第三章隨機(jī)向量

第三章隨機(jī)向量第1頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月1、二維隨機(jī)向量及其分布函數(shù)定義1：設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是={e}.設(shè)X(e)與Y(e)是定義在同一樣本空間上的兩個(gè)隨機(jī)變量,則稱(X(e),Y(e))為上的二維隨機(jī)向量或二維隨機(jī)變量。簡記為(X,Y).定義2：設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)向量,對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y，稱二元函數(shù)F(x,y)=P{X

x，Y

y}為二維隨機(jī)向量(X,Y)的分布函數(shù)或聯(lián)合分布函數(shù)。第一節(jié)二維隨機(jī)向量及其分布上一頁下一頁返回第2頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月(X,Y)的分布函數(shù)滿足如下基本性質(zhì)：

(2)

0F(x,y)1(1)F(x,y)是變量x,y的不減函數(shù).

上一頁下一頁返回第3頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月2、二維離散型隨機(jī)變量定義3：若二維隨機(jī)向量(X,Y)的所有可能取值是有限對(duì)或無限可列多對(duì),則稱(X,Y)為二維離散型隨機(jī)向量。設(shè)(X,Y)的一切可能值為(xi,yj)，i,j=1,2,…，且(X,Y)取各對(duì)可能值的概率為P{X=xi，Y=yj}=pij，i,j=1,2,…(1)

非負(fù)性:

pij≥0，i，j=1，2…；上一頁下一頁返回第4頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月的聯(lián)合分布律。和或隨機(jī)變量的概率分布或分布律，離散型隨機(jī)變量為二維稱YXYXjipYYxXPij),(,...)2,1,(},{==￡￡上一頁下一頁返回第5頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月(X,Y)的分布律也可用表格形式表示YXy1y2…yj…x1x2..xip11p12…p1j…p21p22…p2j…......pi1pi2pij…上一頁下一頁返回第6頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月例1:從一個(gè)裝有2個(gè)紅球,3個(gè)白球和4個(gè)黑球的袋中隨機(jī)地取3個(gè)球,設(shè)X和Y分別表示取出的紅球數(shù)和白球數(shù),求(X,Y)的分布律,并求P{X≤1,Y<2},P{X+Y=2},及P{X=1}.解:X的可能值為0,1,2,Y的可能為0,1,2,3.(X,Y)的所有可能值為(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1).由古典概率計(jì)算可得上一頁下一頁返回第7頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月于是(X,Y)的分布可用表示YX01230124/8418/8412/841/8412/8424/846/8404/843/8400由(X,Y)的分布律,所求概率為上一頁下一頁返回第8頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月上一頁下一頁返回第9頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月3、二維連續(xù)型隨機(jī)變量定義5：設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)向量,(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y).若存在非負(fù)二元函數(shù)f(x,y),對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,y，有上一頁下一頁返回第10頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月上一頁下一頁返回第11頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月上一頁下一頁返回第12頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月上一頁下一頁返回第13頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月11y=xoxy1Oyx1Oyx1Oyx上一頁下一頁返回第14頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月

設(shè)G是平面上的有界區(qū)域,其面積為S,若二維隨機(jī)變量(X.,Y)的概率密度為設(shè)(X,Y)在區(qū)域G上服從均勻分布,D為G內(nèi)的一區(qū)域,即D

G,且D的面積為S(D),那么二維均勻分布則稱(X,Y)在區(qū)域G上服從均勻分布.上一頁下一頁返回第15頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月若(X.,Y)的概率密度為二維正態(tài)分布上一頁下一頁返回第16頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月4、n維隨機(jī)變量設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),它的樣本空間是=(e).設(shè)隨機(jī)變量是定義在同一樣本空間上的n個(gè)隨機(jī)變量，則稱向量為n維隨機(jī)向量或n維隨機(jī)變量。簡記為設(shè)是n維隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù),稱n元函數(shù)為n維隨機(jī)變量

