空間向量的應(yīng)用（原題版）

空間向量的應(yīng)用題型內(nèi)容：（1）六種位置關(guān)系的證明與判斷（2）三種空間角的求解（3）四種空間距離的求解（4）探索性問題的求解1．理解直線的方向向量與平面的法向量．2．能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角以及垂直與平行關(guān)系．3．能用向量方法證明平行和垂直．4．能用向量方法解決距離問題和簡(jiǎn)單夾角問題．重點(diǎn)難點(diǎn)：能用向量方法解決距離問題和簡(jiǎn)單夾角問題．閱讀課本內(nèi)容，自主完成下列內(nèi)容。知識(shí)點(diǎn)一：直線的方向向量和平面的法向量1、直線的方向向量：點(diǎn)A是直線l上的一個(gè)點(diǎn)，是直線l的方向向量，在直線l上取，取定空間中的任意一點(diǎn)O，則點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，使或，這就是空間直線的向量表達(dá)式．（1）在直線上取有向線段表示的向量，或在與它平行的直線上取有向線段表示的向量，均為直線的方向向量．（2）在解具體立體幾何題時(shí)，直線的方向向量一般不再敘述而直接應(yīng)用，可以參與向量運(yùn)算或向量的坐標(biāo)運(yùn)算．若在直線上，則直線的一個(gè)方向向量為（

）A．B．C．D．2、平面的法向量定義：直線l⊥α，取直線l的方向向量，我們稱向量為平面α的法向量．給定一個(gè)點(diǎn)A和一個(gè)向量，那么過點(diǎn)A，且以向量為法向量的平面完全確定，可以表示為集合．一個(gè)平面的法向量不是唯一的，在應(yīng)用時(shí)，可適當(dāng)取平面的一個(gè)法向量．已知一平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量，可求出該平面的一個(gè)法向量．知識(shí)點(diǎn)二：空間位置關(guān)系的向量表示1．設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為n1，n2，則線線平行l(wèi)∥m?a＝kb(k∈R)線面平行l(wèi)∥α?a⊥n1?a·n1＝0面面平行α∥β?n1∥n2?n1＝kn2(k∈R)線線垂直l⊥m?a·b＝0線面垂直l⊥α?a∥n1?a＝kn1(k∈R)面面垂直α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝02．利用空間向量證明空間垂直、平行的一般步驟(1)建立空間直角坐標(biāo)系，建系時(shí)要盡可能地利用條件中的垂直關(guān)系．(2)建立空間圖形與空間向量之間的關(guān)系，用空間向量表示出問題中所涉及的點(diǎn)、直線、平面的要素．(3)通過空間向量的運(yùn)算求出直線的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直關(guān)系．(4)根據(jù)運(yùn)算結(jié)果解釋相關(guān)問題．1.若直線l的方向向量，平面的法向量，則（

