轉(zhuǎn)角：橫截面繞其中性軸轉(zhuǎn)動的角度。用

表示，順時針轉(zhuǎn)動為正，反之為負。

3.橫截面形心沿軸線方向的線位移△x。在小變形情況下，△x很小，通常被忽略不計。

度量梁變形的兩個基本位移量：撓度和轉(zhuǎn)角二、度量梁變形的兩個基本位移量PxvCC’vqα1.撓度：橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移。用v表示。

v向下為正，反之為負。

撓度曲線——指梁在彈性范圍內(nèi)的荷載作用下，梁的軸線將彎曲成一條連續(xù)光滑的曲線，該曲線稱為撓度曲線，簡稱為撓曲線。撓曲線方程——用來描述撓曲線的方程稱為撓曲線方程。三、撓曲線與撓曲線方程PxvCqC’v撓曲線上任一點的縱坐標v（x）即為該點的橫截面的撓度?？梢姡毫旱娜我粰M截面的轉(zhuǎn)角，等于撓曲線在對應點的切線的斜率。四、轉(zhuǎn)角與撓度的關系小變形轉(zhuǎn)角單位為弧度。PxvCqC’vα推導純彎梁橫截面正應力時，得到撓曲線的曲率公式：忽略剪力對變形的影響，也可用上式計算橫力彎曲梁的變形：§10-2撓曲線的近似微分方程以撓曲線的曲率來度量梁彎曲變形的程度。顯然，在純彎曲時，曲率為常數(shù)，其撓曲線為一圓弧。在橫力彎曲時，曲率與彎矩成正比。PD由數(shù)學知識可知：平面曲線的曲率公式為略去高階小量，得所以在小變形（小撓度）其中的正負號與彎矩的正負號規(guī)則和v坐標的取向有關。vxM>0vxM<0vxM>0vxM＜0由彎矩的正負號規(guī)定可得，彎矩的符號與撓曲線的二階導數(shù)符號相反，所以取負號，撓曲線的近似微分方程為：由上式進行積分，就可以求出梁橫截面的轉(zhuǎn)角和撓度。vxM>0vxM<0撓曲線近似微分方程適用條件：線彈性范圍內(nèi)小變形平面彎曲。撓曲線的近似微分方程

？思考1、梁的變形如何度量？

2、這些曲線可用方程描述嗎？3、曲線上一點包含了哪些信息？PxvCvq一、轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程1.微分方程的積分§10-3用積分法求梁的變形對于等截面直梁，EI是常數(shù)，撓曲線近似微分方程：積分一次積分二次轉(zhuǎn)角方程撓曲線方程討論：（1）梁的彎矩M(x)可用一個函數(shù)描述時，積分常數(shù)僅2個，由支承約束條件確定；（2）梁上有突變荷載將梁分成幾段，則各段梁的彎矩方程M(x)不同，因而各段的轉(zhuǎn)角和撓度具有不同的函數(shù)形式，應分段積分，每一段的積分常數(shù)有2個，這些常數(shù)由支承約束條件和分段點連續(xù)光滑條件確定。

2.求積分常數(shù)PD（1）支點位移條件：（2)連續(xù)條件：(3)光滑條件：PABC例1用積分法求撓曲線方程時，試問下列梁的撓曲線近似微分方程應分幾段，將分別出現(xiàn)幾個積分常數(shù)，確定積分常數(shù)的條件是什么?解（1）分AB、BC2段，4個積分常數(shù)CqBaaaAＦ(1)支座條件：連續(xù)條件：光滑條件：例1用積分法求撓曲線方程時，試問下列梁的撓曲線近似微分方程應分幾段，將分別出現(xiàn)幾個積分常數(shù)，確定積分常數(shù)的條件是什么?解（2）分AB、BC2段，4個積分常數(shù)EI1EI2aPaCx(2)支座條件：連續(xù)條件：光滑條件：例1用積分法求撓曲線方程時，試問下列梁的撓曲線近似微分方程應分幾段，將分別出現(xiàn)幾個積分常數(shù)，確定積分常數(shù)的條件是什么?解（3）分AB、BC2段，4個積分常數(shù)B(3)支座條件：連續(xù)條件：B鉸處光滑條件不滿足，左右兩截面可相對轉(zhuǎn)動，例2求等截面直梁AB的撓曲線方程、最大撓度及最大轉(zhuǎn)角。

建立坐標系并寫出彎矩方程

寫出微分方程并積分

應用位移邊界條件求積分常數(shù)解：xPLv(1)(2)

寫出撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并畫出撓曲線

最大撓度及最大轉(zhuǎn)角xvPL例3簡支梁受集中力F作用，求梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程，并求C截面的撓度和A截面的轉(zhuǎn)角。已知梁的EI，l=a+b，a>b。解：1）由梁整體平衡分析得：2）彎矩方程AC段：CB段：HA3）列撓曲線近似微分方程并積分AC段：CB段：l4）由邊界條件確定積分常數(shù)代入求解，得位移邊界條件光滑連續(xù)條件（1）（2）（3）（4）l5）確定轉(zhuǎn)角方程和撓度方程AC段：CB段：（1）（2）（3）（4）l6）確定C截面的撓度：7）確定A截面轉(zhuǎn)角：將x1=a代入v1或?qū)2=a代入v2將x1=0代入（1）式：l疊加原理：多個載荷同時作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形

等于每個載荷單獨作用于結(jié)構(gòu)而引起的變形的代數(shù)和?！?0-3疊加法求梁的撓度與轉(zhuǎn)角計算時可查表10-1（p194）。疊加原理適用條件：小變形、材料服從胡克定律。例4按疊加原理求A點轉(zhuǎn)角和C點

撓度。解、

載荷分解如圖

查梁的簡單載荷變形表：qqPP=+AAABBB

CaaqqPP=+AAABBB

Caa

疊加例5按疊加原理求B點轉(zhuǎn)角和撓度。解、

載荷分解如圖qabqCabqCab=+（1）（2）（1）

（2）

查梁的簡單載荷變形表：疊加：qabqCabqCab=+（1）（2）（1）

（2）

一、梁的剛度條件其中[v]稱為許用撓度?！?0-4梁的剛度條件及提高梁剛度的措施建筑工程中的梁主要是強度條件控制，即按強度條件設計出梁的截面尺寸，然后進行剛度校核。剛度條件就是將最大撓度控制在一定范圍內(nèi)，而對轉(zhuǎn)角一般不要求。建筑鋼梁的許可撓跨比：例6圖示一圓木桁條，d=11.62cm、l=3.6m，E=104MPa，q=1.04kN/m，桁條的容許撓度[v]=l/200,試校核此桁條的剛度。qBAlvmax解：

查表可見，不滿足剛度條件。因此需重新設計圓木的直徑。qBAlvmax（2）重新設計桁條尺寸

根據(jù)剛度條件：例6圖示一圓木桁條，d=11.62cm、l=3.6m，E=104MPa，q=1.04kN/m，桁條的容許撓度[v]=l/200,試校核此桁條的剛度。二、提高梁剛度的主要措施撓曲線微分方程：轉(zhuǎn)角：1、選擇合理的截面形狀，以增大截面慣性矩Iz2、盡量減小梁的跨度或長度，減少彎矩數(shù)值3、改善梁的受力情況4、改變支座形式

提高彎曲剛度的措施，就是減小結(jié)構(gòu)的最大變形，根據(jù)上面所述的變形公式，可得相應的措施。1、選擇合理的截面形狀