2016-2017學(xué)年人教A版選修4-5綜合法與分析法學(xué)案

課堂探究1．如何理解綜合法證明不等式剖析：(1)證明的特點．綜合法又叫順推證法或由因?qū)Ч?，是由已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推出所要證明的結(jié)論成立．(2)證明的框圖表示．用P表示已知條件或已有的不等式，用Q表示所要證明的結(jié)論，則綜合法可用框圖表示為eq\x(P?Q1)→eq\x(Q1?Q2)→eq\x(Q2?Q3)→…→eq\x(Qn?Q)(3)證明的主要依據(jù)．①a－b＞0a＞b，a－b＝0a＝b，a－b＜0a＜b；②不等式的性質(zhì)；③幾個重要不等式：a2≥0(a∈R)，a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)(a＞0，b＞0)．名師點拔使用綜合法時要防止因果關(guān)系不清晰，邏輯表達(dá)混亂等現(xiàn)象．2．如何理解分析法證明不等式剖析：(1)證明的特點．分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法，是須從證明的不等式出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件．直到最后把要證明的不等式轉(zhuǎn)化為判定一個明顯成立的不等式為止．(2)證明過程的框圖表示．用Q表示要證明的不等式，則分析法可用框圖表示為eq\x(得到一個明顯成立的不等式)←…←eq\x(P3?P2)←eq\x(P2?P1)←eq\x(P1?Q)3．綜合法和分析法的優(yōu)點剖析：綜合法的優(yōu)點是結(jié)構(gòu)整齊，而分析法更容易找到證明不等式的突破口，所以通常是分析法找思路，綜合法寫步驟．名師點拔分析法證明不等式是“逆求”，而絕不是逆推，即尋找的是充分條件，而不是必要條件．題型一綜合法證明不等式【例1】已知a，b＞0，且a＋b＝1，求證：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))2≥eq\f(25,2).分析：本題中條件a＋b＝1是解題的重點，由基本不等式的知識聯(lián)想知應(yīng)由重要不等式來變形出要證明的結(jié)論，本題a＋b＝1，也可以視為是“1”的代換問題．證法一：不等式左邊＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))2＝a2＋b2＋4＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＋\f(1,b2)))＝4＋a2＋b2＋eq\f((a＋b)2,a2)＋eq\f((a＋b)2,b2)＝4＋a2＋b2＋1＋eq\f(2b,a)＋eq\f(b2,a2)＋eq\f(a2,b2)＋eq\f(2a,b)＋1＝4＋(a2＋b2)＋2＋2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b2,a2)＋\f(a2,b2)))≥4＋eq\f((a＋b)2,2)＋2＋2×2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＋2·eq\f(b,a)·eq\f(a,b)＝4＋eq\f(1,2)＋2＋4＋2＝eq\f(25,2)，即原不等式成立．證法二：∵a，b＞0，且a＋b＝1，∴ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝eq\f(1,4).∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))2＝4＋(a2＋b2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＋\f(1,b2)))＝4＋[(a＋b)2－2ab]＋eq\f((a＋b)2－2ab,a2b2)＝4＋(1－2ab)＋eq\f(1－2ab,a2b2)≥4＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－2×\f(1,4)))＋eq\f(1－2×\f(1,4),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2)＝eq\f(25,2).∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,a)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(1,b)))2≥eq\f(25,2).反思(1)綜合法證明不等式，揭示了條件和結(jié)論之間的因果聯(lián)系，為此要著力分析已知與求證之間的差異與聯(lián)系．合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，恰當(dāng)選擇已知條件，這是證明的關(guān)鍵．(2)綜合法證明不等式中所依賴的已知不等式主要是重要不等式，其中常用的有如下幾個：①a2≥0(a∈R)．②(a－b)2≥0(a，b∈R)，其變形有：a2＋b2≥2ab，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≥ab，a2＋b2≥eq\f(1,2)(a＋b)2.③若a，b為正實數(shù)，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab).特別eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2.④a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.題型二分析法證明不等式【例2】已知a＞b＞0，求證：eq\f((a－b)2,8a)＜eq\f(a＋b,2)－eq\r(ab)＜eq\f((a－b)2,8b).分析：本題要證明的不等式顯得較為復(fù)雜，由a＞b＞0不容易得到要證明的不等式，因而可以用分析法先變形要證明的不等式，從中找到證題的線索．證明：要證原不等式成立，只需證eq\f((a－b)2,4a)＜a＋b－2eq\r(ab)＜eq\f((a－b)2,4b)，即證eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－b,2\r(a))))2＜(eq\r(a)－eq\r(b))2＜eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－b,2\r(b))))2.只需證eq\f(a－b,2\r(a))＜eq\r(a)－eq\r(b)＜eq\f(a－b,2\r(b))，即eq\f(\r(a)＋\r(b),2\r(a))＜1＜eq\f(\r(a)＋\r(b),2\r(b))，即eq\r(\f(b,a))＜1＜eq\r(\f(a,b)).只需證eq\f(b,a)＜1＜eq\f(a,b).∵a＞b＞0，∴eq\f(b,a)＜1＜eq\f(a,b)成立．∴原不等式成立．反思分析法的格式是固定化的，但是每一步都是上一步的充分條件，即每一步數(shù)學(xué)式的變化都是在這個要求之下一步一步去尋找成立的條件或結(jié)論、定理.題型三易錯辨析【例3】已知a，b，c＞0，求證eq\f(a2b2＋b2c2＋c2a2,a＋b＋c)≥abc.錯解：因為a2b2＋b2c2＋c2≥3eq\r(3,a2b2·b2c2·c2a2)＝3abceq\r(3,abc)，①又a＋b＋c≥3eq\r(3,abc)，②故eq\f(a2b2＋b2c2＋c2a2,a＋b＋c)≥eq\f(3abc\r(3,abc),3\r(3,abc))≥abc.③錯因分析：我們知道不等式具有性質(zhì)：若a＞b＞0，c＞d＞0，則ac