2016年上海市松江區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

2016年上海市松江區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷一.選擇題1．（3分）（2016?松江區(qū)一模）如果兩個相似三角形的面積比是1：4，那么它們的周長比是（）A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：22．（3分）（2016?松江區(qū)一模）下列函數(shù)中，屬于二次函數(shù)的是（）A．y=2x+1 B．y=（x﹣1）2﹣x2 C．y=2x2﹣7 D．3．（3分）（2016?松江區(qū)一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．4．（3分）（2016?松江區(qū)一模）若四邊形ABCD的對角線交于點O，且有，則以下結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．5．（3分）（2016?松江區(qū)一模）如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，那么（）A．a(chǎn)＜0，b＞0，c＞0 B．a(chǎn)＞0，b＜0，c＞0 C．a(chǎn)＞0，b＞0，c＜0 D．a(chǎn)＜0，b＜0，c＜06．（3分）（2016?松江區(qū)一模）P是△ABC一邊上的一點（P不與A、B、C重合），過點P的一條直線截△ABC，如果截得的三角形與△ABC相似，我們稱這條直線為過點P的△ABC的“相似線”．Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，當(dāng)點P為AC的中點時，過點P的△ABC的“相似線”最多有幾條？（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條二.填空題7．（4分）（2016?松江區(qū)一模）若a：b：c=1：3：2，且a+b+c=24，則a+b﹣c=．8．（4分）（2016?松江區(qū)一模）已知線段a=2cm，b=8cm，那么線段a和b的比例中項為cm．9．（4分）（2016?松江區(qū)一模）二次函數(shù)y=﹣2x2﹣x+3的圖象與y軸的交點坐標(biāo)為．10．（4分）（2016?昆明模擬）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=4，sinB=，那么AB=．11．（4分）（2016?松江區(qū)一模）一位運動員投擲鉛球，如果鉛球運行時離地面的高度為y（米）關(guān)于水平距離x（米）的函數(shù)解析式為y=﹣，那么鉛球運動過程中最高點離地面的距離為米．12．（4分）（2016?松江區(qū)一模）如圖，直線AD∥BE∥CF，，DE=6，那么EF的值是．13．（4分）（2016?松江區(qū)一模）在一個斜坡上前進5米，水平高度升高了1米，則該斜坡坡度i=．14．（4分）（2016?松江區(qū)一模）若點A（﹣3，y1）、B（0，y2）是二次函數(shù)y=﹣2（x﹣1）2+3圖象上的兩點，那么y1與y2的大小關(guān)系是（填y1＞y2、y1=y2或y1＜y2）．15．（4分）（2016?松江區(qū)一模）將拋物線y=x2沿x軸向右平移2個單位后所得拋物線的解析式是．16．（4分）（2016?邗江區(qū)二模）如圖，已知DE∥BC，且DE經(jīng)過△ABC的重心G，若BC=6cm，那么DE等于cm．17．（4分）（2016?松江區(qū)一模）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（0，3）、（4，3）兩點，則該二次函數(shù)的圖象對稱軸為直線．18．（4分）（2016?松江區(qū)一模）已知在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，點D是AB邊上一點，將△ABC沿著直線CD翻折，點A落在直線AB上的點A′處，則sin∠A′CD=．三.解答題19．（10分）（2016?松江區(qū)一模）已知拋物線y=x2+bx+3經(jīng)過點A（﹣1，8），頂點為M；（1）求拋物線的表達式；（2）設(shè)拋物線對稱軸與x軸交于點B，連接AB、AM，求△ABM的面積．20．（16分）（2016?松江區(qū)一模）如圖，已知平行四邊形ABCD，點M、N是邊DC、BC的中點，設(shè)=，=；（1）求向量（用向量、表示）；（2）在圖中求作向量在、方向上的分向量；（不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的向量）21．（10分）（2016?泰州二模）如圖，小明所在教學(xué)樓的每層高度為3.5米，為了測量旗桿MN的高度，他在教學(xué)樓一樓的窗臺A處測得旗桿頂部M的仰角為45°，他在二樓窗臺B處測得M的仰角為31°，已知每層樓的窗臺離該層的地面高度均為1米，求旗桿MN的高度；（結(jié)果保留兩位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）22．（10分）（2016?松江區(qū)一模）如圖，已知△ABC中，∠C=90°，tanA=，點D在邊AB上，AD：DB=3：1，求cot∠DCB的值．