第九章歐氏空間統(tǒng)計專業(yè)用

第九章歐氏空間統(tǒng)計專業(yè)用第1頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月一、歐氏空間的定義

§8.1定義與基本性質(zhì)二、歐氏空間中向量的長度三、歐氏空間中向量的夾角四、n維歐氏空間中內(nèi)積的矩陣表示五、歐氏子空間第2頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月問題的引入：性質(zhì)(如長度、夾角)等在一般線性空間中沒有涉及.其具體模型為幾何空間、

1、線性空間中，向量之間的基本運(yùn)算為線性運(yùn)算，但幾何空間的度量長度：都可以通過內(nèi)積反映出來：夾角

：2、在解析幾何中，向量的長度，夾角等度量性質(zhì)3、幾何空間中向量的內(nèi)積具有比較明顯的代數(shù)性質(zhì)..第3頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月滿足性質(zhì)：當(dāng)且僅當(dāng)

時一、歐氏空間的定義1.定義設(shè)V是實數(shù)域R上的線性空間，對V中任意兩個向量、定義一個二元實函數(shù)，記作，若（對稱性）（數(shù)乘）（可加性）（正定性）.第4頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月①

V為實數(shù)域R上的線性空間;②V除向量的線性運(yùn)算外，還有“內(nèi)積”運(yùn)算;③

歐氏空間V是特殊的線性空間則稱

為

和

的內(nèi)積，并稱這種定義了內(nèi)積的實數(shù)域R上的線性空間V為歐氏空間.注：.第5頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月例1．在中，對于向量

當(dāng)時，1）即為幾何空間中內(nèi)積在直角坐標(biāo)系下的表達(dá)式.即這樣對于內(nèi)積就成為一個歐氏空間.易證滿足定義中的性質(zhì)～.1）定義

（1）

所以,為內(nèi)積..第6頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月2）定義

從而對于內(nèi)積也構(gòu)成一個歐氏空間.由于對未必有注意：所以1），2）是兩種不同的內(nèi)積.從而對于這兩種內(nèi)積就構(gòu)成了不同的歐氏空間.易證滿足定義中的性質(zhì)～.所以也為內(nèi)積..第7頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月例2．為閉區(qū)間上的所有實連續(xù)函數(shù)所成線性空間，對于函數(shù)，定義（2）

則對于（2）作成一個歐氏空間.證：

.第8頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月且若則故因此，為內(nèi)積，為歐氏空間..第9頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月推廣：

2.內(nèi)積的簡單性質(zhì)V為歐氏空間，.第10頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月2)歐氏空間V中，使得有意義.二、歐氏空間中向量的長度1.引入長度概念的可能性1）在中向量的長度（模）

2.向量長度的定義稱為向量的長度.特別地，當(dāng)時，稱為單位向量.

.第11頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月3.向量長度的簡單性質(zhì)3）非零向量的單位化：

（3）

.第12頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月1）在

中向量與的夾角

2）在一般歐氏空間中推廣（4）的形式，首先三、歐氏空間中向量的夾角1.引入夾角概念的可能性應(yīng)證明不等式：

此即,（4）

.第13頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月對歐氏空間V中任意兩個向量，有（5）2.柯西－布涅柯夫斯基不等式當(dāng)且僅當(dāng)線性相關(guān)時等號成立..第14頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)V為歐氏空間，為V中任意兩非零向量，的夾角定義為4.歐氏空間中兩非零向量的夾角定義1：.第15頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月①零向量與任意向量正交.注：②即.設(shè)為歐氏空間中兩個向量，若內(nèi)積

則稱與正交或互相垂直，記作

定義2：.第16頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月5.勾股定理設(shè)V為歐氏空間，證：.第17頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月例3、已知在通常的內(nèi)積定義下，求解：又通常稱為與的距離，記作.第18頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月歐氏空間V的子空間在V中定義的內(nèi)積之下也是一個歐氏空間，稱之為V的歐氏子空間.五、歐氏空間的子空間.第19頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月一、正交向量組

§8.2標(biāo)準(zhǔn)正交基二、標(biāo)準(zhǔn)正交基三、正交矩陣第20頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)Ｖ為歐氏空間，非零向量①若則是正交向量組.②正交向量組必是線性無關(guān)向量組.一、正交向量組定義：如果它們兩兩正交，則稱之為正交向量組.注：.第21頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月維歐氏空間中，由個向量構(gòu)成的正交向量組稱為正交基；1.標(biāo)準(zhǔn)正交基的定義由單位向量構(gòu)成的正交基稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基.

注：①由正交基的每個向量單位化，可得到一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.二、標(biāo)準(zhǔn)正交基.第22頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月②維歐氏空間V中的一組基為標(biāo)準(zhǔn)正交基③維歐氏空間V中的一組基為標(biāo)準(zhǔn)正交基當(dāng)且僅當(dāng)其度量矩陣

(1)

④維歐氏空間V中標(biāo)準(zhǔn)正交基的作用:設(shè)為V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，則.第23頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月(i)設(shè)由(1)，(ii)

(3)這里

(iii)有

(2).第24頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月(定理1)維歐氏空間中任一個正交向量組都能擴(kuò)充成一組正交基.2.標(biāo)準(zhǔn)正交基的構(gòu)造─施密特(Schmidt)正交化過程

1）.第25頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月2）都可找到一組標(biāo)準(zhǔn)正交基使(定理2)對于維歐氏空間中任一組基第26頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月②Schmidt正交化過程:化成正交向量組先把線性無關(guān)的向量組再單位化得標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.第27頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月例1.

把

變成單位正交的向量組.解：令正交化.第28頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月再單位化即為所求．.第29頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)與是維歐氏空間V中的兩組標(biāo)準(zhǔn)正交基，它們之間過渡矩陣是

即

4.標(biāo)準(zhǔn)正交基間的基變換或由于是標(biāo)準(zhǔn)正交基，所以（6）.第30頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月由公式（3），有（7）

把A按列分塊為由（7）有（8）

.第31頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月則稱A為正交矩陣.

2）由標(biāo)準(zhǔn)正交基到標(biāo)準(zhǔn)正交基的過渡矩陣是正交矩陣.三、正交矩陣1．定義設(shè)若Ａ滿足2．簡單性質(zhì)1）A為正交矩陣.第32頁，課件共33頁，創(chuàng)作于2023年2月3）設(shè)