第十二章 重積分 2

112.4.2柱面坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算A.

柱面坐標(biāo)系則點(diǎn)M(x,y,z)可表示成:M(cos,sin,z),設(shè)空間一點(diǎn)M(x,y,z),它在xOy坐標(biāo)面上的投影為P(x,y),如果用極坐標(biāo)表示點(diǎn)P且點(diǎn)M與三元有序數(shù)組(,,z)具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,故稱三元有序數(shù)組(,,z)是點(diǎn)M的柱面坐標(biāo).2點(diǎn)M的直角坐標(biāo)(x,y,z)與點(diǎn)M的柱面坐標(biāo)(,,z)的關(guān)系是:在柱面坐標(biāo)系中三組特殊的曲面是:(稱為坐標(biāo)曲面)

=

0表示以z軸為中心軸的圓柱面;=0表示過(guò)z軸的半平面;z=z0表示與xOy面平行的平面.3

還有三組特殊的曲線:(稱為坐標(biāo)曲線)表示與z軸平行的直線;表示起點(diǎn)z軸上,且與z軸垂直的半直線;表示圓心在z軸上,且與z軸垂直的圓;4

有些空間曲面在柱面坐標(biāo)系下的方程比較簡(jiǎn)單,例如:

直角坐標(biāo)下柱面坐標(biāo)下球面:x2+y2+z2=R2,

2+z2=R2,

圓柱面:x2+y2=R2,

=R,

旋轉(zhuǎn)拋物面:z=x2+y2,z=

2,有些空間區(qū)域在柱面坐標(biāo)系下的表示更簡(jiǎn)明,例如:圓柱體

={(x,y,z)|x2+y2

R2,0z1},在柱面坐標(biāo)系下的可表示為：5

圓錐體在柱面坐標(biāo)系下的可表示為：1Oxyz6B.柱面坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算將三重積分轉(zhuǎn)化為柱面坐標(biāo)系下三重積分要考慮被積函數(shù)要用

,,z表示,還要考慮體積元素dV在柱面坐標(biāo)系下的表示式,現(xiàn)用三組坐標(biāo)面

=

0,=0,z=z0來(lái)分割區(qū)域,典型小區(qū)域體積：即體積元素dV在柱面坐標(biāo)系下為：dV=

d

d

dz,7如何計(jì)算如果用平行于z軸的直線去穿最多有

兩個(gè)交點(diǎn),則的邊界可表示為：上邊界：z=g2(,),下邊界：z=g1(,),其中D是

在xOy坐標(biāo)面上的投影,如果D又可表示為D：,h1()h2(),進(jìn)一步有：8例1.計(jì)算三重積分解:

在xOy坐標(biāo)面上的投影區(qū)域是：9例2.一立體

由平面y+z=4,z=0和圓柱面x2+y2=16所圍成,已知其上任一點(diǎn)的密度與該點(diǎn)到z軸的距離成正比,求立體的質(zhì)量.在xOy坐標(biāo)面上的投影區(qū)域是：x2+y216,即02,04,的上邊界曲面是平面：z=4sin,下邊界曲面是平面：z=0,解：由題意得密度函數(shù)為：

10=

=11在柱面坐標(biāo)系中也有先重后單的積分方法區(qū)域12例3.計(jì)算三重積分解:1312.4.3球面坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算A.球面坐標(biāo)系則點(diǎn)M可用三元有序數(shù)組(r,

,

)表示,稱為點(diǎn)M的球面坐標(biāo),點(diǎn)M的直角坐標(biāo)(x,y,z)與球面坐標(biāo)(r,

,

)的關(guān)系是：設(shè)空間一點(diǎn)M(x,y,z),如果用r表示點(diǎn)M與原點(diǎn)的距離,14球面坐標(biāo)系中的坐標(biāo)曲面為:r=r0

表示以原點(diǎn)為中心的球面；

=0

表示以原點(diǎn)為定點(diǎn),z軸為中心軸的錐面；

=0

表示過(guò)z軸的半平面；15球面坐標(biāo)系中的坐標(biāo)曲線為:表示一個(gè)半原周16有些空間曲面或空間區(qū)域在球面坐標(biāo)系下的方程比較簡(jiǎn)單,

直角坐標(biāo)下球面坐標(biāo)下球面:x2+y2+z2=R2,r=R,圓錐面:在球面坐標(biāo)系下可表示為：17B.球面坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算在球面坐標(biāo)系下,用三組坐標(biāo)曲面分割

,則典型小區(qū)域近似于長(zhǎng)方體,各邊之長(zhǎng)分別是:rd,rsind,dr長(zhǎng)方體的體積如何將球面坐標(biāo)系下的三重積分化為三次積分？18(1)若原點(diǎn)在內(nèi)部此時(shí)邊界曲面一般可表示為:r=r(,),

可表示為：19例3.計(jì)算三重積分