23．（10分）（2016?松江區(qū)一模）已知如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點D，點E在AB上，且BD2=BE?BC；（1）求證：∠BDE=∠C；（2）求證：AD2=AE?AB．24．（10分）（2016?松江區(qū)一模）如圖，已知拋物線y=ax2+bx﹣3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，O是坐標(biāo)原點，已知點B的坐標(biāo)是（3，0），tan∠OAC=3；（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）點P在x軸上方的拋物線上，且∠PAB=∠CAB，求點P的坐標(biāo)；（3）點D是y軸上一動點，若以D、C、B為頂點的三角形與△ABC相似，求出符合條件的點D的坐標(biāo)．25．（18分）（2016?松江區(qū)一模）已知，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠BCD=45°，AD=3，BC=9，點P是對角線AC上的一個動點，且∠APE=∠B，PE分別交射線AD和射線CD于點E和點G；（1）如圖1，當(dāng)點E、D重合時，求AP的長；（1）如圖2，當(dāng)點E在AD的延長線上時，設(shè)AP=x，DE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（3）當(dāng)線段DG=時，求AE的值．

2016年上海市松江區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一.選擇題1．（3分）（2016?松江區(qū)一模）如果兩個相似三角形的面積比是1：4，那么它們的周長比是（）A．1：16 B．1：4 C．1：6 D．1：2【考點】相似三角形的性質(zhì)．【分析】根據(jù)相似三角形周長的比等于相似比，相似三角形面積的比等于相似比的平方解答即可．【解答】解：∵兩個相似三角形的面積比是1：4，∴兩個相似三角形的相似比是1：2，∴兩個相似三角形的周長比是1：2，故選：D．【點評】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形周長的比等于相似比，相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．2．（3分）（2016?松江區(qū)一模）下列函數(shù)中，屬于二次函數(shù)的是（）A．y=2x+1 B．y=（x﹣1）2﹣x2 C．y=2x2﹣7 D．【考點】二次函數(shù)的定義．【分析】根據(jù)一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的定義判斷各選項即可得出答案．【解答】解：A、是一次函數(shù)，故本選項錯誤；B、整理后是一次函數(shù)，故本選項錯誤；C、y=2x2﹣7是二次函數(shù)，故本選項正確；D、y與x2是反比例函數(shù)關(guān)系，故本選項錯誤．故選：C．【點評】本題考查了二次函數(shù)的定義，關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的定義條件：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的定義條件是：a、b、c為常數(shù)，a≠0，自變量最高次數(shù)為2．3．（3分）（2016?松江區(qū)一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，則下列結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【考點】銳角三角函數(shù)的定義．【分析】首先利用勾股定理求得AC的長，然后利用三角函數(shù)的定義求解，即可作出判斷．【解答】解：在直角△ABC中，AC===．則sinA==，故A錯誤；cosA==，故B正確；tanA===，故C錯誤；cotA===，故D錯誤．故選B．【點評】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊．4．（3分）（2016?松江區(qū)一模）若四邊形ABCD的對角線交于點O，且有，則以下結(jié)論正確的是（）A． B． C． D．【考點】*平面向量．【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，然后由，可得AB∥CD，AB=2DC即可證得△OAB∽△OCD，然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，證得OA：OC=OB：OD=AB：CD=2：1，繼而求得答案．【解答】解：A、∵，∴AB∥CD，AB=2DC，∴△OAB∽△OCD，∴OA：OC=AB：DC=2：1，∴OA=2OC，∴=2；故正確；B、||不一定等于||；故錯誤；C、≠，故錯誤；D、=；故錯誤．故選A．【點評】此題考查了平面向量的知識以及相似三角形的判定與性質(zhì)．注意掌握證得△AOB∽△COD是解此題的關(guān)鍵．5．（3分）（2016?