第三章隨機變量的數(shù)字特征

第三章隨機變量的數(shù)字特征第1頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月

在前面的課程中，我們討論了隨機變量及其分布，如果知道了隨機變量X的概率分布，那么，X的全部概率特征也就知道了.

然而，在實際問題中，概率分布一般是較難確定的.而在一些實際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了.

因此，在對隨機變量的研究中，確定某些數(shù)字特征是重要的.第2頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月隨機變量的數(shù)學(xué)期望MathematicalExpectation以頻率為權(quán)重的加權(quán)平均，反映了這7位同學(xué)高數(shù)成績的平均狀態(tài)。一、引例

某7名學(xué)生的高數(shù)成績?yōu)?0，85，85，80，80，75，60，則他們的平均成績?yōu)殡S機變量所有可能取值的平均應(yīng)怎么確定？？？第3頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月二、數(shù)學(xué)期望的定義離散型隨機變量Def設(shè)離散型隨機變量的概率分布為

連續(xù)型隨機變量Def設(shè)連續(xù)型隨機變量的概率密度為

，若廣義積分第4頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月隨機變量數(shù)學(xué)期望所反應(yīng)的意義例3.1已知隨機變量X的分布律為1/41/21/4654求數(shù)學(xué)期望解：由數(shù)學(xué)期望的定義例3.2已知隨機變量X的分布律為10求數(shù)學(xué)期望解：由數(shù)學(xué)期望的定義第5頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.3已知隨機變量。求數(shù)學(xué)期望例3.4已知隨機變量。求數(shù)學(xué)期望第6頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.5已知隨機變量。求數(shù)學(xué)期望第7頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.6已知隨機變量。求數(shù)學(xué)期望第8頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.7若將這兩個電子裝置串聯(lián)連接組成整機,求整機壽命(以小時計)N的數(shù)學(xué)期望.的分布函數(shù)為第9頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月二維隨機變量的數(shù)學(xué)期望及邊緣分布的數(shù)學(xué)期望(X,Y)為二維離散型隨機變量(X,Y)為二維連續(xù)型隨機變量第10頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.8設(shè)(X,Y)的聯(lián)合密度為113解：第11頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月第12頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望1.一元隨機變量函數(shù)的情況設(shè)是隨機變量X的函數(shù)，離散型連續(xù)型第13頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月該公式的重要性在于:當我們求E[g(X)]時,不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.這給求隨機變量函數(shù)的期望帶來很大方便.例3.9解：因為第14頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月2.二元隨機變量函數(shù)的情況離散型連續(xù)型第15頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.10例3.11設(shè)X與Y相互獨立，它們的概率密度函數(shù)分別為第16頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月第17頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月隨機變量數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

1.設(shè)C是常數(shù)，則E(C)=C；

2.若k是常數(shù)，則E(kX)=kE(X)；

3.E(X+Y)=E(X)+E(Y)；

4.設(shè)X，Y相互獨立，則E(XY)=E(X)E(Y)；請注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y獨立證明：這里只證明行至3,4第18頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月利用這些性質(zhì)可以再求數(shù)學(xué)期望時計算得以化簡。第19頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.12

設(shè)隨機變量X~B(n,p)，求二項分布的數(shù)學(xué)期望。X~B(n,p)，則X表示n重貝努里試驗中的“成功”次數(shù)。解：第20頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.12

獨立地操作兩臺儀器，他們發(fā)生故障的概率分別為p1和p2.證明：產(chǎn)生故障的儀器數(shù)目的數(shù)學(xué)期望為p1+

p2則X的所有可能取值為0,1,2設(shè)產(chǎn)生故障的儀器數(shù)目為X解:所以，產(chǎn)生故障的儀器數(shù)目的數(shù)學(xué)期望第21頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月數(shù)學(xué)期望在醫(yī)學(xué)上的一個應(yīng)用AnapplicationofExpectedValueinMedicine

考慮用驗血的方法在人群中普查某種疾病。集體做法是每10個人一組，把這10個人的血液樣本混合起來進行化驗。如果結(jié)果為陰性，則10個人只需化驗1次；若結(jié)果為陽性，則需對10個人在逐個化驗，總計化驗11次。假定人群中這種病的患病率是10%，且每人患病與否是相互獨立的。試問：這種分組化驗的方法與通常的逐一化驗方法相比，是否能減少化驗次數(shù)？分析：設(shè)隨機抽取的10人組所需的化驗次數(shù)為X需要計算X的數(shù)學(xué)期望，然后與10比較第22頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月

化驗次數(shù)X的可能取值為1，11先求出化驗次數(shù)X的分布律{X=1}=“10人都是陰性”{X=11}=“至少1人陽性”結(jié)論：分組化驗法的次數(shù)少于逐一化驗法的次數(shù)。注意求X期望值的步驟！問題的進一步討論

1.概率p對是否分組的影響？2.概率p對每組人數(shù)n的影響?第23頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月隨機變量的方差Variance

隨機變量方差的定義

設(shè)是一隨機變量，如果存在，則稱為的方差，記作或與

有相同的量綱均方差（標準差）

方差的統(tǒng)計意義

隨機變量的方差反映了隨機變量所有可能取值的聚散程度。第24頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月離散型設(shè)離散型隨機變量X的概率函數(shù)為連續(xù)型設(shè)連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為f(x)例3.14已知隨機變量X的分布律為10求方差解：方差的計算公式

第25頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.15已知隨機變量。求方差第26頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.16已知隨機變量。求方差第27頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.17已知隨機變量。求方差第28頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.18已知隨機變量。求方差第29頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.19解：

X的密度函數(shù)為

所以有第30頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月方差的性質(zhì)

1.設(shè)C是常數(shù)，則D(C)=0；

2.若a，b是常數(shù)，則

3.相互獨立時

當隨機變量證明:

例3.20第31頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月解：第32頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月隨機變量的矩與中位數(shù)

隨機變量的矩

原點矩與原點矩Def

設(shè)X是隨機變量，若

存在，則稱其為X的k階原點矩，若存在，則稱其為X的k階中心矩，中位數(shù)Def顯然，隨機變量1階原點矩是數(shù)學(xué)期望；2階中心矩是方差第33頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月隨機變量間的的協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)CovarianceandCorrelationcoefficient

隨機變量間協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)

Def協(xié)方差的定義相關(guān)系數(shù)的定義Def第34頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月

隨機變量間協(xié)方差的計算

離散型連續(xù)型注意：協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)反映的是同一個內(nèi)容，只是協(xié)方差有單位，而相關(guān)系數(shù)無單位。第35頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.211/83/83/81/81/41/8001/833/403/83/8013210解：邊際分布如表第36頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月例3.22解：邊際概率密度為第37頁，課件共40頁，創(chuàng)作于2023年2月

隨機變量間協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)

性質(zhì)6,7說明相關(guān)系數(shù)反映了隨機變量之間線性相關(guān)性的強弱。