全等三角形-探究題-各種題型非常全

..探究題講練類(lèi)型1．如下圖的4×4正方形網(wǎng)格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=〔〕A．330°B．315°C．310°D．320°2．如圖，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，請(qǐng)按照?qǐng)D中所標(biāo)注的數(shù)據(jù)，計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積S是〔〕A．50B．62C．65D．683.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,將直角三角形的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)P(4,4)處,兩直角邊與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B?！?〕求OA+OB的值；〔2〕將直角三角形繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，兩直角邊與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，求OA-OB的值；類(lèi)型2.線段間的數(shù)量關(guān)系根底練習(xí)1．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

〔1〕當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí)，求證：

①△ADC≌△CEB；②DE=AD+BE；

〔2〕當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí)，求證：DE=AD-BE；

〔3〕當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時(shí)，試問(wèn)DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明．

2.將兩個(gè)全等的直角三角形ABC和DBE按圖①方式擺放，其中∠ACB=∠DEB=90°，∠A=∠D=30°，點(diǎn)E落在AB上，DE所在直線交AC所在直線于點(diǎn)F．

〔1〕求證：AF+EF=DE；

〔2〕假設(shè)將圖①中的△DBE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α，且0°＜α＜60°，其它條件不變，請(qǐng)?jiān)趫D②中畫(huà)出變換后的圖形，并直接寫(xiě)出你在〔1〕中猜測(cè)的結(jié)論是否仍然成立；

〔3〕假設(shè)將圖①中的△DBE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角β，且60°＜β＜180°，其它條件不變，如圖③．你認(rèn)為〔1〕中猜測(cè)的結(jié)論還成立嗎？假設(shè)成立，寫(xiě)出證明過(guò)程；假設(shè)不成立，請(qǐng)寫(xiě)出AF、EF與DE之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．

3.如圖1，△ABC的邊BC在直線l上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的邊FP也在直線l，邊EF與邊AC重合，且EF=FP．

〔1〕在圖1中，請(qǐng)你通過(guò)觀察、測(cè)量，猜測(cè)并寫(xiě)出AB與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；

〔2〕將△EFP沿直線l向左平移到圖2的位置時(shí)，EP交AC于點(diǎn)Q，連接AP，BQ．猜測(cè)并寫(xiě)出BQ與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，請(qǐng)證明你的猜測(cè)；

〔3〕將△EFP沿直線l向左平移到圖3的位置時(shí)，EP的延長(zhǎng)線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連接AP，BQ．你認(rèn)為〔2〕中所猜測(cè)的BQ與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？假設(shè)成立，給出證明；假設(shè)不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．例1.四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AD，DC〔或它們的延長(zhǎng)線〕于E，F(xiàn)．

〔1〕當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE=CF時(shí)〔如圖1〕，易證AE+CF=EF；

〔2〕當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE≠CF時(shí)，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？假設(shè)成立，請(qǐng)給予證明；假設(shè)不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜測(cè)，不需證明．

：例2.四邊形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，∠ADC=120°．將一塊足夠大的三角尺M(jìn)NB的30°角頂點(diǎn)與四邊形頂點(diǎn)B重合，當(dāng)三角尺的30°角〔∠MBN〕繞著點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)時(shí)，它的兩邊分別交邊AD，DC所在直線于E，F(xiàn)．

〔1〕當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE=CF時(shí)〔如題圖1〕，請(qǐng)直接寫(xiě)出AE，CF，EF之間的數(shù)量關(guān)系．

〔2〕當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE≠CF時(shí)〔如題圖2〕，〔1〕中的結(jié)論是否仍成立？假設(shè)成立，請(qǐng)給予證明；假設(shè)不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的猜測(cè)，并說(shuō)明理由．

〔3〕當(dāng)∠MBN繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AE≠CF時(shí)〔如題圖3和題圖4〕，請(qǐng)分別直接寫(xiě)出線段AE，CF，EF之間的數(shù)量關(guān)系．

