復(fù)變函數(shù)-解析函數(shù)課件

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解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)研究的主要對(duì)象。這里首先介紹復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念，然后討論復(fù)變函數(shù)在解析的概念和充要條件，最后介紹幾個(gè)常見初等函數(shù)的解析性。

解析函數(shù)1解析函數(shù)是復(fù)變函數(shù)研究的主要對(duì)象。這里首先介紹復(fù)變2

形式上可以認(rèn)為該極限式與變量是實(shí)的還是復(fù)的無關(guān)，對(duì)于求導(dǎo)的四則運(yùn)算和復(fù)合運(yùn)算也都有效。一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義為一個(gè)特殊的極限例如：1）設(shè)f(z)為在z=a處可導(dǎo)的復(fù)變量的實(shí)函數(shù)，由上述定義可得f(z)在a處不可導(dǎo)或?qū)?shù)為0.實(shí)的自變量與復(fù)的自變量之間到底有無區(qū)別呢?2）一個(gè)實(shí)變量的復(fù)函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為實(shí)的情形3）復(fù)變量的復(fù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的存在對(duì)函數(shù)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)有著新而深遠(yuǎn)的意義---復(fù)函數(shù)論的重要主題2形式上可以認(rèn)為該極限式與變量是實(shí)的還是復(fù)的無關(guān)，對(duì)3§2-1解析函數(shù)的定義與柯西-黎曼方程(1)導(dǎo)數(shù)的定義鏈接-導(dǎo)數(shù)定義.ppt(2)可導(dǎo)與連續(xù)及可微的關(guān)系鏈接-可導(dǎo)與連續(xù).ppt(3)求導(dǎo)法則鏈接-求導(dǎo)法則.ppt

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解析函數(shù)的定義一解析函數(shù)的概念3§2-1解析函數(shù)的定義與柯西-黎曼方程(1)導(dǎo)數(shù)的4(4)解析函數(shù)的定義

由定義可得：復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)處的解析與可導(dǎo)不等價(jià)，但在區(qū)域內(nèi)解析與在該區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)是等價(jià)的.4(4)解析函數(shù)的定義由定義可得：復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)5

證明：事實(shí)上，復(fù)變函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析顯然在該區(qū)域內(nèi)可導(dǎo).

5證明：事實(shí)上，復(fù)變函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析顯然在該區(qū)域內(nèi)6解6解778定理1

函數(shù)的解析點(diǎn)一定是它的可導(dǎo)點(diǎn)．反之不真；點(diǎn)為函數(shù)的解析點(diǎn)的充分必要條件是點(diǎn)為其可導(dǎo)點(diǎn)所構(gòu)成的集合的內(nèi)點(diǎn)。推論2

復(fù)變函數(shù)不會(huì)只在有限個(gè)點(diǎn)或者一條曲線上解析，它的全體解析點(diǎn)的集合一定是開集。

定理3

在區(qū)域D內(nèi)解析的兩個(gè)函數(shù)的和，差，積，商(除分母為零的點(diǎn))在D內(nèi)解析；解析函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍然是解析函數(shù)。8定理1函數(shù)的解析點(diǎn)一定是它的可導(dǎo)點(diǎn)．反之不真；點(diǎn)9（5）函數(shù)解析的充要條件Cauchy-Rieman方程9（5）函數(shù)解析的充要條件Cauchy-Rieman方程10定理1復(fù)變函數(shù)點(diǎn)可導(dǎo)（可微）的必要條件是：⑴函數(shù)

與

在

存在偏導(dǎo)數(shù)

⑵在該點(diǎn)滿足方程

當(dāng)在可導(dǎo)時(shí)，它在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為條件（*）常稱為柯西—黎曼方程（C.—R.方程）．教材(P52-53)10定理1復(fù)變函數(shù)點(diǎn)11定理2復(fù)變函數(shù)點(diǎn)可導(dǎo)的充分必要條件是：⑴函數(shù)

與

在

可微．⑵在該點(diǎn)滿足方程

當(dāng)在可導(dǎo)時(shí)，它在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為條件（*）常稱為柯西—黎曼方程（C.—R.方程）．教材P54-5511定理2復(fù)變函數(shù)點(diǎn)12解析函數(shù)的第二等價(jià)定理

P126解析函數(shù)的第三等價(jià)定理

P12812解析函數(shù)的第二等價(jià)定理P126解析函數(shù)的第三等價(jià)定13推論設(shè)。若和的四個(gè)一階偏導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)均連續(xù)并且滿足C-R方程，則在點(diǎn)處可導(dǎo)。

由于一個(gè)二元實(shí)函數(shù)在某點(diǎn)可微的充分條件是：它的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)不僅存在，而且是連續(xù)。由此可得：由于復(fù)變函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析與在該區(qū)域內(nèi)可導(dǎo)是等價(jià)的，我們有13推論設(shè)。若和141415例題例1

判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo),在何處解析:解不滿足Cauchy-Riemann方程,此時(shí)15例題例1判定下列函數(shù)在何處可導(dǎo),在何處解析16且四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)此時(shí)16且四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)此時(shí)17此時(shí)17此時(shí)18例2