松江區(qū)一模）如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，那么（）A．a(chǎn)＜0，b＞0，c＞0 B．a(chǎn)＞0，b＜0，c＞0 C．a(chǎn)＞0，b＞0，c＜0 D．a(chǎn)＜0，b＜0，c＜0【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．【專題】數(shù)形結(jié)合．【分析】利用拋物線開口方向確定a的符號，利用對稱軸方程可確定b的符號，利用拋物線與y軸的交點位置可確定c的符號．【解答】解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)，∴x=﹣＞0，∴b＞0，∵拋物線與y軸的交點在x軸上方，∴c＞0．故選A．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大?。寒?dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點位置：拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點個數(shù)由△決定：△=b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b2﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．6．（3分）（2016?松江區(qū)一模）P是△ABC一邊上的一點（P不與A、B、C重合），過點P的一條直線截△ABC，如果截得的三角形與△ABC相似，我們稱這條直線為過點P的△ABC的“相似線”．Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，當(dāng)點P為AC的中點時，過點P的△ABC的“相似線”最多有幾條？（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【考點】相似三角形的判定．【專題】新定義．【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法分別利用平行線以及垂直平分線的性質(zhì)得出對應(yīng)角相等即可得出．【解答】解：如圖所示：當(dāng)PD∥BC時，△APD∽△ACB；當(dāng)PE∥AB時，△CPE∽△BAC；當(dāng)PF⊥AB時，△APF∽△ABC故過點P的△ABC的相似線最多有3條．故選：C．【點評】此題主要考查了相似三角形的判定，正確掌握相似三角形的判定方法作出輔助線是解題關(guān)鍵．二.填空題7．（4分）（2016?松江區(qū)一模）若a：b：c=1：3：2，且a+b+c=24，則a+b﹣c=8．【考點】比例的性質(zhì)．【分析】設(shè)a=k，則b=3k，c=2k，根據(jù)a+b+c=24即可代入求得k，然后代入求得所求代數(shù)式的值．【解答】解：∵a：b：c=1：3：2，∴設(shè)a=k，則b=3k，c=2k，又∵a+b+c=24，∴k+3k+2k=24，∴k=4，∴a+b﹣c=k+3k﹣2k=2k=2×4=8．故答案是：8．【點評】本題考查了比例的性質(zhì)，根據(jù)a：b：c=1：3：2正確設(shè)出未知數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．8．（4分）（2016?松江區(qū)一模）已知線段a=2cm，b=8cm，那么線段a和b的比例中項為4cm．【考點】比例線段．【分析】比例的基本性質(zhì)：兩外項之積等于兩內(nèi)項之積．【解答】解：根據(jù)比例中項的概念結(jié)合比例的基本性質(zhì)，得：比例中項的平方等于兩條線段的乘積．設(shè)它們的比例中項是x，則x2=2×8，x=±4（線段是正數(shù)，負值舍去）．故答案為4．【點評】考查了比例中項的概念，注意：求兩條線段的比例中項的時候，應(yīng)舍去負數(shù)．9．（4分）（2016?松江區(qū)一模）二次函數(shù)y=﹣2x2﹣x+3的圖象與y軸的交點坐標(biāo)為（0，3）．【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征．【分析】把x=0代入即可求得．【解答】解：把x=0代入y=﹣2x2﹣x+3得，y=3，所以二次函數(shù)y=﹣2x2﹣x+3的圖象與y軸的交點坐標(biāo)為（0，3），故答案為（0，3）．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，y軸上的點的橫坐標(biāo)為0是解題的關(guān)鍵．10．（4分）（2016?昆明模擬）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AC=4，sinB=，那么AB=6．【考點】銳角三角函數(shù)的定義．【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的定義即可直接求解．【解答】解：∵sinB=，∴AB===6．故答案是：6．【點評】本題考查了正弦函數(shù)的定義，是所對的直角邊與斜邊的比，理解定義是關(guān)鍵．11．（4分）（2016?