第八章 章末復(fù)習(xí)課

章末復(fù)習(xí)課一、變量的相關(guān)性1．變量的相關(guān)關(guān)系與樣本相關(guān)系數(shù)是學(xué)習(xí)一元線性回歸模型的前提和基礎(chǔ)，前者可借助散點圖從直觀上分析變量間的相關(guān)性，后者從數(shù)量上準(zhǔn)確刻化了兩個變量的相關(guān)程度．2．在學(xué)習(xí)該部分知識時，體會直觀想象和數(shù)學(xué)運算的素養(yǎng)．例1(1)下列兩個變量具有相關(guān)關(guān)系且不是函數(shù)關(guān)系的是()A．圓的半徑與面積B．勻速行駛的車輛的行駛距離與時間C．莊稼的產(chǎn)量與施肥量D．人的身高與視力答案C解析對于A，圓的半徑與面積是確定的關(guān)系，是函數(shù)關(guān)系；對于B，勻速行駛的車輛的行駛距離與時間是確定的關(guān)系，是函數(shù)關(guān)系；對于C，莊稼的產(chǎn)量與施肥量在一定范圍內(nèi)有相關(guān)關(guān)系，不是函數(shù)關(guān)系；對于D，人的身高與視力，不具有相關(guān)關(guān)系，也不是函數(shù)關(guān)系．故選C.(2)在一次試驗中，測得(x，y)的四組值分別為(1,2)，(2,0)，(4，－4)，(－1,6)，則y與x的樣本相關(guān)系數(shù)為________．答案－1解析方法一eq\x\to(x)＝1.5，eq\x\to(y)＝1，eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(2,i)＝22，eq\i\su(i＝1,4,y)eq\o\al(2,i)＝56，eq\i\su(i＝1,4,x)iyi＝－20，樣本相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(－20－4×1.5×1,\r(22－4×1.5256－4×12))＝－1.方法二觀察四個點，發(fā)現(xiàn)其在一條單調(diào)遞減的直線上，故y與x的樣本相關(guān)系數(shù)為－1.反思感悟變量相關(guān)性的判斷的兩種方法(1)散點圖法：直觀形象．(2)公式法：可用公式精確計算，需注意特殊情形的樣本相關(guān)系數(shù)．如點在一條直線上，|r|＝1，且當(dāng)r＝1時，正相關(guān)；r＝－1時，負(fù)相關(guān)．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知變量x和y滿足關(guān)系y＝－2x＋1，變量y與z正相關(guān)，下列結(jié)論中正確的是()A．x與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)B．x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)C．x與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)D．x與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān)答案C解析根據(jù)題意，變量x和y滿足關(guān)系y＝－2x＋1，其比例系數(shù)為－2<0，所以x與y負(fù)相關(guān)；又由變量y與z正相關(guān)，則x與z負(fù)相關(guān)．故選C.(2)如圖所示，給出了樣本容量均為7的A，B兩組成對樣本數(shù)據(jù)的散點圖，已知A組成對樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為r1，B組成對樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為r2，則()A．r1＝r2 B．r1<r2C．r1>r2 D．無法判定答案C解析根據(jù)A，B兩組成對樣本數(shù)據(jù)的散點圖知，A組成對樣本數(shù)據(jù)幾乎在一條直線上，且成正相關(guān)，∴樣本相關(guān)系數(shù)為r1應(yīng)最接近1，B組成對樣本數(shù)據(jù)分散在一條直線附近，也成正相關(guān)，∴樣本相關(guān)系數(shù)為r2，滿足r2<r1，即r1>r2，故選C.二、一元線性回歸模型及其應(yīng)用1．該知識點是具有線性相關(guān)關(guān)系的兩變量的一種擬合應(yīng)用，目的是借助函數(shù)的思想對實際問題做出預(yù)測和分析．2．主要培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模和數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng)．例2一商場對每天進(jìn)店人數(shù)和商品銷售件數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計對比，得到如下表格：人數(shù)xi10152025303540件數(shù)yi471215202327其中i＝1,2,3,4,5,6,7.(1)以每天進(jìn)店人數(shù)為橫坐標(biāo)，每天商品銷售件數(shù)為縱坐標(biāo)，畫出散點圖；(2)求經(jīng)驗回歸方程；(結(jié)果保留到小數(shù)點后兩位)(3)預(yù)測進(jìn)店人數(shù)為80時商品銷售的件數(shù)．