中國(guó)古代數(shù)學(xué)史

中國(guó)古代數(shù)學(xué)史古代數(shù)學(xué)的萌芽公社末期，仰韶文化時(shí)期出土的陶器，上面已刻有表示1234的符號(hào)。原始公社末期，已開(kāi)始用文字符號(hào)取代結(jié)繩記事了。仰韶文化時(shí)期出土的陶器商代中期，在甲骨文中已產(chǎn)生一套十進(jìn)制數(shù)字和記數(shù)法，其中最大的數(shù)字為三萬(wàn)；與此同時(shí)，殷人用十個(gè)天干和十二個(gè)地支組成甲子、乙丑、丙寅、丁卯等60個(gè)名稱(chēng)來(lái)記60天的日期。

在周代，又把以前用陰、陽(yáng)符號(hào)構(gòu)成的八卦表示八種事物發(fā)展為六十四卦，表示64種事物。

春秋戰(zhàn)國(guó)籌算得到普遍的應(yīng)用，籌算記數(shù)法已使用十進(jìn)位值制，這種記數(shù)法對(duì)世界數(shù)學(xué)的發(fā)展是有劃時(shí)代意義的。測(cè)量數(shù)學(xué)在生產(chǎn)上有了廣泛應(yīng)用，在數(shù)學(xué)上亦有相應(yīng)的提高?；I算中國(guó)古代的籌算不僅是正、負(fù)整數(shù)與分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算和開(kāi)方，而且還包含著各種特定籌式的演算。中算家不僅利用籌碼不同的“位”來(lái)表示不同的“值”，發(fā)明了十進(jìn)位值制記數(shù)法，而且還利用籌在算板上各種相對(duì)位置排列成特定的數(shù)學(xué)模式，用以描述某種類(lèi)型的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題。例如列衰、盈朒、“方程”諸術(shù)所列籌式描述了實(shí)際中常見(jiàn)的比例問(wèn)題和線性問(wèn)題；天元、四元及開(kāi)方諸式，則刻畫(huà)了高次方程問(wèn)題；而大衍求一術(shù)則是為“乘率”而設(shè)計(jì)的特殊籌式。籌式以不同的位置關(guān)系表示特定的數(shù)量關(guān)系。在這些籌式所規(guī)定的不同“位”上，可以布列任意的數(shù)碼（它們隨著實(shí)際問(wèn)題的不同而取不同的數(shù)值），因而，中國(guó)古代的籌式本身就具有代數(shù)符號(hào)的性質(zhì)。可以認(rèn)為，是一種獨(dú)特的符號(hào)系統(tǒng)。中國(guó)古代的籌算表現(xiàn)為算法的形式，而具有模式化、程序化的特征。中國(guó)的籌算不用運(yùn)算符號(hào)，無(wú)須保留運(yùn)算的中間過(guò)程，只要求通過(guò)籌式的逐步變換而最終獲得問(wèn)題的解答。因此，中國(guó)古算中的“術(shù)”，都是用一套一套的“程序語(yǔ)言”所描寫(xiě)的程序化算法，并且中算家經(jīng)常將其依據(jù)的算理蘊(yùn)涵于演算的步驟之中，起到“不言而喻，不證自明”的作用?？梢哉f(shuō)“寓理于算”是古代籌算在表現(xiàn)形式上的又一特點(diǎn)。算籌是在珠算發(fā)明以前中國(guó)獨(dú)創(chuàng)并且是最有效的計(jì)算工具。中國(guó)古代數(shù)學(xué)的早期發(fā)達(dá)與持續(xù)發(fā)展是受惠于籌的戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的百家爭(zhēng)鳴也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展，尤其是對(duì)于證明和一些命題的爭(zhēng)論直接與數(shù)學(xué)有關(guān)。名家認(rèn)為經(jīng)過(guò)抽象以后的名詞概念與它們?cè)瓉?lái)的實(shí)體不同，他們提出“矩不方，規(guī)不可以為圓”，把“大一”（無(wú)窮大）定義為“至大無(wú)外”，“小一”（無(wú)窮?。┒x為“至小無(wú)內(nèi)”。還提出了“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”等命題。而墨家則認(rèn)為名來(lái)源于物，名可以從不同方面和不同深度反映物。墨家給出一些數(shù)學(xué)定義。例如圓、方、平、直、次（相切）、端（點(diǎn)）等等。墨家不同意“一尺之棰”的命題，提出一個(gè)“非半”的命題來(lái)進(jìn)行反駁：將一線段按一半一半地?zé)o限分割下去，就必將出現(xiàn)一個(gè)不能再分割的“非半”，這個(gè)“非半”就是點(diǎn)。名家的命題論述了有限長(zhǎng)度可分割成一個(gè)無(wú)窮序列，墨家的命題則指出了這種無(wú)限分割的變化和結(jié)果。名家和墨家的數(shù)學(xué)定義和數(shù)學(xué)命題的討論，對(duì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)理論的發(fā)展是很有意義的。。體系形成

秦漢是封建社會(huì)的上升時(shí)期，經(jīng)濟(jì)和文化均得到迅速發(fā)展。中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系正是形成于這個(gè)時(shí)期，它的主要標(biāo)志是算術(shù)已成為一個(gè)專(zhuān)門(mén)的學(xué)科，以及以《九章算術(shù)》為代表的數(shù)學(xué)著作的出現(xiàn)。

