2023-2024學年福建省三明市名校高三（上）開學數(shù)學試卷（含解析）

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一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.已知角的終邊上有一點的坐標為，則的值為()

A.B.C.D.

2.已知集合，，則()

A.B.

C.D.

3.在中，角，，所對的邊分別為，，，若，，，則等于()

A.B.C.或D.或

4.已知，，，則的值為()

A.B.C.D.

5.已知則()

A.B.C.D.

6.垃圾分類是指按一定規(guī)定或標準將垃圾分類儲存、投放和搬運，從而轉變成公共資源的一系列活動，做好垃圾分類是每一位公民應盡的義務已知某種垃圾的分解率與時間月近似地滿足關系其中，為正常數(shù)，經(jīng)過個月，這種垃圾的分解率為，經(jīng)過個月，這種垃圾的分解率為，那么這種垃圾完全分解大約需要經(jīng)過個月參考數(shù)據(jù)：()

A.B.C.D.

7.若過點可以作曲線的兩條切線，則()

A.B.C.D.

8.已知在上存在唯一實數(shù)使，又，任意的，均有成立，則實數(shù)的取值范圍是()

A.B.C.D.

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.下列命題是真命題的是()

A.，使函數(shù)在上為偶函數(shù)

B.，函數(shù)的值恒為正數(shù)

C.，

D.

10.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，則()

A.B.是圖象的一個對稱中心

C.當時，取得最大值D.函數(shù)在區(qū)間上單調遞增

11.主動降噪耳機工作的原理是：先通過微型麥克風采集周圍的噪聲，然后降噪芯片生成的噪聲振幅相同、相位相反的聲波來抵消噪聲設噪聲聲波曲線函數(shù)為，降噪聲波曲線函數(shù)為，已知某噪聲的聲波曲線部分圖像如圖所示，則下列說法正確的是()

A.

B.

C.的單調減區(qū)間為

D.圖像可以由圖像向右平移個單位得到

12.已知函數(shù)的定義域為，為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，則()

A.的圖象關于對稱B.的圖象關于對稱

C.D.

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.化簡的結果為______

14.已知，，若，則______．

15.在中，，，則的形狀為______．

16.已知恒成立，則的取值范圍是______．

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.本小題分

在中，．

Ⅰ求；

Ⅱ若，且的面積為，求的周長．

18.本小題分

已知．

若函數(shù)在區(qū)間內單調遞增，求實數(shù)的取值范圍；

若在區(qū)間上存在單調遞增區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍．

19.本小題分

已知某公司生產某產品的年固定成本為萬元，每生產千件需另投入萬元，設該公司一年內生產該產品千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為萬元，且．

