抓持系統(tǒng)的最優(yōu)抓持能力和內力的研究

抓持系統(tǒng)的最優(yōu)抓持能力和內力的研究

在這項研究中，多段管理系統(tǒng)的主要目標是在給定任務的情況下實現最穩(wěn)定、最優(yōu)的拘留態(tài)度，或選擇從許多拘留方案中選擇好的拘留方案。從研究單臂機器人系統(tǒng)中的廣義操作橢球的概念出發(fā),文獻用這一概念建立關節(jié)空間和操作空間(末端器)之間的速度/力的傳遞關系。以此可進行操作器位姿的優(yōu)化,取得較理想的末端力和可操作度。同樣的概念,一些學者將其應用到多指靈巧手中。文獻用任務橢球的概念,把給定任務空間給定的抓持位形與所建議的最有利位形進行比較而取得較好的位形?？紤]到這些研究僅表示了抓持系統(tǒng)中的力傳遞關系,而沒有深入地揭示關節(jié)力矩、接觸力、外力之間的關系。在接觸力的研究中,這些準則幾乎全部忽略了內力影響,考慮的系統(tǒng)是多臂系統(tǒng),且是完整約束,沒有考慮不完整約束的影響。綜合以上情況,首先建立抓持中的靜力學關系,然后把抓持閉鏈系統(tǒng)看作一個由關節(jié)力矩作為輸入而物體抵抗的外力作為輸出的一個機械系統(tǒng),這樣的系統(tǒng)可看作類似“單臂”機器人來討論。本文提出多指抓持系統(tǒng)的廣義外力橢球及廣義內力橢球的概念。在此基礎上,把廣義外力橢球的最小軸長度定義為抓持系統(tǒng)的抓持能力,并把廣義內力橢球的最長軸定義為最大內力。以最大化抓持能力和最小化最大內力來進行最優(yōu)抓持規(guī)劃。并以實例來表明其兩個最優(yōu)準則的有效性和實用性。1接觸形式的描述由一多指手與抓持物體構成一個系統(tǒng)中,存在如下力關系{FΟ=WFCτ=JΤFC(1){FO=WFCτ=JTFC(1)式中:FO∈Rm為作用在物體上的外力矢量,包含(f0,m0)兩項,其中f0為純外力,m0為作用在物體上的力矩,并假定抓持系統(tǒng)中有n個手指;τ=[τ1……τn]T為各手指關節(jié)力矩矢量組成的矢量,τi=[τ1……τk],由第i個手指的關節(jié)力矩所組成的矢量。Fc=[fc1,fc2,…,fck]T是n×r維廣義接觸力矢量,其中,fci=[fi,mi]T∈Rr是第i接觸處的力矢量即手指末端的力。fci的維數與接觸形式有關,接觸形式用接觸模型矩陣H表示。例如,如果接觸為有摩擦點接觸則:Hi=[I3×3,0],r=3;而對軟手指接觸模型;W為抓持矩陣,在物體坐標系中,為接觸坐標系相對于物體坐標系的方向余弦,Pi是由接觸點在物體坐標系中的位置矢量構成的反對稱矩陣。考慮接觸形式后,ˉW=WΗ?Η=[Η1,??Ηn]Τ;手的雅可比矩陣J=diag[J1,…,Jn],考慮接觸矢量后ˉJ=JΗ,于是上面式(1)考慮不同接觸方式仍然可以寫為:{FΟ=ˉWFCτ=ˉJΤFC(2)(為了簡化,以下略去上橫線—),一般情況下,m<nr于是W存在零空間N(W),有τ=JΤW+FΟ+JΤ(1-W+W)FΙΝΤ(3)W+是W的廣義逆,FINT∈Rnr,在接觸點處的內力矢量。由于FINT的大小不影響作用在物體上外力的大小,因此,它僅影響接觸力的大小,所以稱它為“內力”。特別注意,上面式中的W+的取法,根據文獻,FO,FC中均存在著物理意義上不一致的量(力、力矩),因此其廣義逆按一般取法可能存在錯誤,因此必須引入加權廣義逆:W+Μ=ΜWΤ(WΜWΤ)-1(4)式中:M為正定對稱的加權矩陣;M=diag{Mc1,Mc2,...,Mci},Mci表示第i個接觸點的加權矩陣。