）A． B． C． D．或2.平面的法向量為，平面的法向量為，則下列命題正確的是（

）A．，平行 B．，垂直C．，重合 D．，相交不垂直知識(shí)點(diǎn)三空間距離的向量求法1．點(diǎn)到線的距離：設(shè)直線l的單位方向向量為u，A∈l，Pl，設(shè)＝a，則點(diǎn)P到直線l的距離d＝2．點(diǎn)到面的距離：已知平面α的法向量為n，A∈α，Pα，則點(diǎn)P到平面α的距離為d＝知識(shí)點(diǎn)四利用向量求空間角1．兩條異面直線所成的角設(shè)異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別為u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝＝eq\f(|u·v|,|u||v|)．兩異面直線所成的角的范圍為．兩異面直線所成的角可以通過這兩直線的方向向量的夾角來求得，但二者不完全相等，當(dāng)兩方向向量的夾角是鈍角時(shí)，應(yīng)取其補(bǔ)角作為兩異面直線所成的角．2．直線和平面所成的角直線AB與平面α相交于B，設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝＝eq\f(|u·n|,|u||n|)．3．二面角(1)兩平面的夾角：平面α與平面β相交，形成四個(gè)二面角，我們把這四個(gè)二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角．(2)兩平面夾角的計(jì)算：設(shè)平面α，β的法向量分別是n1，n2，平面α與平面β的夾角為θ，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)．1．線面角θ的正弦值等于直線的方向向量a與平面的法向量n所成角的余弦值的絕對(duì)值，即sinθ＝|cos〈a，n〉|，不要誤記為cosθ＝|cos〈a，n〉|．2．二面角的范圍是[0，π]，兩個(gè)平面夾角的范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))．二面角的平面角等于或，即二面角等于它的兩個(gè)面的法向量的夾角或夾角的補(bǔ)角．①當(dāng)法向量與的方向分別指向二面角的內(nèi)側(cè)與外側(cè)時(shí)，二面角的大小等于的夾角的大小．②當(dāng)法向量的方向同時(shí)指向二面角的內(nèi)側(cè)或外側(cè)時(shí)，二面角的大小等于的夾角的補(bǔ)角的大小．知識(shí)點(diǎn)五、用向量方法求空間距離1、求點(diǎn)面距的一般步驟：①求出該平面的一個(gè)法向量；②找出從該點(diǎn)出發(fā)的平面的任一條斜線段對(duì)應(yīng)的向量；③求出法向量與斜線段向量的數(shù)量積的絕對(duì)值再除以法向量的模，即可求出點(diǎn)到平面的距離．即：點(diǎn)到平面的距離，其中是平面的法向量．2、線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，用求點(diǎn)面距的方法進(jìn)行求解-即：點(diǎn)到平面的距離，其中是平面的法向量．直線與平面之間的距離：，其中是平面的法向量．兩平行平面之間的距離：，其中是平面的法向量．3、點(diǎn)線距設(shè)直線l的單位方向向量為，，，設(shè)，則點(diǎn)P到直線l的距離．考點(diǎn)一直線的方向向量例1在如圖所示的坐標(biāo)系中，ABCD－A1B1C1D1表示棱長(zhǎng)為1的正方體，給出下列結(jié)論：①直線DD1的一個(gè)方向向量為(0，0，1)；②直線BC1的一個(gè)方向向量為(0，1，1)；③直線B1C的方向向量與DA1的方向向量共線；=4\*GB3④直線BD的方向向量是唯一的．其中正確的是________．(填序號(hào))【對(duì)點(diǎn)演練】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知，分別是直線，的方向向量，那么“，不平行”是“，異面”的________條件．（填“必要不充分”“充分不必要”“充要”或“既不充分也不必要”）考點(diǎn)二平面的法向量例2（2023廣東廣州市培正中學(xué)高二期中）如圖，在棱長(zhǎng)為3的正方體中，點(diǎn)在棱上，且．以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．求平面的一個(gè)法向量.【對(duì)點(diǎn)演練1】已知，，．(1)寫出直線BC的一個(gè)方向向量；(2)寫出平面ABC的一個(gè)法向量．【對(duì)點(diǎn)演練2】已知平面內(nèi)有兩點(diǎn)，，平面的一個(gè)法向量為，則（

）A．4B．3C．2D．1【對(duì)點(diǎn)演練3】在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為棱的中點(diǎn)，在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，求：(1)平面的一個(gè)法向量；(2)平面的一個(gè)法向量.【對(duì)點(diǎn)演練4】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)，AB＝AP＝1，AD＝，試建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求平面PCD的一個(gè)法向量.考點(diǎn)三利用空間向量證明平行的方法角度1線線平行例3（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知棱長(zhǎng)為1的正方體在空間直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，分別為棱的中點(diǎn)，求證：.【對(duì)點(diǎn)演練1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知長(zhǎng)方體中，，，，點(diǎn)S、P在棱、上，且，，點(diǎn)R、Q分別為AB、的中點(diǎn)．求證：直線直線．角度2直線與平面的平行例4（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AD＝AA1＝2，AB＝6，E、F分別為A1D1、D1C1的中點(diǎn).分別以DA、DC、DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz.(1)求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；(2)求證：EF∥平面ACD1.【對(duì)點(diǎn)演練1】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中.平面，且，點(diǎn)在棱上，點(diǎn)為中點(diǎn).若，證明：直線平面.【對(duì)點(diǎn)演練2】（2022·山東·青島中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2，AA1＝，BB1＝2，點(diǎn)E和F分別為BC和A1C的中點(diǎn).求證：平面A1B1BA；【對(duì)點(diǎn)演練3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，PA=AB=BC=2，AD=4，E為棱PD的中點(diǎn)，（為常數(shù)，且）．若直線BF平面ACE，求實(shí)數(shù)的值；角度3平面和平面平行例5（2022·天津市薊州區(qū)擂鼓臺(tái)中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方體中，，，(1)求證：平面平面;【對(duì)點(diǎn)演練1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，已知棱長(zhǎng)為4的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F(xiàn)分別是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中點(diǎn)，求證：平面∥平面.考點(diǎn)四利用空間向量證明垂直關(guān)系角度1線線垂直例6如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面四邊形ABCD為直角梯形，，，，，Q為PD的中點(diǎn)．求證：．【對(duì)點(diǎn)演練1】如圖，正方形與梯形所在的平面互相垂直，，，，，M為CE的中點(diǎn).請(qǐng)用空間向量知識(shí)解決下列問題：(1)求證：；【對(duì)點(diǎn)演練2】（2022廣州市第十七中學(xué)高一期中）如圖，，，，，E，F(xiàn)分別是，的中點(diǎn)，M，N分別是，的中點(diǎn)，證明：.【對(duì)點(diǎn)演練3】如圖，在空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz中，底面ABCD為矩形，P（0，0，2），．（1）求證：；角度2線面垂直例7（2022·浙江·高三專題練習(xí)）如圖所示，在長(zhǎng)方體中，，，、分別、的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面.【對(duì)點(diǎn)演練1】（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知直線的方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，若，則（