(結(jié)果保留整數(shù))參考公式：經(jīng)驗回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).解(1)由表中數(shù)據(jù)，畫出7個數(shù)據(jù)點，可得散點圖如圖所示．(2)∵eq\i\su(i＝1,7,x)iyi＝3245，eq\x\to(x)＝25，eq\x\to(y)≈15.43，eq\i\su(i＝1,7,x)eq\o\al(2,i)＝5075,7eq\x\to(x)2＝4375.∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,7,x)iyi－7\x\to(x)·\x\to(y),\i\su(i＝1,7,x)\o\al(2,i)－7\x\to(x)2)≈0.777，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝－4.00.∴經(jīng)驗回歸方程是eq\o(y,\s\up6(^))＝0.78x－4.00.(3)進(jìn)店人數(shù)為80時，商品銷售的件數(shù)eq\o(y,\s\up6(^))＝0.78×80－4.00≈58(件)．反思感悟解決回歸分析問題的一般步驟(1)畫散點圖．根據(jù)已知數(shù)據(jù)畫出散點圖．(2)判斷變量的相關(guān)性并求經(jīng)驗回歸方程．通過觀察散點圖，直觀感知兩個變量是否具有相關(guān)關(guān)系；在此基礎(chǔ)上，利用最小二乘法求回歸系數(shù)，然后寫出經(jīng)驗回歸方程．(3)回歸分析．畫殘差圖或計算R2，進(jìn)行殘差分析．(4)實際應(yīng)用．依據(jù)求得的經(jīng)驗回歸方程解決實際問題．跟蹤表：房屋面積/m211511080135105銷售價格/萬元24.821.618.429.222(1)畫出數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點圖；(2)求經(jīng)驗回歸方程；(3)根據(jù)(2)的結(jié)果，估計當(dāng)房屋面積為150m2時的銷售價格．解(1)設(shè)x軸表示房屋的面積，y軸表示銷售價格，數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點圖如圖．(2)由(1)知y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，可設(shè)其經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，依據(jù)題中的數(shù)據(jù)，可得出eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)eq\i\su(i＝1,5,x)i＝109，eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\x\to(x))2＝1570，eq\x\to(y)＝eq\f(1,5)eq\i\su(i＝1,5,y)i＝23.2，eq\i\su(i＝1,5,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝308，∴eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,5,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(308,1570)≈0.1962，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)≈23.2－0.1962×109＝1.8142.故所求經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.1962x＋1.8142.(3)由(2)知當(dāng)x＝150時，銷售價格的估計值為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.1962×150＋1.8142＝31.2442(萬元)．故當(dāng)房屋面積為150m2時，估計銷售價格是31.2442萬元．三、非線性經(jīng)驗回歸方程1．在實際問題中，并非所有的變量關(guān)系均滿足線性關(guān)系，故要選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型去擬合樣本數(shù)據(jù)，再通過代數(shù)變換，把非線性問題線性化．2．體現(xiàn)數(shù)學(xué)建模的優(yōu)劣，提升數(shù)據(jù)分析的素養(yǎng)．例3某公司為確定下一年度投入產(chǎn)品的宣傳費，需了解年宣傳費x(單位：千元)對年銷售量y(單位：t)和年利潤z(單位：千元)的影響，于是對近8年的宣傳費xi和年銷售量yi(i＝1,2，…，8)的數(shù)據(jù)進(jìn)行了初步處理，得到如圖所示的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．eq\x\to(x)eq\x\to(y)eq\x\to(w)eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))2eq\i\su(i＝1,8,)(wi－eq\x\to(w))2eq\i\su(i＝1,8,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))eq\i\su(i＝1,8,)(wi－eq\x\to(w))(yi－eq\x\to(y))46.65636.8289.81.61469108.8注：表中wi＝eq\r(xi)，eq\x\to(w)＝eq\f(1,8)eq\i\su(i＝1,8,w)i.