對應的通解是FC=W+ΜFΟ+ΝFΙΝF(5)其對應零空間矩陣N=I-W+MW由此可導出形式:1)當接觸為有摩擦的點接觸,接觸力為純外力,這時無力矩分量存在,有:MCi=I,這時廣義逆為一般形式的M-P逆。2)對軟手指模型,動能的度量是慣性矩陣MV,即,其中,m是抓持物體的質量,I3為3×3階單位陣,Im為轉動慣量矩陣。由于力和速度的對偶性,因此,我們可以根據物體的質量和轉動慣量來估計加權矩陣的各項元素,對軟手指模型,可取ΜCi=Μ-1V=[Ι-1m001m](6)2廣義內力以int為特征(1)引入速度橢球表明單個臂的操作能力。按照類似的定義,我們在多指靈巧手抓持系統(tǒng)中,引入同樣的概念。我們將式(3)中右邊第一項稱絕對外力項,第二項稱為內力項,分開討論并引入JTW=JTW+M,JTN=JTN則式(3)寫成{τW=JΤWFΟτΙΝF=JΤΝFΙΝF(7)式中:τW為平衡絕對外力FO所需的關節(jié)力矩;τINT,為平衡“內力”所需的關節(jié)力矩。即對應于式(3)τ=τW+τINT,與單臂運動學比較有完全相同的形式。稱JW為抓持雅可比矩陣,JN為接觸雅可比矩陣。另外,考慮到若各關節(jié)為轉動關節(jié),那么,τ有物理意義上的一致性,則它的范數等于1即表示一單位力矩的超球面。當關節(jié)力矩τ位于單位球面時,映射式(7)表達為FΤΟJWJΤWFΟ=1(8)式(8)為廣義外力橢球方程,同樣地式(7)中的第二式對應∶FΤΙΝΤJΝJΤΝFΙΝΤ=1(9)式(9)為廣義內力橢球。通過進一步的分析,橢球的各主軸的長度和方向可以確定。根據奇異值分解JΤW=UW∑WVΤW(10)式中,∑W=diag(σW1,σW2,…,σWr)是由矩陣的奇異值構成的對角陣,UW,VW分別為正交矩陣,那么,對應于橢球方程(8),其橢球各主軸長度即為各奇異值的倒數即:σ-1W1,σ-1W2,…,σ-1Wr,而主軸各方向由正交矩陣VW的各列向量表示。顯然,橢球的形狀和大小由各主軸的長度或奇異值的大小來決定,一般情況下,當JW滿秩時,所得到的外力橢球為6維橢球,但是,當JW缺秩時,若秩是r,則橢球退化為r維橢球,在m-r個方向上,橢球長度變成無窮大。以上同樣的分析可用于內力橢球的描述。對應式(9)有JΤΝ=UΝ∑ΝVΤΝ(11)∑N=diag(σN1,σN2,…,σNr),對應的各主軸長度為σ-1Ν1,σ-1Ν2,…,σ-1Νr,各方向由VN來確定。3廣義內力橢球的特性在關節(jié)力矩空間τ,接觸力空間Fc及物體外力空間Fo中,其廣義力的映射關系如圖1所示。接觸力Fc通過抓持矩陣W被映射到外力空間Fo,然后接觸力Fc又通過手指雅可比矩陣J被映射到關節(jié)空間,根據抓持矩陣W∈Rm×nr,雅可比矩陣J∈Rm×k的秩空間和零空間,從映射關系看出:(1)外力空間是接觸力空間的秩空間,這個秩空間又通過雅可比映射到關節(jié)空間。因此,J的滿秩或缺秩影響關節(jié)空間的關節(jié)力矩的變化。若J非奇異,或行滿秩,則JT列滿秩,Rank(J)=m則直接把外力空間向量映射到關節(jié)空間,表明物體的外力由關節(jié)力矩完全抵抗。這時廣義外力橢球為m維超橢球,對應廣義力橢球的特性完全能反映關節(jié)力矩與物體外力之間的傳遞關系。