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第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征第1頁(yè),課件共40頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月
在前面的課程中,我們討論了隨機(jī)變量及其分布,如果知道了隨機(jī)變量X的概率分布,那么,X的全部概率特征也就知道了.
然而,在實(shí)際問(wèn)題中,概率分布一般是較難確定的.而在一些實(shí)際應(yīng)用中,人們并不需要知道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì),只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了.
因此,在對(duì)隨機(jī)變量的研究中,確定某些數(shù)字特征是重要的.第2頁(yè),課件共40頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望MathematicalExpectation以頻率為權(quán)重的加權(quán)平均,反映了這7位同學(xué)高數(shù)成績(jī)的平均狀態(tài)。一、引例
某7名學(xué)生的高數(shù)成績(jī)?yōu)?0,85,85,80,80,75,60,則他們的平均成績(jī)?yōu)殡S機(jī)變量所有可能取值的平均應(yīng)怎么確定???第3頁(yè),課件共40頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月二、數(shù)學(xué)期望的定義離散型隨機(jī)變量Def設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布為
連續(xù)型隨機(jī)變量Def設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為
,若廣義積分第4頁(yè),課件共40頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望所反應(yīng)的意義例3.1已知隨機(jī)變量X的分布律為1/41/21/4654求數(shù)學(xué)期望解:由數(shù)學(xué)期望的定義例3.2已知隨機(jī)變量X的分布律為10求數(shù)學(xué)期望解:由數(shù)學(xué)期望的定義第5頁(yè),課件共40頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月例3.3已知隨機(jī)變量。求數(shù)學(xué)期望例3.4已知隨機(jī)變量。求數(shù)學(xué)期望第6頁(yè),課件共40頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月例3.5已知隨機(jī)變量。求數(shù)學(xué)期望第7頁(yè),課件共40頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月例3.6已知隨機(jī)變量。求數(shù)學(xué)期望第8頁(yè),課件共40頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月例3.7若將這兩個(gè)電子裝置串聯(lián)連接組成整機(jī),求整機(jī)壽命(以小時(shí)計(jì))N的數(shù)學(xué)期望.的分布函數(shù)為第9頁(yè),課件共40頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望及邊緣分布的數(shù)學(xué)期望(X,Y)為二維離散型隨機(jī)變量(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量第10頁(yè),課件共40頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月例3.8設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度為113解:第11頁(yè),課件共40頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月第12頁(yè),課件共40頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望1.一元隨機(jī)變量函數(shù)的情況設(shè)是隨機(jī)變量X的函數(shù),離散型連續(xù)型第13頁(yè),課件共40頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月該公式的重要性在于:當(dāng)我們求E[g(X)]時(shí),不必知道g(X)的分布,而只需知道X的分布就可以了.這給求隨機(jī)變量函數(shù)的期望帶來(lái)很大方便.例3.9解:因?yàn)榈?4頁(yè),課件共40頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月2.二元隨機(jī)變量函數(shù)的情況離散型連續(xù)型第15頁(yè),課件共40頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月例3.10例3.11設(shè)X與Y相互獨(dú)立,它們的概率密度函數(shù)分別為第16頁(yè),課件共40頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月第17頁(yè),課件共40頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)
1.設(shè)C是常數(shù),則E(C)=C;
2.若k是常數(shù),則E(kX)=kE(X);
3.E(X+Y)=E(X)+E(Y);
4.設(shè)X,Y相互獨(dú)立,則E(XY)=E(X)E(Y);請(qǐng)注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y獨(dú)立證明:這里只證明行至3,4第18頁(yè),課件共40頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月利用這些性質(zhì)可以再求數(shù)學(xué)期望時(shí)計(jì)算得以化簡(jiǎn)。第19頁(yè),課件共40頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月例3.12
設(shè)隨機(jī)變量X~B(n,p),求二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望。X~B(n,p),則X表示n重貝努里試驗(yàn)中的“成功”次數(shù)。解:第20頁(yè),課件共40頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月例3.12