）A． B． C． D．【對(duì)點(diǎn)演練2】（2022·江蘇·徐州市王杰中學(xué)高二階段練習(xí)）已知平面的法向量為，若直線平面，則直線的方向向量可以為（

）.A．（8，6，4） B．C． D．【對(duì)點(diǎn)演練3】（2022·廣東·廣州奧林匹克中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖，在正四棱柱中，是底面的中心，分別是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．//B．C．//平面D．平面【對(duì)點(diǎn)演練4】（2022·廣東·高二期中）如圖，在四棱錐中，底面，底面為正方形，，E，F(xiàn)分別是的中點(diǎn).(1)求證：；(2)在平面內(nèi)求一點(diǎn)G，使平面.角度3面面垂直例8在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中點(diǎn).求證：平面BDE⊥平面ABCD.【對(duì)點(diǎn)演練1】（2022·陜西·武功縣普集高級(jí)中學(xué)高二期末（理））設(shè)分別是平面的法向量，若，則實(shí)數(shù)的值是________．【對(duì)點(diǎn)演練2】在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E為BB1的中點(diǎn)，求證：平面AEC1⊥平面AA1C1C.【對(duì)點(diǎn)演練2】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CC1上的動(dòng)點(diǎn)．（1）求證：A1E⊥BD；（2）若平面A1BD⊥平面EBD，試確定E點(diǎn)的位置．考點(diǎn)五利用空間向量求角角度1異面直線所成角例9（2022河南商丘市一中高一）在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱AD，的中點(diǎn)，則異面直線EF與所成角的余弦值為（

）．A． B． C． D．例10（2022·遼寧丹東·高三階段練習(xí)）如圖，在正三棱柱中，，，則異面直線與所成角的余弦值為______．【對(duì)點(diǎn)演練1】如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，M，N分別為和的中點(diǎn)，那么直線AM與CN夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【對(duì)點(diǎn)演練2】在直三棱柱中，，，分別是的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值等于（

）A． B． C． D．【對(duì)點(diǎn)演練3】（2022·河北南宮中學(xué)高三階段練習(xí)）在平行六面體中，以頂點(diǎn)為端點(diǎn)的三條棱、、兩兩夾角都為，且，，，、分別為、的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值為__________.【對(duì)點(diǎn)演練4】（2022·黑龍江·哈爾濱市第四中學(xué)校高二階段練習(xí)）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面AA1B1B為正方形，AB=BC=2，且，E，F(xiàn)分別為AC和CC1的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．(1)證明：；(2)在棱A1B1上是否存在一點(diǎn)M，使得異面直線MF與AC所成的角為30°？若存在，指出M的位置；若不存在，說明理由．【對(duì)點(diǎn)演練5】6．（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高二開學(xué)考試（理））如圖，在正方體中，M為線段的中點(diǎn)，N為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則直線與直線所成角的正弦值的最小值為（