(1)根據(jù)散點圖判斷，eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x與eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(c,\s\up6(^))＋eq\o(d,\s\up6(^))eq\r(x)哪一個適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程模型？(給出判斷即可，不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x，y之間的關(guān)系為z＝0.2y－x，根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題．①當(dāng)年宣傳費x＝49時，年銷售量及年利潤的預(yù)報值是多少？②年宣傳費x為何值時，年利潤的估計值最大？解(1)由散點圖可以判斷，eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(c,\s\up6(^))＋eq\o(d,\s\up6(^))eq\r(x)適宜作為年銷售量y關(guān)于年宣傳費x的回歸方程模型．(2)令w＝eq\r(x)，先建立y關(guān)于w的經(jīng)驗回歸方程．由于eq\o(d,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,8,)wi－\x\to(w)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,8,)wi－\x\to(w)2)＝eq\f(108.8,1.6)＝68，eq\o(c,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(d,\s\up6(^))eq\x\to(w)＝563－68×6.8＝100.6，所以y關(guān)于w的經(jīng)驗回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68w，因此y關(guān)于x的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq\r(x).(3)①由(2)知，當(dāng)x＝49時，年銷售量y的估計值eq\o(y,\s\up6(^))＝100.6＋68eq\r(49)＝576.6，年利潤z的估計值eq\o(z,\s\up6(^))＝576.6×0.2－49＝66.32.②根據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤z的估計值eq\o(z,\s\up6(^))＝0.2×(100.6＋68eq\r(x))－x＝－x＋13.6eq\r(x)＋20.12，所以當(dāng)eq\r(x)＝eq\f(13.6,2)＝6.8，即x＝46.24時，eq\o(z,\s\up6(^))取得最大值．故當(dāng)年宣傳費為46.24千元時，年利潤的估計值最大．反思感悟非線性經(jīng)驗回歸方程的求解策略(1)本例中，y與x不是線性相關(guān)關(guān)系，但通過wi＝eq\r(xi)，轉(zhuǎn)換為w與y的線性相關(guān)關(guān)系，從而可利用線性回歸分析間接討論y與x的相關(guān)關(guān)系．(2)可線性化的回歸分析問題，畫出已知數(shù)據(jù)的散點圖，選擇跟散點圖擬合得最好的函數(shù)模型進(jìn)行變量代換，作出變換后樣本點的散點圖，用線性回歸模型擬合．跟蹤訓(xùn)練3電容器充電達(dá)到某電壓值時作為時間t的計算原點，此后電容器串聯(lián)一電阻放電，測定各時間的電壓值(U)所得數(shù)據(jù)見下表：t(h)012345678…U(V)100755540302015105…設(shè)U與t之間具有近似關(guān)系U≈U0e－αt(U0，α為常數(shù)，e≈2.71828…)，求U對t的回歸方程．解對U≈U0e－αt兩邊取自然對數(shù)，得lnU≈lnU0－αt.令z＝lnU，eq\o(a,\s\up6(^))＝lnU0，eq\o(b,\s\up6(^))＝－α，則eq\o(z,\s\up6(^))≈eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))t.將U的各數(shù)據(jù)代入z＝lnU，求得：t012345678…z4.6054.3174.0073.6893.4012.9962.7082.3031.609…eq\o(b,\s\up6(^))≈－0.3553，eq\o(a,\s\up6(^))≈4.714，所以eq\o(z,\s\up6(^))＝4.714－0.3553t，即lnU＝4.714－0.3553t，所以U＝e4.714－0.3553t.故所求回歸方程為U≈e4.714－0.3553t.四、獨立性檢驗1．主要考查根據(jù)樣本制作2×2列聯(lián)表，由2×2列聯(lián)表計算χ2，查表分析并判斷相關(guān)性結(jié)論的可信程度．2．