松江區(qū)一模）一位運動員投擲鉛球，如果鉛球運行時離地面的高度為y（米）關(guān)于水平距離x（米）的函數(shù)解析式為y=﹣，那么鉛球運動過程中最高點離地面的距離為3米．【考點】二次函數(shù)的應(yīng)用．【分析】直接利用配方法求出二次函數(shù)最值即可．【解答】解：由題意可得：y=﹣=﹣（x2﹣8x）+=﹣（x﹣4）2+3，故鉛球運動過程中最高點離地面的距離為：3m．故答案為：3．【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，正確利用配方法求出最值是解題關(guān)鍵．12．（4分）（2016?松江區(qū)一模）如圖，直線AD∥BE∥CF，，DE=6，那么EF的值是4．【考點】平行線分線段成比例．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，即可得出結(jié)果．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，，∴=，即，解得：EF=4故答案為：4．【點評】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例．13．（4分）（2016?松江區(qū)一模）在一個斜坡上前進5米，水平高度升高了1米，則該斜坡坡度i=1：2．【考點】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題．【專題】推理填空題．【分析】根據(jù)在一個斜坡上前進5米，水平高度升高了1米，可以計算出此時的水平距離，水平高度與水平距離的比值即為坡度，從而可以解答本題．【解答】解：設(shè)在一個斜坡上前進5米，水平高度升高了1米，此時水平距離為x米，根據(jù)勾股定理，得x2+12=52，解得，（舍去），故該斜坡坡度i=1：2．故答案為：1：2．【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，解題的關(guān)鍵是明確什么是坡度．14．（4分）（2016?松江區(qū)一模）若點A（﹣3，y1）、B（0，y2）是二次函數(shù)y=﹣2（x﹣1）2+3圖象上的兩點，那么y1與y2的大小關(guān)系是y1＜y2（填y1＞y2、y1=y2或y1＜y2）．【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征．【分析】分別計算自變量為﹣2、3時的函數(shù)值，然后比較函數(shù)值的大小即可．【解答】解：當(dāng)x=﹣3時，y1=﹣2（x﹣1）2+3=﹣29；當(dāng)x=0時，y2=﹣2（x﹣1）2+3=1；∵﹣29＜1，∴y1＜y2，故答案為：y1＜y2．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)滿足其解析式．也考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．15．（4分）（2016?松江區(qū)一模）將拋物線y=x2沿x軸向右平移2個單位后所得拋物線的解析式是y=（x﹣2）2．【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【分析】直接根據(jù)“左加右減”的原則進行解答即可．【解答】解：由“左加右減”的原則可知，將拋物線y=x2向右平移2個單位，所得函數(shù)解析式為：y=（x﹣2）2．故答案為：y=（x﹣2）2．【點評】本題考查的是函數(shù)圖象平移的法則，根據(jù)“上加下減，左加右減”得出是解題關(guān)鍵．16．（4分）（2016?邗江區(qū)二模）如圖，已知DE∥BC，且DE經(jīng)過△ABC的重心G，若BC=6cm，那么DE等于4cm．【考點】三角形的重心．【分析】利用重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1，進而求出答案．【解答】解：連接AG并延長到BC上一點N，∵△ABC的重心G，DE∥BC，∴△ADG∽△ABN，BN=CN，DG=GE，∴==，∴=，解得：DG=2，∴DE=4．故答案為：4．【點評】此題主要考查了重心的定義以及相似三角形的判定與性質(zhì)，得出DG的長是解題關(guān)鍵．17．（4分）（2016?松江區(qū)一模）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（0，3）、（4，3）兩點，則該二次函數(shù)的圖象對稱軸為直線x=2．【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】推理填空題．【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象具有對稱性，由二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（0，3）、（4，3）兩點，可以得到該二次函數(shù)的圖象對稱軸，從而可以解答本題．【解答】解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（0，3）、（4，3）兩點，∴該二次函數(shù)的圖象對稱軸為直線：x=，故答案為：x=2．【點評】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱．18．