全等三角形經(jīng)典例題(含答案)

新思路全等三角形的經(jīng)典例題判定方法條件注意⑴邊邊邊公理（SSS）三邊對(duì)應(yīng)相等三邊對(duì)應(yīng)相等⑵邊角邊公理（SAS）/兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等（“兩邊夾一角”）必須是兩邊夾一角，不能是兩邊對(duì)一角⑶角邊角公理（ASA）兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等（“兩角夾一邊”）不能理解為兩角及任意一邊…⑷角角邊公理（AAS）兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等例1：已知：如圖，過(guò)ABC的頂點(diǎn)A,作AFLAB且AF=AB, AHXAC,使AH二AC,連結(jié)BH、CF,且BH與CF交于D點(diǎn)。求證：（1）BH=CF（2）BH±CF分析：從圖中可觀察分析，若證BH二CF,顯然，若能證出ABH/AFC,問(wèn)題就能解決。從已知看，已經(jīng)知道AF=AB,AC=AH。這兩個(gè)三角形已經(jīng)具備兩條邊對(duì)應(yīng)相等了。還要證明第三條邊相等，顯然不可能用“邊邊邊”公理了。只能尋求兩對(duì)應(yīng)邊的夾角了。從已知看，NBAF和NHAC都是直角。而圖中的/BAC顯然是公共角，根據(jù)等式性質(zhì)，問(wèn)題可以順利解決。證明：（1）VAFXAB,AHXAC&/.ZBAF=ZHAC=90二.ZBAF+ZBAC=ZHAC+ZBAC即NFAC二NBAH在ABH和AFC中A5=AF（已知）<ZBAH=/必。（已證）A"=AC（已知）...ABH0AFC（邊角邊）.*.BH=FC（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）（2）設(shè)AC與BH交于點(diǎn)P在APH中,/ZHAP=90/.Z2+Z3=90（直角三角形中兩個(gè)銳角互余）VZ1=Z2（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）Z3=Z4/.Z1+Z4=Z2+Z3=90在PDC中;VZ1+Z4=90/.ZHDC=90/.BH±CF例2：已知，如上圖：BD、CE是ABC的高，分別在高上取點(diǎn)P與Q,使BP=AC,CQ=AB。求證：AQ=AP分析：從要證的結(jié)論AQ=AP，只有在ABP和QCA中找對(duì)應(yīng)原素，不難發(fā)現(xiàn)，已經(jīng)有BP=AC、CQ=AB,也就是這兩個(gè)三角形中已經(jīng)有兩條對(duì)應(yīng)邊相等。也只有找到其中夾角相等，全等就可以了，問(wèn)題的關(guān)鍵在于如何找出N1=N2再分析已知條件，不難看出，既然BD、CE都是高，就有ZBDA=NCEA=90，這樣就

可看出N1和N2都是NBAC的余角了。根據(jù)同角的余角相等這條性質(zhì)得到N1=N2,這樣問(wèn)題就可以迎刃而解了。證明：?.?BDLAC于DCEXAB于E、二.ZBDA=ZCEA=90/.Zl+ZBAC=Z2+ZBAC=90/.Z1=Z2在ABP和PCA中=（已知）21=N2（已證）BP=AC（已知），ABP0QCA（邊角邊）?.AQ=AP（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）例3：已知：如圖，0A=OB、0C=0D求證：AE=BE分析：從要證明的結(jié)論AE=EB看，我們不難看出，應(yīng)當(dāng)在ADE和BCE中去尋找答案，而要證明ADE0BCE,比較明顯的有一組對(duì)頂角相等，即NAED二NBEC,另外可以通過(guò)等式性質(zhì)得到，OA-OD=OB-OC,即AD=BC,那么這兩個(gè)三角的全等條件仍然差一個(gè)，從證明的結(jié)論AE二BE上分析，不可能再尋找邊的對(duì)應(yīng)相等了，那么只有找一組對(duì)應(yīng)角是否相等就可以了，如能否證出NA=NB（或NADE二NBCE）,NA二NB除了是ADE和BCE的對(duì)應(yīng)角外，它們還是AOC和BOD的對(duì)應(yīng)角，只要AOC^BOD,那么就可以推出ZA=ZB,這樣問(wèn)題便迎刃而解了，同學(xué)們自己分析一下AOC和BOD全等條件夠嗎證明：在AOC和BOD中04=03（已知）= 公共角）oc=00（已知）/.AOC0BOD（邊角邊）AZA=ZB（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）,/OA=OB（已知）OC=OD（已知）￥.*.AD=BC（等式性質(zhì)）在ADE和BCE中=已證）v/AED=ZB￡C（M頂角相等）AD=（已證），ADE0BCE（角角邊）?.AE=BE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）同學(xué)們自己動(dòng)手試一試，可不可通過(guò)證明NADE二NBCE來(lái)證明ADE^BCE呢例4：已知：如圖，AD〃BC,AE、BE分別平分NDAB和NCBA,DC過(guò)點(diǎn)E。求證：AB=ARBC分析：從要證明的結(jié)論AB=AD+BC上看，顯然是兩條線段的和與另外一條線段相等，可以考慮，能否在長(zhǎng)的AB邊上截一段等于AD（或BC），利用角平分線的條件證全等。