(2)如果手指雅可比矩陣不滿秩,即有Rank(J)<m,則JT存在零空間,那么由接觸力的秩空間(即外力空間)通過JT映射到關節(jié)空間時,存在兩部分對應關節(jié)力矩:(a)通過手指雅可比的秩R(JT)映射成的關節(jié)力矩用以抵抗外力,這時廣義橢球就蛻化成r維超橢球。同時表明,在r個方向上的外力是由關節(jié)力矩可控的,物體對應這些方向上運動是確定的;(b)通過手指雅可比的零空間N(JT)映射的外力,由于系統(tǒng)的平衡而導致關節(jié)力矩為0,這時,m-r個方向橢球的主軸長度為無窮大,因此這部分的外力是不可控的。對應于這些方向的速度為0,因而手指處于奇異位形狀態(tài)。這些方向的外力只能由機械結構或手指尖柔順性來抵抗。橢球分析可以確定出這些方向,而最佳指尖力由優(yōu)化確定。(3)由于一般情況下,W存在零空間,零空間的維數n-m,因此對應的零空間映射N(W)在接觸空間為接觸內力,同樣存在從接觸空間向關節(jié)空間的映射,這個映射仍然取決于手指的雅可比。若JT滿秩或非奇異,R(JT)把接觸內力映射到關節(jié)空間,對應這一部分的接觸內力部分由關節(jié)力矩平衡,或者說,這些內力是可控的。這般情況下,廣義內力橢球表明了各個方向上的力的傳遞特性,這時橢球是完整橢球,橢球維數為n-m維。若JT缺秩或冗余,設其秩r,于是雅可比矩陣的零空間N(JT)存在,再次把接觸內力映射到關節(jié)空間,而造成平衡這部分的接觸力的關節(jié)力矩為0,對應廣義橢球的n-m-r方向的主軸長度為無窮大,實際上不可能無窮大,由于結構限制,因此這一部分內力也是不可控的。4有效系統(tǒng)的有效執(zhí)行能力以及最優(yōu)的內力指標4.1廣義內力以提高抓持能力為目標的原則通過前面的分析,我們把多指手的抓持系統(tǒng)可看作一個簡單的機械系統(tǒng),從傳力的關點看,這樣一個系統(tǒng)的輸入和輸出在力域中表現為關節(jié)的輸入力矩及物體所受的外力矩,實際上廣義力橢球表明了兩者一種比例關系。于是在關節(jié)力矩給定的情況下,外力大小的變化僅局限在廣義外力橢球上,根據橢球的特點:(1)橢球的長軸對應所能承受最大外力的方向,反之,橢球的短軸為能承受最小外力的方向。(2)橢球的長短軸之比μ,對應橢球的扁平程度,若橢球愈園,則長短軸之比愈接近于1,若μ=1則為廣義球,表明各方向的抵抗外力的能力是相同的即各向同性(同構),那么這時,各方向的力傳播誤差也均衡。在具體實現給定任務時,要求抓持系統(tǒng)有較大的輸出力(抵抗外力),則我們希望橢球的最短軸愈大愈好。對應抓持系統(tǒng)有較大的傳力效益,于是我們定義廣義外力橢球的最小軸長度(抓持雅可比的最大奇異值)作為一個抓持系統(tǒng)的抓持能力指標GW=min{σ-1Wi}?max{σWi}(i=1,?,r)(12)為了提高抓持系統(tǒng)的抓持傳力,我們極大化廣義外力橢球的最小軸GW,以獲得最大的抓持能力。相似地,廣義內力橢球體現了在對應關節(jié)力矩一定的情況下,內力的變化范圍,因為內力是存在于抓持的接觸處,它與運動無關,但在維持抓持的情況下,我們希望內力越小越好,即相似于前面的討論,定義內力橢球的最長軸為最大內力即:FΙΝΤ=max{σ-1Νj}?min{σΝj}(j=1,?,r2)(13)對應于內力雅可比的最小奇異值。即最小化廣義內力橢球的最長軸,對應減少內力橢球的體積而使抓持具有較小的內力。另外,值得說明的一點是廣義內力橢球接近于球時(或橢球和長短軸之比為1),內力在各個方向的特性是各向同性的。