（4分）（2016?松江區(qū)一模）已知在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，點D是AB邊上一點，將△ABC沿著直線CD翻折，點A落在直線AB上的點A′處，則sin∠A′CD=．【考點】翻折變換（折疊問題）．【分析】點A落在直線AB上的點A′處，則CD⊥AB，D就是垂足，根據(jù)三角形的面積公式求得CD的長，然后在直角△ACD中利用勾股定理求得AD，再根據(jù)sin∠A′CD=sin∠ACD求解．【解答】解：作CD⊥AB于點D．在直角△ABC中，AB===5，∵S△ABC=AB?CD=BC?AC，∴CD===，在直角△ACD中，AD==，∴sin∠A′CD=sin∠ACD===．故答案是：．【點評】本題考查了圖形的折疊以及勾股定理的應(yīng)用，正確理解∠ACD=∠A′CD是關(guān)鍵．三.解答題19．（10分）（2016?松江區(qū)一模）已知拋物線y=x2+bx+3經(jīng)過點A（﹣1，8），頂點為M；（1）求拋物線的表達式；（2）設(shè)拋物線對稱軸與x軸交于點B，連接AB、AM，求△ABM的面積．【考點】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；拋物線與x軸的交點．【分析】（1）把點A的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，列出關(guān)于系數(shù)b的方程，通過解方程求得b的值即可；（2）由（1）中函數(shù)解析式得到對稱軸為x=2，然后結(jié)合三角形的面積公式進行解答即可．【解答】解：（1）∵拋物線y=x2+bx+3經(jīng)過點A（﹣1，8），∴8=（﹣1）2﹣b+3，解得b=﹣4，∴所求拋物線的表達式為y=x2﹣4x+3；（2）作AH⊥BM于點H，∵由拋物線y=x2﹣4x+3解析式可得，點M的坐標(biāo)為（2，﹣1），點B的坐標(biāo)為（2，0），∴BM=1，∵對稱軸為直線x=2，∴AH=3，∴△ABM的面積=．【點評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，拋物線與x軸的交點．解題的關(guān)鍵是正確求出拋物線的解析式．20．（16分）（2016?松江區(qū)一模）如圖，已知平行四邊形ABCD，點M、N是邊DC、BC的中點，設(shè)=，=；（1）求向量（用向量、表示）；（2）在圖中求作向量在、方向上的分向量；（不要求寫作法，但要指出所作圖中表示結(jié)論的向量）【考點】*平面向量．【分析】（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，可得，又由點M、N是邊DC、BC的中點，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，即可求得向量；（2）首先平移向量，然后利用平行四邊形法則，即可求得答案．【解答】解：（1）方法一：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，AD∥BC，AB=DC，AD=BC，∵，，∴，，∵點M、N分別為DC、BC的中點，∴，，∴．方法二：∵，，∴，∵點M、N分別為DC、BC的中點，∴；（2）作圖：結(jié)論：、是向量分別在、方向上的分向量．【點評】此題考查了平面向量的知識、平行四邊形的性質(zhì)以及三角形的中位線的性質(zhì)．注意掌握平行四邊形法則與三角形法則的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵．21．（10分）（2016?泰州二模）如圖，小明所在教學(xué)樓的每層高度為3.5米，為了測量旗桿MN的高度，他在教學(xué)樓一樓的窗臺A處測得旗桿頂部M的仰角為45°，他在二樓窗臺B處測得M的仰角為31°，已知每層樓的窗臺離該層的地面高度均為1米，求旗桿MN的高度；（結(jié)果保留兩位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題．【分析】過點M的水平線交直線AB于點H，設(shè)MH=x，則AH=x，結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)和解直角三角形ABH得到AB=AH﹣BH=x﹣0.60x=0.4x=3.5，由此求得MH的長度，則MN=AB+BH．【解答】解：過點M的水平線交直線AB于點H，由題意，得∠AMH=∠MAH=45°，∠BMH=31°，AB=3.5，設(shè)MH=x，則AH=x，BH=xtan31°=0.60x，∴AB=AH﹣BH=x﹣0.60x=0.4x=3.5，解得x=8.75，則旗桿高度MN=x+1=9.75（米）答：旗桿MN的高度度約為9.75米．【點評】本題考查了解直角三角形﹣﹣仰角俯角問題．要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．22．（10分）（2016?松江區(qū)一模）如圖，已知△ABC中，∠C=90°，tanA=，點D在邊AB上，AD：DB=3：1，求cot∠DCB的值．【考點】解直角三角形．【專題】探究型．【分析】作輔助線DH⊥BC，根據(jù)，∠C=90°，tanA=，點D在邊AB上，AD：DB=3：1，可知△BDH∽△BAC，從而可以得到各邊之間的關(guān)系，從而可以得到cot∠DCB的值．