第三節(jié)三重積分在球坐標(biāo)系下的計算

第三節(jié)三重積分在球坐標(biāo)系下的計算第1頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月0xz

yM(r,

,

)r

Nyxz.一、球面坐標(biāo)系..第2頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月

SrM

yz

x0r=常數(shù):

=常數(shù):球面S動點M(r,,

)球面坐標(biāo)的坐標(biāo)面第3頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月

Cr=常數(shù):

=常數(shù):S球面S半平面P動點M(r,,

)M

yz

x0

P

=常數(shù):錐面C.球面坐標(biāo)的坐標(biāo)面第4頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月

r

drd

rsin

xz

y0圓錐面

rd

球面r圓錐面

+d

球面r+dr元素區(qū)域由六個坐標(biāo)面圍成：d

rsin

d

16.

球面坐標(biāo)下的體積元素半平面

及

+d

；

半徑為r及r+dr的球面；圓錐面

及

+d

第5頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月r

drd

xz

y0

d

rd

元素區(qū)域由六個坐標(biāo)面圍成：rsin

d

16.

球面坐標(biāo)下的體積元素.半平面

及

+d

；

半徑為r及r+dr的球面；圓錐面

及

+d

r2sin

drd

d

sin

drd

d

r2rcos

)第6頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月把三重積分的變量從直角坐標(biāo)變換為球面坐標(biāo)的公式第7頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月二、典型例題適用范圍1)積分域表面用球面坐標(biāo)表示時方程簡單;2)被積函數(shù)用球面坐標(biāo)表示時變量互相分離第8頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月0xz

yrR

對r:從0

R積分,得半徑任取球體內(nèi)一點1第9頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月0xz

yMr

R對r:從0

R積分,得半徑任取球體內(nèi)一點對

:從0

積分，.1第10頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月對r:從0

R積分,得半徑任取球體內(nèi)一點對

:從0

積分，

R對

:從0

積分，得球體

.10xz

y得錐面第11頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月0xz

yR

.對r:從0

R積分,得半徑任取球體內(nèi)一點對

:從0

積分，對

:從0

積分，得球體

0得錐面I=V當(dāng)f=1,.1第12頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月球系下確定積分限練習(xí)1

為全球體2

為空心球體3

為上半球體4

為右半球體5

為球體的第一、二卦限部分......2第13頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月z

0xya化為球系下的方程r=2acos

.M.r

3P164.10.(2)第14頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月例4:解1:第15頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月解2在柱面坐標(biāo)系中計算第16頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月例5.

計算三重積分解:

在球面坐標(biāo)系下所圍立體.其中

與球面機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束P165.10.(1)第17頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月例6.計算解:

的表達(dá)式中含x2+y2+z2,可用球面坐標(biāo)求積分.

x=rsin

cos

,y=rsin

sin

,z=rcos

.且兩球面方程分別為r=b和r=a,(a<b).0ar=azyxbr=bP165.11,(4)第18頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月0ar=azyxbr=b由的形狀知,a

r

b,0

,0

2

.第19頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月解例7第20頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月如圖，第21頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月第22頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月計算三重積分應(yīng)注意的問題1.適當(dāng)?shù)剡x取坐標(biāo)系：

當(dāng)積分區(qū)域Ω是柱體（或其一部分），或Ω在某坐標(biāo)面上投影為圓域（或一部分），要不然被積函數(shù)為型時采用柱面坐標(biāo)，一般先對Z次對p后對θ積分。

當(dāng)Ω為球域（或其一部分）或被積函數(shù)

采用球面坐標(biāo)，否則采用直角坐標(biāo)。第23頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月2.三重積分化為三次定積分，無論選擇什么坐標(biāo)系和積分次序最里層積分上下限一般是外面兩層積分變量的函數(shù)，中層積分上下限是外層積分變量函數(shù)，最外層上下限一定是常數(shù)，無論哪層上限必大于下限。

3。關(guān)于最里層積分的定限：若積分變量是dx一用平行x軸直線若積分變量是dy一用平行y軸直線

若積分變量是dz一用平行z軸直線穿過Ω，觀察穿入穿出的情況定限。若積分變量是dp時一定要從原點出發(fā)發(fā)出射線穿過區(qū)域觀察穿進(jìn)穿出情況定限。

第24頁，課件共25頁，創(chuàng)作于2023年2月內(nèi)容小結(jié)積分區(qū)域多由坐標(biāo)面被積函數(shù)形式簡潔,