這樣我們進行內力的分布時,可取得在各個方向具有相同的內力(均布),比如在進行抓持脆性物體時,若各方向內力不同,則可能在物體的某些地方發(fā)生破壞。4.2手指尖位置規(guī)劃從以上分析看,廣義橢球(不管是內力、外力),的長短軸取決于整個抓持系統(tǒng)的抓持雅可比和內力雅可比,而該抓持系統(tǒng)雅可比由手的雅可比和抓持矩陣W構成。在關節(jié)力矩一定的情況下,抓持所能抵抗外力的能力與和W有關,手指雅可比J決定了手指工作姿態(tài),W與抓持物體的幾何和接觸方式有關。于是問題轉化為如何分布手指尖在物體上的位置,如何取得合理的手指的抓持位形而取得使抓持具有較好的操作能力,這就是通常說的抓持規(guī)劃。在規(guī)劃的同時,抓持還應滿足抓持的力封閉條件和一些約束條件,主要有:a)接觸點滿足物體表面方程;b)接觸力必須作用在接觸點的摩擦錐內。那么,最優(yōu)抓持規(guī)劃的策略是在滿足約束條件下最大化抓持能力為MaximizeGW或最小化最大內力為MinimizeFINT。圖2示BH-2三指靈巧手抓持一圓柱狀的物體,圓柱的半徑為40mm,質量為1kg,且抓持平面正好在垂直于圓柱的圓周上。為了便于說明,分別設三點為有摩擦的點接觸和軟手指接觸。在這個例子中,手指尖沿著抓持物體邊緣變化,那么,對應的抓持矩陣及手指雅可比隨手指的接觸點變化,于是按照最佳準則來規(guī)劃最優(yōu)的抓持位置。當采用三指抓持時,若固定一個手指的接觸位置如A點,其余兩手指的接觸點B,C沿著圓軸分布,它們的相對位置由角度αB,αC確定。那么,抓持能力和最大內力均是αB,αC的函數。(1)最小內力準則若接觸為有摩擦的點接觸,加權廣義逆由于接觸力均是純力而取M-P廣義逆。下面我們根據最佳抓持準則研究最佳抓持規(guī)劃。a.按最佳抓持能力準則通過抓持雅可比的奇異值分解,計算外力橢球的最小軸的隨不同的接觸點的分布情況圖3所示,分析在眾多的抓持方案中,最小主軸大小出現的區(qū)域,表明該區(qū)域具有最好的力傳遞能力。對應圖3中的陰影區(qū)域,其最小軸長度大于等于14為所有分布中最大值。從該區(qū)域中,很容易得到對應的抓持點的區(qū)域如圖3右圖中斜線部分的圓周分別是手指B,C的抓持位置,這個區(qū)域中包含了三個接觸點相差120(的情形,同時反映了手指姿態(tài)的影響。b.按最小內力準則在抓持中,我們對內力的限制從兩方面限制,首先限制其最大內力,在維持接觸的條件下,盡可能有較小的內力,以免內力過大而引起對物體的損害;另外,在各手指接觸力的分配中,盡可能使各手指所承受的接觸力比較均衡,這樣不致于使個別手指的接觸力過大而使抓持不穩(wěn)定或物體局部破壞。所以在選擇手指的姿態(tài)和抓持姿態(tài)時,考慮這些方面的要求,從而取得有利的抓持規(guī)劃。為了限制最大內力較小,圖4給出了內力橢球的最長軸隨抓持點位置變化的規(guī)律。圖4中,內力橢球的最長軸的最小值發(fā)生在陰影區(qū)域內,其值為22,接近于該陰影區(qū)域的還有24對應的區(qū)域。對應的手指尖B、C的位置如圖4的右邊。(2)最優(yōu)抓持點的確定如圖5所示,接觸點A固定不動,去掉手指C,這樣B手指沿著圓周的邊緣在0～180°的范圍內變動,加權廣義逆按公式(6)確定。圖6中給出其外力橢球的最短軸a,內力橢球的最長軸d,隨B點變化的規(guī)律。通過計算,我們可以看出∶其具有最大抓持能力的最優(yōu)抓持點位于90°,即B點是A點的對稱點圖6所示,這與我們平常的經驗是一致