實驗三 系統(tǒng)的可控性與可觀測性分析

實驗三系統(tǒng)的可控性與可觀測性分析一、實驗目的1．鞏固控制系統(tǒng)能控、能觀等知識；控制系統(tǒng)的最小實現(xiàn)和控制系統(tǒng)的能控、能觀測標準型等基礎(chǔ)知識；2?掌握使用MATLAB判定系統(tǒng)可控性與可觀測性的方法；3?掌握使用MATLAB控制系統(tǒng)的標準型實現(xiàn)；4．通過Matlab編程，上機調(diào)試，掌握和驗證所學控制系統(tǒng)的基本理論。二、實驗原理與步驟(一)、可控性和可觀測性的定義可控性的定義若對狀態(tài)空間的任一非零狀態(tài)x(t0),都存在一個有限時刻t1>t0和一個容許控制u[t0,tl],能在t1時刻使狀態(tài)x(t0)轉(zhuǎn)移到零，則稱狀態(tài)方程戈=AX+BU在t0時刻是可控的。反之稱為在t0時刻不可控?？捎^測性的定義定義：若對狀態(tài)空間中任一非零初態(tài)x(t0)，存在一個有限時刻t1>t0，使得由輸入u[t0,t1]和輸出y[t0,t1]能夠唯一確定初始狀態(tài)x(t0)，則稱動態(tài)方程戈二AX+BUY=CX+DU在t0時刻是可觀測的。反之稱為是不可觀測的。(二)、可控性和可觀測性判據(jù)1、可控性構(gòu)造一個相似變換矩陣T=(B,AB,…,An-iB)c公式中，n是系統(tǒng)的階次；矩陣T；稱為系統(tǒng)的可控性變換矩陣。矩陣Tc可以由控制系統(tǒng)工具箱中提供的ctrb()函數(shù)來產(chǎn)生。其調(diào)用格式為T=ctrb(A,B)c公式中，的秩，即rank(丁)稱為系統(tǒng)的可控性指數(shù)，它的值表示系統(tǒng)中可控制的狀態(tài)的數(shù)目。如果rank(T)二n，則系統(tǒng)是完全可控制的。例題1】考慮系統(tǒng)的狀態(tài)方程模型為「0100_「0_00-101x+00010_0050__-2_x=u分析系統(tǒng)的可控性。A=[0,1,0,0;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,5,0]B=[0;1;0;-2]Tc=ctrb(A,B)rank(Tc)結(jié)果如下：>>rank(Tc)44ans=可見，系統(tǒng)完全能控。2、可觀測性構(gòu)造一個相似變換矩陣To如下T二（C,CA,…,CAn-1）To公式中，n是系統(tǒng)的階次。矩陣To稱為系統(tǒng)的可觀測變換矩陣。矩陣—可以由控制系統(tǒng)工具箱中提供的obsv（）函數(shù)來產(chǎn)生。其調(diào)用格式為T=obsv(A,C)o公式中，T的秩，即rank（To），稱為系統(tǒng)的可觀測性指數(shù)，它實際上是系統(tǒng)中可觀測狀態(tài)的數(shù)目。如果rank（To）=n，則系統(tǒng)是完全能「0100_「0_00-101X+00010_0050_-2X=u0觀測的。例題2】考慮系統(tǒng)的狀態(tài)方程模型為0o]x分析系統(tǒng)的可觀測性。A=[0,1,0,0;0,0,-1,0;0,0,0,1;0,0,5,0]B=[0;1;0;-2]C=[1,0,0,0]Tc=ctrb(A,B)rank(Tc)運行結(jié)果如下>>rank(To)ans=可見，系統(tǒng)是完全可觀測的。（二）、可控性和可觀性的標準型實現(xiàn)先來看什么是實現(xiàn)，所謂實現(xiàn)，就是根據(jù)描述系統(tǒng)輸入輸出動態(tài)關(guān)系的傳遞函數(shù)建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式，所求得的狀態(tài)空間表達式保持原來傳遞函數(shù)的輸入輸出關(guān)系不變，同時反映內(nèi)部動態(tài)變化。實現(xiàn)不是唯一的。下面看一個實現(xiàn)的例子例題3】有以下狀態(tài)空間模型1.25—4-1.250.51.251.25—4-1.250.51.25-0.5-1.250.50.25-4.25-1.250.52.251.750.251x二x00020102■436_4x+2210_uA=[1.25,-4,-1.25,0.5;1.25,-0.5,-1.25,0.25;0.25,-4.25,-1.25,0.5;2.25,1.75,0.25,1]B=[4,6;3,4;2,2;1,0]C=[0,0,0,1;0,2,0,2]D=zeros(2,2)Gss1=ss(A,B,C,D)Gtf=tf(Gss)%可以這樣認為：Gss就是Gtf的一個實現(xiàn)，有4個狀態(tài)變量現(xiàn)在我們繼續(xù)用Gtf來完成一個實現(xiàn)Gss2，命令如下Gss2=ss(Gtf)看一下實現(xiàn)結(jié)果，這個實現(xiàn)有8個狀態(tài)變量，它當然沒有前面的4個狀態(tài)變量的實現(xiàn)要好，雖然它們表示同一個系統(tǒng)。大家不禁要問，到底那個實現(xiàn)好，還有沒有標準了？最小實現(xiàn)就是回答了這個問題。所謂最小實現(xiàn)就是實現(xiàn)的階次最低，或最低階次的實現(xiàn)。matlab最小實現(xiàn)函數(shù)為Gmin=minreal(G)其中，G為原系統(tǒng)的LTI對象，G1為最小實現(xiàn)后的LTI對象?！纠}4】對上例中的Gss2，求出最小實現(xiàn)命令為：Gmin=minreal(Gss2)從結(jié)果可以看是，系統(tǒng)階次回到了4階。1、可控標準型I設(shè)單輸入系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：X=Ax+buy二Cx設(shè)A的特征多項式det[^I—A]—久n+a久n-1+?…+a久+an-110如果系統(tǒng)狀態(tài)完全能控性rankT—[B,AB,...An-1B]—nc則可以通過線性變換x—TC1x，可以將其變成如下形式的能控標準