的聯(lián)合分布函數(shù)。上一頁下一頁返回第17頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月X和Y自身的分布函數(shù)分別稱為二維隨機(jī)向量(X,Y)關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù)，分別記為FX(x),FY(y)。當(dāng)已知(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)時(shí)，可通過求得兩個(gè)邊緣分布函數(shù)第二節(jié)邊緣分布上一頁下一頁返回第18頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月例1：設(shè)二維隨機(jī)向量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為上一頁下一頁返回第19頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月上一頁下一頁返回第20頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月1、二維離散型隨機(jī)變量的邊緣分布上一頁下一頁返回第21頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月≠上一頁下一頁返回第22頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月上一頁下一頁返回第23頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月上一頁下一頁返回第24頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月2、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣分布設(shè)(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)向量，具有概率密度f(x,y)，則從而知，X為連續(xù)型隨機(jī)變量且概率密度為同理，Y也是連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為上一頁下一頁返回第25頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月yOx上一頁下一頁返回第26頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月第三節(jié)條件分布1、二維離散型隨機(jī)變量的條件分布律定義6:上一頁下一頁返回第27頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月例1：一射手進(jìn)行射擊,每次射擊擊中目標(biāo)的概率均為p(0<p<1)且假設(shè)各次擊中目標(biāo)與否相互獨(dú)立,射擊進(jìn)行到擊中目標(biāo)兩次為止.設(shè)以X表示到第一次擊中目標(biāo)所需要的射擊次數(shù),以Y表示總共進(jìn)行的射擊次數(shù).試求(X,Y)的聯(lián)合分布律和條件分布律.解:由題意,{X=i}表示第i次首次擊中目標(biāo),{Y=j}表示第j次擊中目標(biāo),因而i<j,{X=i,Y=j}表示第i次和第j次擊中目標(biāo)而其余j-2次均未擊中目標(biāo).于是(X,Y)的聯(lián)合分布律為：上一頁下一頁返回第28頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月上一頁下一頁返回第29頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月LL,2,1}|{,,2,11122++=======----iijpqpqqpiXjYPYiXiijij的條件分布律為下在條件對(duì)于固定的上一頁下一頁返回第30頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月2、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布定義7：

對(duì)固定的實(shí)數(shù)y，設(shè)對(duì)于任意給定的正數(shù)ε，P{y-ε<Y≤y+ε}>0,且若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，極限存在，則稱此極限為在Y=y的條件下X的條件分布函數(shù)，記作P或記為.同樣,在X=x條件下隨機(jī)變量Y的條件分布函數(shù)上一頁下一頁返回第31頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)，概率密度為f(x,y)。若在點(diǎn)(x,y)處f(x,y)連續(xù)，邊緣概率密度fY(y)連續(xù)，且fY(y)>0，則有：亦即上一頁下一頁返回第32頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月類似地在相應(yīng)條件下可得在X=x條件下Y的條件概率密度為若記為條件Y=y下X的條件概率函數(shù)，則由上式知：上一頁下一頁返回第33頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月且有邊緣概率密度當(dāng)－1<y<1時(shí)有：解：(X,Y)的概率密度為例2：設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)在區(qū)域D={(x,y)∣x2+y2≤1}上服從均勻分布，求條件概率密度。上一頁下一頁返回第34頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月特別y=0和y=時(shí)條件概率密度分別為類似于條件概率的乘法公式，也有上一頁下一頁返回第35頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)F(x,y)為二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)，(X,Y)關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布函數(shù)分別為FX(x)，F(xiàn)Y(y)，則上式等價(jià)于第四節(jié)隨機(jī)變量的獨(dú)立性定義8：