證明（一）：在AB上截AF二AD,連結(jié)EF在ADE和AFE中AO=A廠（已作）<ZDAE=已知）AE=AE（公共邊）二.ADE0AFEZD=ZAFE（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）VAD#BC（已知）/.ZD+ZC=180（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）XVZD=ZAFE（已證）ZBFE=ZC（等角的補(bǔ)角相等）在BFE和BCE中ZBFE=NC（已證）ZFBE=NC8E（已知）BE=8月（公共邊），BFE/BCE（角角邊），BF=BC；.AB=AD+BC證明（二）：延長(zhǎng)AE、BC交于點(diǎn)F。VAE.BE分別是NDAB和NCBA的平分線。XVAD#BC/.Zl+Z2+Z3+Z4=180（兩直線平等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）/.Z2+Z3=90/.ZAEB=90，ZBEF^O在ABE和FBE中[/3=/4（已知）BE=6石（公共邊）ZAEB=ZBEF=90。（已證）二.ABE0FBE（角邊角）；.AB=BFAE=EF在AED和FEC中/1="（兩直線平等，內(nèi)錯(cuò)角相等）<AE=石廠（已證）ZAED=/FXcG寸頂角相等）AED0FEC...AD=FC.?.AB=AD+BC（等量代換）

F例5：已知：如圖，在四邊形ABCD中，AC平分/BAD、CELAB于E,且NB+ND=180。求證：AE=AD+BE分析：從上面例題，可以看出，有時(shí)為了證明某兩條線段和等于另一條線段，可以考慮“截長(zhǎng)補(bǔ)短”的添加輔助線，本題是否仍可考慮這樣“截長(zhǎng)補(bǔ)短”的方法呢由于AC是角平分線，所以在AE上截AF二AD,連結(jié)FC,可證出ADC/AFC,問(wèn)題就可以得到解決。F證明（一）：在AE上截取AF二AD,連結(jié)FC。在AFC和ADC中AF=A0（已作）Nl=N2（已知）AC=AC（公共邊）/.AFC0ADC（邊角邊）ZAFC=ZD（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）VZB+ZD=180（已知）AZB=ZEFC（等角的補(bǔ)角相等）在CEB和CEF中NB=/石方。（已證）BZCEB=ZCEF=90。（已知）CE=。石（公共邊）B，CEB/CEF（角角邊）BE=EF,/AE=AF+EF，AE=AD+BE（等量代換）證明（二）：在線段EA上截EF二BE,連結(jié)FC（如右圖）。同樣也可以證明，同學(xué)們自己試一試，證明過(guò)程是怎樣的，看一看,當(dāng)推導(dǎo)過(guò)程不通時(shí)，想一想，還有哪些已知條件沒(méi)有充分考慮到，或是還有哪些定理，性質(zhì)用的不熟，自己找一找思維障礙是什么小結(jié)：在幾何證明過(guò)程中，如果現(xiàn)成的三角形不可以證明，則需要我們選出所需要的三角形，這就需要我們恰到好處的添加輔助線。如例：已知：ABC中，AD是BC邊上的中線。求證：AD<1（ab+ac）2分析：求證AD<1（AB+AC）,即可變形為2AD<AB+AC,其結(jié)構(gòu)恰好為中線的2倍。小于原三角形的兩邊之和，如果添加輔助線，造出一個(gè)三角形，使其兩邊恰與AB、AC相等，而另一邊正好為AD的2倍，問(wèn)題