）A． B． C． D．角度2線面角例11（2022·陜西渭南·高二期末（理））如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有單位正方體分別是棱和的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【對(duì)點(diǎn)演練1】如圖，在正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，面，則與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【對(duì)點(diǎn)演練2】】（2022·浙江紹興·模擬預(yù)測(cè)）如圖，三棱臺(tái)中，，，．(1)證明：；(2)求直線與平面所成的角．【對(duì)點(diǎn)演練3】（2022·上海金山·一模）如圖，在四棱錐中，已知底面，底面是正方形，.(1)求證：直線平面；(2)求直線與平面所成的角的正弦值.【對(duì)點(diǎn)演練4】（2022·河南省杞縣高中模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD為菱形，且，平面ABCD，E為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱PC上一點(diǎn)．(1)求證：平面平面PAD；(2)若G為PD的中點(diǎn)，，是否存在點(diǎn)F，使得直線EG與平面AEF所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．角度3二面角例12在四棱錐中，平面，四邊形是矩形，分別是的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值．【對(duì)點(diǎn)演練1】（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在四棱錐中，，，，，，平面平面.(1)證明：平面；(2)求二面角的余弦值.【對(duì)點(diǎn)演練2】（2022·云南曲靖·高三階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面為長(zhǎng)方形，底面分別為線段的中點(diǎn).(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.【對(duì)點(diǎn)演練3】（2022·廣東茂名·高二期末）如圖，在四棱雉中，底面滿足，，底面，且，.(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面的夾角余弦值.考點(diǎn)六利用空間向量求距離角度1點(diǎn)線距例13（2022·陜西·西安市臨潼區(qū)鐵路中學(xué)高二階段練習(xí)（理））在長(zhǎng)方體中，，，，是的中點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量方法解下列問題：(1)求直線與所成的角的余弦值；(2)求點(diǎn)到直線的距離．【對(duì)點(diǎn)演練】（2022·遼寧·渤海大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）如圖所示，在幾何體中，四邊形為直角梯形，，，底面，，，，．(1)求直線與直線所成角的余弦值；(2)求點(diǎn)到直線的距離．角度2點(diǎn)面距例14（2022·廣東清遠(yuǎn)·高二期中）如圖，在四棱錐中，底面ABCD為矩形，平面PAD，E是AD的中點(diǎn)，為等腰直角三角形，，=(1)求證：；(2)求點(diǎn)A到平面PBE的距離．【對(duì)點(diǎn)演練1】（2022·福建省連城縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知平面的法向量為，點(diǎn)在平面內(nèi)，則點(diǎn)到平面的距離為（

）A． B． C． D．【對(duì)點(diǎn)演練2】將邊長(zhǎng)為的正方形沿對(duì)角線折成直二面角，則點(diǎn)到平面的距離為______．【對(duì)點(diǎn)演練3】（2022·山西·太原市外國(guó)語學(xué)校高二期中）如圖所示，正方形和矩形所在的平面互相垂直，，分別為的中點(diǎn)，.(1)證明：平面；(2)求點(diǎn)到平面的距離.角度3線面距例15（2022·黑龍江·哈爾濱市劍橋第三高級(jí)中學(xué)有限公司高二階段練習(xí)）在棱長(zhǎng)為1的正方體中，E為線段A1B1的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段AB的中點(diǎn)．(1)求點(diǎn)B到直線AC1的距離；(2)求直線FC到平面AEC1的距離．角度4面面距例16（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）直四棱柱中，底面為正方形，邊長(zhǎng)為，側(cè)棱，分別為的中點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面的距離．一、單選題1、（2022·江蘇·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在正方體中，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則下列向量中，能作為平面的法向量的是（

）．A．（1，，4） B．（，1，）C．（2，，1） D．（1，2，）2.（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，有正方體，給出下列結(jié)論：①直線的一個(gè)方向向量為；②直線的一個(gè)方向向量為；③平面的一個(gè)法向量為；④平面的一個(gè)法向量為．其中正確的個(gè)數(shù)為（

）．A．1 B．2 C．3 D．43（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面4．（2022·北京市師達(dá)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知，則原點(diǎn)到平面的距離是（

）A． B． C． D．5．（2022·河南安陽·高一階段練習(xí)）已知在四棱柱中，底面為正方形，側(cè)棱底面.若，，是線段的中點(diǎn)，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．6．（2022·河南開封·一模（文））如圖，在正方體中，點(diǎn)M，N分別是，的中點(diǎn)，則下述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（

）①∥平面；

②平面平面；③直線與所成的角為；

④直線與平面所成的角為．A．1 B．2 C．3 D．47．（2022·陜西渭南·高二期末（理））將正方形沿對(duì)角線折成直二面角，得到如圖所示的三棱錐，其中為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．平面B．平面與平面所成角的余弦值為C．與所成的角為D．與所成的角為二、多選題8．（2022·湖南·嘉禾縣第六中學(xué)高二階段練習(xí)）下列命題是真命題的有（

）A．平面經(jīng)過三點(diǎn)，，，是平面的法向量，則，B．直線的方向向量為，直線的方向向量為，則與垂直C．直線的方向向量為，平面的法向量為，則D．，，，是空間四點(diǎn)，若，，不能構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么，，，共面9．（2022·山東臨沂·高二期中）在空間直角坐標(biāo)系中，，，，則（

）A． B．異面直線OC與AB所成角等于C．點(diǎn)B到平面AOC的距離是2 D．直線OB與平面AOC所成角的正弦值為三、填空題10（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）放置于空間直角坐標(biāo)系中的棱長(zhǎng)為2的正四面體ABCD中，H是底面中心，平面ABC，寫出：（1）直線BC的一個(gè)方向向量___________；（2）點(diǎn)OD的一個(gè)方向向量___________；（3）平面BHD的一個(gè)法向量___________；（4）的重心坐標(biāo)___________.11.（2022·福建·廈門一中高二階段練習(xí)）在空間直角坐