獨(dú)立地操作兩臺(tái)儀器,他們發(fā)生故障的概率分別為p1和p2.證明:產(chǎn)生故障的儀器數(shù)目的數(shù)學(xué)期望為p1+
p2則X的所有可能取值為0,1,2設(shè)產(chǎn)生故障的儀器數(shù)目為X解:所以,產(chǎn)生故障的儀器數(shù)目的數(shù)學(xué)期望第21頁(yè),課件共40頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)期望在醫(yī)學(xué)上的一個(gè)應(yīng)用AnapplicationofExpectedValueinMedicine
考慮用驗(yàn)血的方法在人群中普查某種疾病。集體做法是每10個(gè)人一組,把這10個(gè)人的血液樣本混合起來(lái)進(jìn)行化驗(yàn)。如果結(jié)果為陰性,則10個(gè)人只需化驗(yàn)1次;若結(jié)果為陽(yáng)性,則需對(duì)10個(gè)人在逐個(gè)化驗(yàn),總計(jì)化驗(yàn)11次。假定人群中這種病的患病率是10%,且每人患病與否是相互獨(dú)立的。試問(wèn):這種分組化驗(yàn)的方法與通常的逐一化驗(yàn)方法相比,是否能減少化驗(yàn)次數(shù)?分析:設(shè)隨機(jī)抽取的10人組所需的化驗(yàn)次數(shù)為X需要計(jì)算X的數(shù)學(xué)期望,然后與10比較第22頁(yè),課件共40頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月
化驗(yàn)次數(shù)X的可能取值為1,11先求出化驗(yàn)次數(shù)X的分布律{X=1}=“10人都是陰性”{X=11}=“至少1人陽(yáng)性”結(jié)論:分組化驗(yàn)法的次數(shù)少于逐一化驗(yàn)法的次數(shù)。注意求X期望值的步驟!問(wèn)題的進(jìn)一步討論
1.概率p對(duì)是否分組的影響?2.概率p對(duì)每組人數(shù)n的影響?第23頁(yè),課件共40頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月隨機(jī)變量的方差Variance
隨機(jī)變量方差的定義
設(shè)是一隨機(jī)變量,如果存在,則稱(chēng)為的方差,記作或與
有相同的量綱均方差(標(biāo)準(zhǔn)差)
方差的統(tǒng)計(jì)意義
隨機(jī)變量的方差反映了隨機(jī)變量所有可能取值的聚散程度。第24頁(yè),課件共40頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月離散型設(shè)離散型隨機(jī)變量X的概率函數(shù)為連續(xù)型設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)例3.14已知隨機(jī)變量X的分布律為10求方差解:方差的計(jì)算公式
第25頁(yè),課件共40頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月例3.15已知隨機(jī)變量。求方差第26頁(yè),課件共40頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月例3.16已知隨機(jī)變量。求方差第27頁(yè),課件共40頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月例3.17已知隨機(jī)變量。求方差第28頁(yè),課件共40頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月例3.18已知隨機(jī)變量。求方差第29頁(yè),課件共40頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月例3.19解:
X的密度函數(shù)為
所以有第30頁(yè),課件共40頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月方差的性質(zhì)
1.設(shè)C是常數(shù),則D(C)=0;
2.若a,b是常數(shù),則
3.相互獨(dú)立時(shí)
當(dāng)隨機(jī)變量證明:
例3.20第31頁(yè),課件共40頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月解:第32頁(yè),課件共40頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月隨機(jī)變量的矩與中位數(shù)
隨機(jī)變量的矩
原點(diǎn)矩與原點(diǎn)矩Def
設(shè)X是隨機(jī)變量,若
存在,則稱(chēng)其為X的k階原點(diǎn)矩,若存在,則稱(chēng)其為X的k階中心矩,中位數(shù)Def顯然,隨機(jī)變量1階原點(diǎn)矩是數(shù)學(xué)期望;2階中心矩是方差第33頁(yè),課件共40頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月隨機(jī)變量間的的協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)CovarianceandCorrelationcoefficient
隨機(jī)變量間協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)
Def協(xié)方差的定義相關(guān)系數(shù)的定義Def第34頁(yè),課件共40頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月
隨機(jī)變量間協(xié)方差的計(jì)算
離散型連續(xù)型注意:協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)反映的是同一個(gè)內(nèi)容,只是協(xié)方差有單位,而相關(guān)系數(shù)無(wú)單位。第35頁(yè),課件共40頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月例3.211/83/83/81/81/41/8001/833/403/83/8013210解:邊際分布如表第36頁(yè),課件共40頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月例3.22解:邊際概率密度為第37頁(yè),課件共40頁(yè),創(chuàng)作于2023年2月
隨機(jī)變量間協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)
性質(zhì)6,7說(shuō)明相關(guān)系數(shù)反映了隨機(jī)變量之間線性相關(guān)性的強(qiáng)弱。
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