通過計算χ2值，進(jìn)而分析相關(guān)性結(jié)論的可信程度，提升數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．例4奧運會期間，為調(diào)查某高校學(xué)生是否愿意提供志愿者服務(wù)，用簡單隨機抽樣方法從該校調(diào)查了60人，結(jié)果如下：是否愿意提供志愿者服務(wù)性別愿意不愿意男生2010女生1020(1)用分層隨機抽樣的方法在愿意提供志愿者服務(wù)的學(xué)生中抽取6人，其中男生抽取多少人？(2)依據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，能否據(jù)此推斷該校高中生是否愿意提供志愿者服務(wù)與性別有關(guān)？下面的臨界值表供參考：α0.100.050.0100.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.解(1)由題意，男生抽取6×eq\f(20,20＋10)＝4(人)．(2)零假設(shè)H0：該校高中生是否愿意提供志愿者服務(wù)與性別無關(guān)．則χ2＝eq\f(60×20×20－10×102,30×30×30×30)≈6.667>6.635＝x0.01，所以依據(jù)小概率值α＝0.01的獨立性檢驗，可以認(rèn)為該校高中生是否愿意提供志愿者服務(wù)與性別有關(guān)．反思感悟獨立性檢驗問題的求解策略(1)等高堆積條形圖法：依據(jù)題目信息畫出等高堆積條形圖，依據(jù)頻率差異來粗略地判斷兩個變量的相關(guān)性．(2)通過公式χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)先計算χ2，再與臨界值表作比較，最后得出結(jié)論．跟蹤訓(xùn)練4考察小麥種子滅菌與否跟發(fā)生黑穗病的關(guān)系，經(jīng)試驗觀察，得到數(shù)據(jù)如下表：種子滅菌種子未滅菌合計黑穗病26184210無黑穗病50200250合計76384460試分析依據(jù)小概與小麥發(fā)生黑穗病有關(guān)？解零假設(shè)H0：種子滅菌與小麥發(fā)生黑穗病無關(guān)．由列聯(lián)表的數(shù)據(jù)可求χ2＝eq\f(460×26×200－184×502,76×384×210×250)≈4.804>3.841＝x0.05，所以依據(jù)小概率值α＝0.05的獨立性檢驗，可以認(rèn)為種子滅菌與小麥發(fā)生黑穗病有關(guān)系．1．(2020·全國Ⅱ)某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動物數(shù)量有所增加．為調(diào)查該地區(qū)某種野生動物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個地塊，從這些地塊中用簡單隨機抽樣的方法抽取20個作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動物的數(shù)量，并計算得eq\i\su(i＝1,20,x)i＝60，eq\i\su(i＝1,20,y)i＝1200，eq\i\su(i＝1,20,)(xi－eq\x\to(x))2＝80，eq\i\su(i＝1,20,)(yi－eq\x\to(y))2＝9000，eq\i\su(i＝1,20,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝800.(1)求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值(這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù))；(2)求樣本(xi，yi)(i＝1,2，…，20)的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大，為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計，請給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由．附：樣本相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))，eq\r(2)≈1.414.解(1)由已知得樣本平均數(shù)為eq\x\to(y)＝eq\f(1,20)eq\i\su(i＝1,20,y)i＝60，從而該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值為60×200＝12000.(2)樣本(xi，yi)(i＝1,2，…，20)的相關(guān)系數(shù)為r＝eq\f(\i\su(i＝1,20,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,20,)xi－\x\to(x)2\i\su(i＝1,20,)yi－\x\to(y)2))＝eq\f(800,\r(80×9000))＝eq\f(2\r(2),3)≈0.94.(3)分層隨機抽樣，根據(jù)植物覆蓋面積的大小對地塊分層，再對200個地塊進(jìn)行分層抽樣．理由如下：由(2)知各樣區(qū)的這種野生動物數(shù)量與植物覆蓋面積有很強的正相關(guān)關(guān)系．由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動物數(shù)量差異也很大，采用