【解答】解：過D點作DH⊥BC于點H，如下圖所示：∵∠ACB=90°，∴DH∥AC，∴△BDH∽△BAC，∴∠BDH=∠A，∵AD：DB=3：1，∴BH：BC=BD：BA=1：4，設(shè)BH=x，則BC=4x，CH=3x，∵∠C=90°，，∠BDH=∠A，∴DH=2x，∵DH⊥BC，∴cot∠DCB=，即cot∠DCB=．【點評】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是找出各邊之間的關(guān)系，然后求出所求角的三角函數(shù)值．23．（10分）（2016?松江區(qū)一模）已知如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于點D，點E在AB上，且BD2=BE?BC；（1）求證：∠BDE=∠C；（2）求證：AD2=AE?AB．【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到∠ABD=∠CBD，由BD2=BE?BC，得到，推出△EBD∽△DBC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）由∠BDE=∠C，推出∠DBC=∠ADE，等量代換得到∠ABD=∠ADE，證得△ADE∽△ABD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】證明：（1）∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵BD2=BE?BC，∴，∴△EBD∽△DBC，∴∠BDE=∠C；（2）∵∠BDE=∠C，∠DBC+∠C=∠BDE+∠ADE，∴∠DBC=∠ADE，∵∠ABD=∠CBD，∴∠ABD=∠ADE，∴△ADE∽△ABD，∴，即AD2=AE?AB．【點評】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．24．（10分）（2016?松江區(qū)一模）如圖，已知拋物線y=ax2+bx﹣3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，O是坐標(biāo)原點，已知點B的坐標(biāo)是（3，0），tan∠OAC=3；（1）求該拋物線的函數(shù)表達式；（2）點P在x軸上方的拋物線上，且∠PAB=∠CAB，求點P的坐標(biāo)；（3）點D是y軸上一動點，若以D、C、B為頂點的三角形與△ABC相似，求出符合條件的點D的坐標(biāo)．【考點】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）根據(jù)正切函數(shù)，可得A點坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)正切函數(shù)，可得P點坐標(biāo)，根據(jù)圖象上的點滿足函數(shù)解析式，可得關(guān)于x的方程，根據(jù)解方程，可得答案；（3）根據(jù)兩組對邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似，可得關(guān)于y的方程，根據(jù)解方程，可得答案．【解答】解（1）∵拋物線y=ax2+bx﹣3與y軸交于點C，∴點C的坐標(biāo)為（0，﹣3），∴OC=3，∵tan∠OAC=3，∴OA=1，即點A的坐標(biāo)為（﹣1，0），又點B（3，0），∴，解得，∴拋物線的函數(shù)表達式是y=x2﹣2x﹣3；（2）∵∠PAB=∠CAB，∴tan∠PAB=tan∠CAB=3，∵點P在x軸上方，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為x，則點P的縱坐標(biāo)為3（x+1），∴3（x+1）=x2﹣2x﹣3，得x=﹣1（舍去）或x=6，當(dāng)x=6時，y=21，∴點P的坐標(biāo)為（6，21）；（3）如圖，設(shè)點D的坐標(biāo)為（0，y），易得△ABC為∠ABC=45°的銳角三角形，所以△DCB也是銳角三角形，∴點D在點C的上方，∴∠DCB=45°，∴∠ABC=∠DCB，∵AB=4，BC=，DC=y+3，①如果=，則=，∴y=1，即點D（0，1），②如果=則=，∴y=，即點D1（0，）．【點評】本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)求函數(shù)解析式；利用正切函數(shù)得出P點坐標(biāo)是解題關(guān)鍵，又利用圖象上的點滿足函數(shù)解析式得出P點坐標(biāo)；利用兩組對邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似得出關(guān)于y的方程是解題關(guān)鍵，要分類討論，以防遺漏．25．（18分）（2016?松江區(qū)一模）已知，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠BCD=45°，AD=3，BC=9，點P是對角線AC上的一個動點，且∠APE=∠B，PE分別交射線AD和射線CD于點E和點G；（1）如圖1，當(dāng)點E、D重合時，求AP的長；（1）如圖2，當(dāng)點E在AD的延長線上時，設(shè)AP=