設(shè)X和Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)x和y，事件{X≤x}與{Y≤y}相互獨(dú)立，即有P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}，則稱隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立。由獨(dú)立性定義可證“若X與Y相互獨(dú)立，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)x1<x2,y1<y2,事件{x1<X≤x2}與事件{y1<Y≤y2}相互獨(dú)立”。上一頁下一頁返回第36頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月結(jié)論推廣：“若X與Y獨(dú)立，則對(duì)于任意一維區(qū)間I1和I2，事件{X∈I1}與{Y∈I2}相互獨(dú)立”。P{x1<X≤x2,y1<Y≤y2}=F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)=FX(x2)FY(y2)-FX(x2)FY(y1)-FX(x1)FY(y2)+FX(x1)FY(y1)=[FX(x2)-FX(x1)][FY(y2)-FY(y1)]=P{x1<X≤x2}P{y1<Y≤y2}所以事件{x1<X≤x2}與{y1<Y≤y2}是相互獨(dú)立的。當(dāng)（X,Y）為離散型或連續(xù)型隨機(jī)向量時(shí)，可用它的分布律或概率密度來判別X與Y的獨(dú)立性。上一頁下一頁返回第37頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月例1:設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布律如表所示。XY-102-1/22/201/202/2012/201/202/201/24/202/204/20問X與Y相互獨(dú)立嗎？解:X與Y的邊緣分布律分別為X-1/211/2pi.1/41/41/2Y-102p.j2/51/52/5逐一驗(yàn)證可知，pij=pi.·p.j（i=1,2,3,j=1,2,3）。從而X與Y相互獨(dú)立。上一頁下一頁返回第38頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月例2:設(shè)X和Y都服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，且相互獨(dú)立，試求P{X+Y<1}。由于X與Y相互獨(dú)立，所以(X,Y)的概率密度為于是解:設(shè)fX(x),fY(y)分別為X和Y的概率密度，則上一頁下一頁返回第39頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月第五節(jié)兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布1、二維離散型隨機(jī)變量的函數(shù)分布

Y12101/321/31/3例設(shè)（X,Y）分布律為求

X+Y,X-Y,XY及X/Y的分布.解：先列出下表X上一頁下一頁返回第40頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月P01/31/31/3(X,Y)(1,1)(1,2)(2,1)(2,2)X

Y2334X

Y0

110XY1224X/Y11/221于是X+Y的分布律為X+Y234P02/31/3上一頁下一頁返回第41頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月同理X-Y的分布律為X-Y-101P1/31/31/3X/Y124P02/31/3XY及X/Y的分布律分別為XY124P02/31/3上一頁下一頁返回第42頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)(X,Y)為連續(xù)型隨機(jī)向量，具有概率密度f(x,y)，又Z=g(X,Y)(g(x,y)為一已知的連續(xù)函數(shù))。大部分情況下，Z是一連續(xù)型隨機(jī)變量。為求Z的概率密度，可先求出Z的分布函數(shù)2、二維連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)分布上一頁下一頁返回第43頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月即首先找出上式右端的積分區(qū)域Dz。如果求得了FZ(z),那么可通過求出Z的概率密度。求解過程中，關(guān)鍵在于將事件{Z≤z}等價(jià)地轉(zhuǎn)化為用(X,Y)表示的事件{g(X,Y)≤z}={(X,Y)},其中。上一頁下一頁返回第44頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月例1：設(shè)且X與Y相互獨(dú)立，求的概率密度。由于X與Y相互獨(dú)立，于是(X,Y)的概率密度為先求Z的分布函數(shù)FZ(z)解：X和Y的概率密度分別為當(dāng)z<0時(shí)FZ(z)=0當(dāng)z≥0時(shí)上一頁下一頁返回第45頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月所以于是可得的概率密度上一頁下一頁返回第46頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月如果一隨機(jī)變量的概率密度為上式，稱該隨機(jī)變量服從參數(shù)為

的瑞利分布。由題可知，若X,Y獨(dú)立服從同一分布則服從參數(shù)為

的瑞利分布。設(shè)(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y)，現(xiàn)求Z=X+Y的概率密度。令，則Z的分布函數(shù)為(1)和的分布上一頁下一頁返回第47頁，課件共61頁，創(chuàng)作于2023年2月固定z和y對(duì)積分作換元法，令x+y=u得于是：上一頁下一頁返回第48頁，課件共61頁，創(chuàng)作于20