《九章算術(shù)》第一章“方田”：主要講述了平面幾何圖形面積的計(jì)算方法。第二章“粟米”：谷物糧食的按比例折換；提出比例算法，稱(chēng)為今有術(shù)；衰分章提出比例分配法則，稱(chēng)為衰分術(shù)；第三章“衰分”：比例分配問(wèn)題；介紹了開(kāi)平方、開(kāi)立方的方法，其程序與現(xiàn)今程序基本一致第四章“少?gòu)V”：已知面積、體積，反求其一邊長(zhǎng)和徑長(zhǎng)等；第五章“商功”：土石工程、體積計(jì)算；除給出了各種立體體積公式外，還有工程分配方法；第六章“均輸”：合理攤派賦稅；用衰分術(shù)解決賦役的合理負(fù)擔(dān)問(wèn)題。第七章“盈不足”：即雙設(shè)法問(wèn)題；提出了盈虧問(wèn)題，以及若干可以通過(guò)兩次假設(shè)化為盈不足問(wèn)題的一般問(wèn)題的解法。第八章“方程”：一次方程組問(wèn)題；采用分離系數(shù)的方法表示線性方程組，

勾股定理求解相當(dāng)于現(xiàn)在的矩陣；解線性方程組時(shí)使用的直除法，與矩陣的初等變換一致。第九章“勾股”：利用勾股定理求解的各種問(wèn)題。提出了勾股數(shù)問(wèn)題的通解公式：若a、b、c分別是勾股形的勾、股、弦，則，m>n。在西方，畢達(dá)哥拉斯、歐幾里得等僅得到了這個(gè)公式的幾種特殊情況。數(shù)學(xué)的發(fā)展

魏、晉吳國(guó)趙爽注《周髀算經(jīng)》。漢末魏初徐岳撰《九章算術(shù)》注，魏末晉初劉徽撰《九章算術(shù)》注、《九章重差圖》都是出現(xiàn)在這個(gè)時(shí)期。趙爽與劉徽的工作為中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系奠定了理論基礎(chǔ)。據(jù)考證，現(xiàn)傳本《周髀算經(jīng)》大約成書(shū)于西漢時(shí)期（公元前1世紀(jì)）為趙君卿所著?！吨荀滤憬?jīng)》在數(shù)學(xué)上的主要成就是介紹了勾股定理及其在測(cè)量上的應(yīng)用以及怎樣引用到天文計(jì)算劉徽他的《九章算術(shù)》注不僅是對(duì)《九章算術(shù)》的方法、公式和定理進(jìn)行一般的解釋和推導(dǎo)，而且在論述的過(guò)程中有很大的發(fā)展。劉徽創(chuàng)造割圓術(shù)，利用極限的思想證明圓的面積公式，并首次用理論的方法算得圓周率為157/50和3927/1250。劉徽用無(wú)窮分割的方法證明了直角方錐與直角四面體的體積比恒為2:1，解決了一般立體體積的關(guān)鍵問(wèn)題。在證明方錐、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積時(shí)，劉徽為徹底解決球的體積提出了正確途徑。

《九章算術(shù)》注東晉以后，祖沖之父子，把傳統(tǒng)數(shù)學(xué)大大向前推進(jìn)了一步。他們的數(shù)學(xué)工作主要有：計(jì)算出圓周率在3.1415926～3.1415927之間；提出祖暅原理。“冪勢(shì)既同則積不容異”，即等高的兩立體，若其任意高處的水平截面積相等，則這兩立體體積相等，這就是著名的祖暅公理。祖暅應(yīng)用這個(gè)公理，解決了劉徽尚未解決的球體積公式提出二次與三次方程的解法。隋煬帝大興土木，客觀上也促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。唐初王孝通的《緝古算經(jīng)》，主要討論土木工程中計(jì)算土方、工程分工、驗(yàn)收以及倉(cāng)庫(kù)和地窖的計(jì)算問(wèn)題，反映了這個(gè)時(shí)期數(shù)學(xué)的情況。王孝通在不用數(shù)學(xué)符號(hào)的情況下，立出數(shù)字三次方程，不僅解決了當(dāng)時(shí)社會(huì)的需要，也為后來(lái)天元術(shù)的建立打下基礎(chǔ)。此外，對(duì)傳統(tǒng)的勾股形解法，王孝通也是用數(shù)字三次方程解決的。

唐初統(tǒng)治者在656年在國(guó)子監(jiān)設(shè)立算學(xué)館，設(shè)有算學(xué)博士和助教，學(xué)生30人。由太史令李淳風(fēng)等編纂注釋《算經(jīng)十書(shū)》，李淳風(fēng)等編纂的《算經(jīng)十書(shū)》，他們給《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》以及《海島算經(jīng)》所作的注解，對(duì)讀者是有幫助的。隋唐時(shí)期，由于歷法的需要，天算學(xué)家創(chuàng)立了二次函數(shù)的內(nèi)插法，豐富了中國(guó)古代數(shù)學(xué)的內(nèi)容。唐中期以后，《新唐書(shū)》等文獻(xiàn)留下來(lái)的算書(shū)書(shū)目，可以看出這次算法改革主要是簡(jiǎn)化乘、除算法。

數(shù)學(xué)的繁榮

北宋，1084年秘書(shū)省第一次印刷出版了《算經(jīng)十書(shū)》。即賈憲的《黃帝九章算法細(xì)草》，劉