例3.如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)的直線GF交AC于F，交AC的平行線BG于G點(diǎn)，DE⊥GF，交AB于點(diǎn)E，連接EG．

〔1〕求證：BG=CF；

〔2〕請(qǐng)你判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．練習(xí).：△ABC中，D為BC中點(diǎn)，E為AB上一點(diǎn)，F(xiàn)為AC上一點(diǎn)，ED⊥DF，連接EF，求證：BE+FC＞EF．例4．CD經(jīng)過(guò)∠BCA頂點(diǎn)C的一條直線，CA=CB．E，F(xiàn)分別是直線CD上兩點(diǎn)，且∠BEC=∠CFA=∠α．

〔1〕假設(shè)直線CD經(jīng)過(guò)∠BCA的部，且E，F(xiàn)在射線CD上，請(qǐng)解決下面兩個(gè)問(wèn)題：

①如圖1，假設(shè)∠BCA=90°，∠α=90°，

那么BE______CF；EF__________|BE-AF|〔填"＞〞，"＜〞或"=〞〕；

②如圖2，假設(shè)0°＜∠BCA＜180°，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)關(guān)于∠α與∠BCA關(guān)系的條件_________________，使①中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立，并證明兩個(gè)結(jié)論成立．

〔2〕如圖3，假設(shè)直線CD經(jīng)過(guò)∠BCA的外部，∠α=∠BCA，請(qǐng)?zhí)岢鯡F，BE，AF三條線段數(shù)量關(guān)系的合理猜測(cè)〔不要求證明〕．例5．如圖①、②、③中，點(diǎn)E、D分別是正△ABC、正四邊形ABCM、正五邊形ABCMN中以C點(diǎn)為頂點(diǎn)的相鄰兩邊上的點(diǎn)，且BE=CD，DB交AE于P點(diǎn)．

〔1〕求圖①中，∠APD的度數(shù)______________；

〔2〕圖②中，∠APD的度數(shù)為_(kāi)_____________，圖③中，∠APD的度數(shù)為_(kāi)_______________；

〔3〕根據(jù)前面探索，你能否將此題推廣到一般的正n邊形情況？假設(shè)能，寫(xiě)出推廣問(wèn)題和結(jié)論；假設(shè)不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

練習(xí)：1．〔1〕：如圖①，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=60°，求證：①AC=BD；②∠APB=60度；

〔2〕如圖②，在△AOB和△COD中，假設(shè)OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，那么AC與BD間的等量關(guān)系式為_(kāi)_____________；∠APB的大小為_(kāi)_____________；

．2．〔1〕如圖1，圖2，圖3，在△ABC中，分別以AB，AC為邊，向△ABC外作正三角形，正四邊形，正五邊形，BE，CD相交于點(diǎn)O．

①如圖1，求證：△ABE≌△ADC；

②探究：如圖1，∠BOC=___________；

如圖2，∠BOC=________________；如圖3，∠BOC=________________；

〔2〕如圖4，：AB，AD是以AB為邊向△ABC外所作正n邊形的一組鄰邊；AC，AE是以AC為邊向△ABC外所作正n邊形的一組鄰邊，BE，CD的延長(zhǎng)相交于點(diǎn)O．

①猜測(cè)：如圖4，∠BOC=360÷n〔用含n的式子表示〕；②根據(jù)圖4,證明你的猜測(cè)．

例6．如下圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC上的點(diǎn)，DE∥BC，如圖①，然后將△ADE繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到圖②，然后將BD、CE分別延長(zhǎng)至M、N，使DM=BD，EN=CE，得到圖③，請(qǐng)解答以下問(wèn)題：

〔1〕假設(shè)AB=AC，請(qǐng)?zhí)骄恳韵聰?shù)量關(guān)系：

①在圖②中，BD與CE的數(shù)量關(guān)系是____________；

②在圖③中，猜測(cè)AM與AN的數(shù)量關(guān)系、∠MAN與∠BAC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜測(cè)；例7．如圖，△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．

〔1〕如果點(diǎn)P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．

①假設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等