解18例2解19例3證19例3證20例4解20例4解21參照以上例題可以證明:21參照以上例題可以證明:22例5解22例5解232324例6證明24例6證明25利用柯西---黎曼方程，綜合以上得25利用柯西---黎曼方程，綜合以上得26解析函數(shù)的判定方法:26解析函數(shù)的判定方法:27容易得到27容易得到28從而，可知(1)所有多項(xiàng)式在復(fù)平面內(nèi)是處處解析的.28從而，可知(1)所有多項(xiàng)式在復(fù)平面內(nèi)是處處解析的.29解29解30例6證明同理可得：30例6證明同理可得：31例6證明

31例6證明

32§2-2初等解析函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)4.對(duì)數(shù)函數(shù)5.冪函數(shù)2.三角函數(shù)和雙曲函數(shù)3.根式函數(shù)32§2-2初等解析函數(shù)1.指數(shù)函數(shù)4.對(duì)數(shù)函數(shù)331.指數(shù)函數(shù)定義顯然為簡(jiǎn)便，常用下面記號(hào)與指數(shù)函數(shù)符號(hào)一致與Euler公式相一致331.指數(shù)函數(shù)定義顯然為簡(jiǎn)便，常用下面記號(hào)與指數(shù)函數(shù)符號(hào)34定理

指數(shù)函數(shù)具有如下性質(zhì)：34定理指數(shù)函數(shù)具有如下性質(zhì)：35例1

解35例1解36例2

解求出下列復(fù)數(shù)的輻角主值:36例2解求出下列復(fù)數(shù)的輻角主值:372.三角函數(shù)和雙曲函數(shù)將兩式相加與相減,得

下面把余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的定義推廣到自變數(shù)取復(fù)值的情況.372.三角函數(shù)和雙曲函數(shù)將兩式相加與相減,得38(3)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)都是解析函數(shù).但與實(shí)函數(shù)完全不同的是：sinz,cosz

無界38(3)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)都是解析函數(shù).但與實(shí)函393940為周期的周期函數(shù).

雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦函數(shù)在復(fù)平面內(nèi)也都是解析函數(shù)40為周期的周期函數(shù).雙曲正弦函數(shù)和雙曲余弦41一些常用的重要公式：41一些常用的重要公式：42但與實(shí)函數(shù)完全不同的是：sinz,cosz

無界42但與實(shí)函數(shù)完全不同的是：sinz,cosz無界43例1解z)Re(tan=43例1解z)Re(tan=44解例244解例245例3解45例3解463.對(duì)數(shù)函數(shù)這樣或因此463.對(duì)數(shù)函數(shù)這樣或因此474748例4

解注意:在實(shí)函數(shù)中，負(fù)數(shù)無對(duì)數(shù)，而復(fù)變數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)是實(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)的拓廣.48例4解注意:在實(shí)函數(shù)中，負(fù)數(shù)無對(duì)數(shù)，而49例5解49例5解50對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)對(duì)于某一固定分支，有否50對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)對(duì)于某一固定分支，有否514.冪函數(shù)注意:514.冪函數(shù)注意:52例7解例8解52例7解例8解53

冪函數(shù)的解析性

它的各個(gè)分支在除去原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸的復(fù)平面內(nèi)解析,53冪函數(shù)的解析性545.反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)兩端取對(duì)數(shù)得545.反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)兩端取對(duì)數(shù)得55反正弦函數(shù)反正切函數(shù)55反正弦函數(shù)反正切函數(shù)56解例1256解例1257本章主要內(nèi)容復(fù)變函數(shù)連續(xù)解析函數(shù)初等解析函數(shù)判別方法可導(dǎo)解析指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)三角函數(shù)雙曲函數(shù)冪函數(shù)反三角函數(shù)57本章主要內(nèi)容復(fù)變函數(shù)連續(xù)解析函數(shù)初等解析函數(shù)判別方法可導(dǎo)58解58解5959603月10號(hào)第四周第二章P91-956-（3）,13-（1）,24603月10號(hào)第四周6110月15號(hào)練習(xí)第二章P66-677,10-(1),12-(2),15,186110月15號(hào)練習(xí)6210月16號(hào)練習(xí)第二章P66-677,10-(1),12-(2),15,186210月16號(hào)練習(xí)631789.8.21生于法國、巴黎1857.5.23卒于法國、斯科A.L.Cauchy(柯西)簡(jiǎn)介數(shù)學(xué)分析嚴(yán)格化的開拓者復(fù)變函數(shù)論的奠基人彈性力學(xué)理論的建立者在方程、群論、數(shù)論、幾何、光學(xué)、天體力學(xué)等也有出色貢獻(xiàn)。多產(chǎn)的科學(xué)家(800多篇論文)，分析大師。631789.8.21生于法國、巴黎A.L.Cauchy64Riemann(黎曼)簡(jiǎn)介1826.9.17生于德國、漢諾威1866.7.20卒于意大利除博士論文外，生前發(fā)表10