寫出年利潤萬元關于年產量千件的函數(shù)解析式；

當年產量為多少千件時，該公司在這一產品的生產中所獲年利潤最大？注：年利潤年銷售收入年總成本．

20.本小題分

已知函數(shù)．

求函數(shù)在區(qū)間上的最值；

若，，求的值．

21.本小題分

在下面的三個條件中任選一個補充到問題中，并給出解答．

，，，，．

在中，角，，的對邊分別為，，，且_____．

求角；

若，求周長的取值范圍．

22.本小題分

已知曲線：．

若曲線過點，求曲線在點處的切線方程；

當時，求在上的值域；

若，討論的零點個數(shù)．

答案和解析

1.【答案】

【解析】【分析】

本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，屬于基礎題．

根據(jù)已知條件，結合任意角的三角函數(shù)的定義，即可求解．

【解答】

解：角的終邊上有一點的坐標為，

．

故選：．

2.【答案】

【解析】解：集合，

，

則，

，

故ABC錯誤，D正確．

故選：．

分別求出，，根據(jù)集合的運算判斷即可．

本題考查了集合的運算，考查轉化思想，是基礎題．

3.【答案】

【解析】解：由正弦定理得，，

又，即，

又，或．

故選：．

由正弦定理求解．

本題主要考查正弦定理的應用，屬于基礎題．

4.【答案】

【解析】【分析】

由條件利用同角三角函數(shù)的基本關系求得的值，利用誘導公式求得，再利用兩角差的正切公式，求得要求式子的值．

本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關系，兩角差的正切公式的應用，屬于基礎題．

【解答】

解：已知，，，

．

，，則，

故選：．

5.【答案】

【解析】【分析】

本題主要考查了誘導公式及二倍角公式在求解三角函數(shù)值中的應用，屬于基礎題．

結合誘導公式及二倍角公式進行化簡，然后代入即可求解．

【解答】

解：．

故選：．

6.【答案】

【解析】解：依題意列方程組得，解得，，

所以，

這種垃圾完全分解，即分解率為，即，

所以，所以，

所以．

故選：．

根據(jù)和的兩組值求出，，再根據(jù)求出，即可得解．

本題考查了函數(shù)模型的應用問題，也考查了運算求解能力與轉化思想，是基礎題．

7.【答案】

【解析】解：設切點坐標為，由于，

因此切線方程為，又切線過點，

則，，

設，函數(shù)定義域是，

則直線與曲線有兩個不同的交點，

，

當時，恒成立，在定義域內單調遞增，不合題意；

當時，時．，單調遞減，

時，，單調遞增，所以，

由題意知，即．

故選：．

設切點坐標為，由切點坐標求出切線方程，代入坐標，關于的方程有兩個不同的實數(shù)解，變形后轉化為直線與函數(shù)構造新函數(shù)圖象有兩個交點，由導數(shù)確定函數(shù)的性質后可得．

本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的切線方程，考查了轉化思想和分類討論思想，屬中檔題．

8.【答案】

【解析】解：，

其中滿足，又由任意的，均有成立，

即成立，可知最大值為，

，又，，，

又知，

又在上存在唯一實數(shù)使，

即，，．

故選：．

根據(jù)已知可得解析式，再根據(jù)在上存在唯一實數(shù)使，可得范圍．

本題考查三角函數(shù)的性質，屬于中檔題．

9.【答案】

【解析】解：選項A，當時，，易知定義域為，且，所以為偶函數(shù)，故A為真命題；

選項B，，當時，，故B為假命題；

選項C，當時，，故C為真命題；

選項D，當時，由的圖像與性質知，，又，所以，故D為假命題．

故選：．

對于選項A，通過取，得到，再利用函數(shù)奇偶性的判定方法即可得出結果；對于選項B，利用“合二為一”公式對函數(shù)化簡變形即可判斷出結果的正誤；對于選項C和，通過取特殊值和，即可判斷出結果的正誤．

本題主要考查命題的真假判斷與應用，屬于基礎題．

10.【答案】

【解析】解：將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)的圖象；

對于：由于，故A正確；

對于：當時，，故B正確；

對于：當時，，故C錯誤；

對于：由于，故，故函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，故D正確．

故選：．

首先利用三角函數(shù)關系式的平移變換，把函數(shù)的關系式變形成正弦型函數(shù)，進一步利用正弦型函數(shù)的性質的應用判斷、、、的結論．

本題考查的知識要點：三角函數(shù)關系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質的應用，主要考查學生的運算能力和數(shù)學思維能力，屬于基礎題．