形。X-Ax+buy二Cx-00100-...0_0_A=T-1AT=b=T-1b=c1c1001c10—a-a…一a101n-11——1C=CTJbp...p]01n-1相似變換x二T1x變換矩陣為0-1=TTTTac11c223a...12—11T=[An-ib,An-2b,...Ab,b]c1a2a1此可控標準型也稱為可控標準型I。例題5】已知能控的線性定常系統(tǒng)「10「「0_=010x+1u1001y=111o]x求其能控標準型。A=[101;010;100]B=[0;1;1]C=[110](1)、能控性矩陣Tc=ctrb(A,B)

rank(Tc)系統(tǒng)完全可控。(2)、A的特征多項式det(2-A)symssdet(s*eye(3)-A)結(jié)果：ans=sA3-2*sA2+1相應系數(shù)為a=1,a=0,a=—2a2aa2a101a...3a...12T=[An-ib,An-2b,...Ab,b]c1(3)、計算變換矩陣T=[An-1b,An-2b,...Ab,b]=[A2b,Ab,b]c11-1o--10o--100_1==a10=-210c22aa223...1aa10-21aa12—11——112—1(4)、計算標準型Abar=inv(Tc1)*A*Tc1Bbar=inv(Tc1)*BCbar=C*Tc1得：■010■■0_x=001x+0u即：-1021y=[-201x2、可控標準型II如果取相似變換矩陣為可控性矩陣，即T=[b,Ab,...,An-2b,An-ib]c2貝U，原狀態(tài)空間表達式可變換為如下的可控標準型II。x=Ax+buy=Cx■00—a■1"010...-a0011b=C=CT0...1—an-1_0_=[PP...P]01n-1【例題6】將上面的例題變換為可控標準型II。A=[101;010;100]B=[0;1;1]C=[110]D=0Tc=ctrb(A,B)[Ac,Bc,Cc,Dc]=ss2ss(A,B,C,D,inv(Tc))運行結(jié)果如下：Ac=00-1100012Bc=1100Cc=122Dc=0(3)、能觀測標準形系統(tǒng)X=Ax+bu系統(tǒng)y=Cx的能觀測性矩陣為CCACAnCAn-1，若=n，則系統(tǒng)能觀測，通過線性變換可以將其變成如下形式的能觀標準形。「0_a0_aix+「B]0B110010001_aB1—n_1n_1[00…l]xux=「aa…a「i2n_1「C_a12CAa1?n_1CAn_110_P=變換矩陣可取為同上，這個也可以稱為能觀測標準型i【例題7】將上面例題變換為能觀測標準型I和前面一樣，Q0=1,a1=0,a2=一2取變換矩陣如下：■0-2「■C■P二-210CA100CA2[Ao,Bo,Co,Do]=ss2ss(A,B,C,D,P)最后結(jié)果為:Ao=00-1100012Bo=-201Co=001Do=0還可以直接把可觀測性矩陣取為變換矩陣，這樣得到所謂的可觀測標準型ii,matlab命令如下：P=obsv(A,C)[Ao,Bo,Co,Do]=ss2ss(A,B,C,D,P)運行結(jié)果如下：Ao=010001-102Bo