11.【答案】

【解析】解：對于，由已知，，所以，故A正確；

對于，因為，所以由圖象知，，所以，

又因為，且在的單調遞減區(qū)間上，

所以，，因為，所以，

又因為，所以，所以，故選項B正確；

對于，，

由，，解得，，

所以的單調減區(qū)間為，故選項C錯誤；

對于，圖像向右平移個單位得到：

，故選項D錯誤．

故選：．

由圖像求出解析式，依據(jù)題意得出解析式，對各選項逐個判斷即可．

本題主要考查三角函數(shù)解析式的確定，正弦函數(shù)的圖像與性質，三角函數(shù)圖像的平移變換，考查運算求解能力，屬于中檔題．

12.【答案】

【解析】解：為偶函數(shù)，

關于對稱，

根據(jù)圖像變換關于對稱，故A正確；

為奇函數(shù)，

關于中心對稱，

根據(jù)圖像變換關于中心對稱，故B錯誤；

由以上分析得的周期為，

即，故C正確；

關于中心對稱，

，，

關于對稱，

，，

，

是周期為的函數(shù)，

，

，

，故D錯誤．

故選：．

根據(jù)偶函數(shù)與奇函數(shù)得到對稱，并得到周期，結合以上信息即可得到．

本題考查了抽象函數(shù)的對稱性、奇偶性及周期性，屬于中檔題．

13.【答案】

【解析】解：

故答案為：

由已知利用誘導公式即可化簡求值．

本題主要考查了誘導公式在三角函數(shù)化簡求值中的應用，考查了轉化思想，屬于基礎題．

14.【答案】

【解析】解：，，令，則為奇函數(shù)，

．

若，則，故，

故．

故答案為：．

令，則為奇函數(shù)，求出的值，可得的值．

本題主要考查利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的值，屬于基礎題．

15.【答案】等邊三角形

【解析】解：由正弦定理，所以，

代入得，，

所以，三角形為等邊三角形．

故答案為：等邊三角形．

由正弦定理化角為邊得，再代入另一已知條件得，從而得三角形形狀．

本題主要考查三角形的形狀判斷，屬于基礎題．

16.【答案】

【解析】解：已知恒成立，

所以恒成立，

等價于，

整理得，

，

不妨設，函數(shù)定義域為，

易得函數(shù)在定義域上單調遞增，

整理得，

等價于在區(qū)間上恒成立，

不妨令，函數(shù)定義域為，

可得，

當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，

所以，

可得，

解得，

因為，

聯(lián)立，解得．

故答案為：．

由題意，將不等式恒成立轉化成，設，根據(jù)的單調性得到，此時問題轉化成在區(qū)間上恒成立，構造函數(shù)，對進行求導，利用導數(shù)得到的單調性和最值，結合，列出等式即可求出的取值范圍．

本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性；考查了邏輯推理、轉化思想和數(shù)學運算能力．

17.【答案】解：Ⅰ，

，

又，，

，，

；

Ⅱ的面積為，

，

又，，

，

，

又，

，

，

，

的周長為．

【解析】Ⅰ根據(jù)二倍角公式化簡可得，進一步計算可得角；Ⅱ根據(jù)三角形面積求得，再根據(jù)余弦定理求得，相加可得三角形的周長．

本題考查了三角形面積公式和余弦定理的應用，屬于中檔題．

18.【答案】解：，，

，

在區(qū)間內單調遞增，

在上恒成立，

在上恒成立，

在上恒成立，

，，

又當時，，

，

故的取值范圍為；

在上存在單調遞增區(qū)間，

在上有解，

即在上有解，

，，

又，

．

故的取值范圍為．

【解析】函數(shù)求導后，將問題轉換成在上恒成立，分離參數(shù)得，轉換成求函數(shù)最大值，從而得實數(shù)的取值范圍；

函數(shù)求導后，將問題轉換成在上成立，分離參數(shù)得，轉換成求函數(shù)最小值，從而得實數(shù)的取值范圍．

本題考查導數(shù)的綜合應用，恒成立問題與存在性問題的求解，參變量分類法，化歸轉化思想，屬中檔題．

19.【答案】解：當時，

；

當時，．

故，

當時，由，

得當時，，單調遞增；

當時，，單調遞減．

故；

當時，，

當且僅當時，．

綜合、知，當時，取最大值．

所以當年產量為千件時，該公司在這一品牌服裝的生產中所獲年利潤最大．

【解析】本題考查了函數(shù)的應用、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值與最值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

當時，；當時，即可得出；

利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性即可得出．

20.【答案】解：因為，

又，所以，故，

所以，

所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為；

因為，，所以，

所以，，

所以．

【解析】先逆用正弦的和差公式化簡得，再利用正弦型函數(shù)的單調性求得的最值；

先利用三角函數(shù)的平方關系求得，再利用倍角公式求得，，進而利用正弦的和差公式求得．

本題主要考查了和差角公式在三角化簡求值中的應用，還考查了正弦函數(shù)的性質的應用，屬于中檔題．

21.【答案】解：若選：由正弦定理及，

得，

又，

，

，

，

又，

；

若選：由，

得，

即，

，

，

，

，

；

若選：，

，化簡得，

，

，

．

由余弦定理得，

，當且僅當時等號成立，

，當且僅當時等號成立，

，

，當且僅當時等號成立，

，

又，

，

周長的取值范圍為．

【解析】若選，由正弦定理，誘導公式、兩角和的正弦公式等化簡即可求解；若選，由兩角和與差的正弦公式即可求解；若選，由垂直的向量表示得出邊的關系，再由余弦定理即可求解．

由余弦定理結合基本不等式和三角形性質得周長范圍．

本題考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式以及三角函數(shù)恒等變換在解三角形中的應用，考查了轉化思想，屬于中檔題．

22.【答案】解：由題意可得，

此時，

，

所以切線的斜率為，

所以切線方程為，即．

當時，，

則，

所以，

所以在上單調遞減，

又，，

所以的值域為．

，

令，得，

令，得，

令，得，

所以在上單調遞減，在上單調遞增，