(完整版)大學物理力矩與角動量

普通物理第四章角動量及其守恒定律（2課時）課前討論設地球繞地軸做勻角速轉動，地球表面的物體相對地面都靜止不動，則：對于地球表面的物體(視為質點)，有哪些物理量是守恒的？將地球與地球表面的物體視為質點系，哪些物理量是守恒的？地球沿橢圓軌道繞太陽做周期性轉動，在這個過程中有哪些物理量是守恒的？角動量是描述轉動問題的最重要的物理量之一，是解決天體問題的最重要的物理規(guī)律。角動量的概念在物理學的發(fā)展中經歷了有趣的演變過程。18世紀在力學中才定義和開始利用它，直到19世紀人們才把它看成力學中的最基本的概念之一，到20世紀它加入了動量和能量的行列，成為力學中最重要的概念之一。角動量之所以能有這樣的地位，是由于它也服從守恒定律，在近代物理學中應用極為廣泛。本講教學基本要求掌握力矩的基本概念，能夠熟練計算力矩及力矩的功。掌握角動量的基本概念及計算方法。掌握角動量定理及其守恒定律，能夠應用它們解決典型的相關物理問題。了解有心力場的基本特征。本講主要問題力矩的功質點對參考點的角動量定理及其守恒律質點對轉軸的角動量定理及其守恒律質點系對參考點的角動量定理及其守恒律質點系對轉軸的角動量定理及其守恒律質心系中的角動量一、力矩（momentofforce）力對參考點的力矩定義：作用于質點P

的力對參考點O

的力矩等于力的作用點位矢與力的叉積，即：大小方向 成右手螺旋關系。說明力矩是對參考點而言的，討論力矩問題必須指明參考點的位置。力矩使物體繞參考點的

轉動狀態(tài)發(fā)生變化，即

力矩是物體轉動狀態(tài)發(fā)

生變化的原因。若力的作用線通過參考

點，則其對參考點的力

矩為零。力對軸的力矩

將力對參考點的力矩在直角坐標

系中投影，注意直角坐標系的三

個坐標軸需滿足右手螺旋關系。

上述結果可以使用行列式的形式表示 力對軸的力矩等于力對參考點O

的力矩在坐標軸上的分量。

實際生活中，有很多器具都應

用到杠桿原理，例如桿秤、天

平、轆轆、螺絲刀、扳手……

右圖中，z軸向里，則

說明力對軸的力矩同樣是矢量，可以根據力矩的定義進行計算，但使用標量形式更簡潔。投影時，注意每個分量的方向，以坐標軸方向為參照，對于未知方向的量，一律設為正。如未建立坐標系，依據

力矩使質點轉動的方向

確定正負，通常取逆時

針為正，反之為負。合力矩

多個外力同時作用在物體上，若作用的總效果與某個力矩相當，則這個力矩叫做這多個力的合力矩。

質元受多個力作用時，下面的計算合力矩的方法哪一種正確？先求合力，再求合力的力矩；計算各力的力矩，再求這些

力矩的矢量和；

合力矩與合力的力矩不同，

不要混淆。力矩的功 用力使桿繞過O

點且垂直于桿的軸轉動，則其所做的功為 對于任一宏觀過程，所做的總

功可表示為 特別地，如果桿在恒定力矩作用下轉動，則二、質點對參考點的角動量定理及守恒律質點對參考點的角動量定理

設質點P

質量為m

，受力為

，運動速度為

根據動量定理有 兩側以位矢左叉乘得定義質點對參考點O

的角動量（動量矩） 描述物體轉動狀態(tài)的物理量（轉動的量的量度）質點對參考點的角動量定理

積分形式：

質點對參考點的角動量的增量等于作用于質點的力對同一參考點的角沖量(angularimpulse)。物理意義：作用于質點的所有力對參考點的合力矩等于該質點對同一參考點的角動量對時間的變化率。質點對參考點的角動量守恒定律

物理意義：在某過程中，若質點所受的對某一固定參考點的合力矩恒為零，則質點對該參考點的角動量守恒。在中心力場中(如太陽系)，質點所受到的力與其位置矢量共線，這時，力對力心的力矩總為零。因此，質點在此力場中運動時，它對力心的角動量守恒。這也是為什么行星受到太陽的吸引，但行星不會落到太陽中去的原因。例1：證明開普勒第二定律，即行星與太陽的連線在相同時間內掃過相等的面積（掠面速度或面積速度相等）。

證：行星受有心力作用繞太陽轉動，對力心角動量守恒即位矢在相等的時間內掃過相等的面積。例2：一質點沿直線運動，在直線外任取一點O

做參考點，對該參考點而言：若質點做變速運動，其位矢的掠面速度是否相同？若質點做勻速運動，其位矢的掠面速度是否相同？

解：質點運動過程中對參考點O

的

角動量的大小為對于變速直線運動：角動量不守恒，面積速度不相同。對于勻速直線運動，角動量守恒，面積速度相同。質點的運動外部作用三、質點對軸的角動量定理和守恒律質點對軸的角動量定理

通常，將轉軸方向做為坐標

系的z

軸質點對軸的角動量守恒定律

若質點所受力對軸的合力矩為0，則質點對該軸的角動量守恒

對于作圓周運動的質點

顯然：對于勻速圓周運動四、質點系的角動量定理和守恒定律質點系對參考點的角動量定理 對于由n

個質點組成的質點系，考察第i個質點與第j個質點的相互作用力產生的對參考點O

點的力矩

因此，質點組內所有內力產生的力

矩的矢量和為 即：質點組內力矩的矢量和恒為零，只需考慮外力矩。對質點系的所有質點應用角動量定理并取和

物理意義：質點系對參考點的角動量隨時間的變化率等于作用于質點系的所有外力對該參考點的合力矩。對上式積分，可得質點系角動量定理的積分形式

質點系的角動量定理指出：只有外力矩對質點系的角動量變化有貢獻。內力矩對質點系的角動量變化無貢獻，但對質點系內角動量的分配有影響。質點系對參考點的角動量守恒定律

當質點系所受外力對參考點的合力矩為零時，質點系對參考點的角動量守恒，即質點系對轉軸的角動量定理和守恒定律

將質點系的角動量定理正交分解可以得到相應的軸向分量，質點系對軸的角動量定理形式為說明：由于角動量定理的推導過程中應用了牛頓運動定律，所以角動量定理及其守恒律只在慣性系中才成立。問題討論合外力矩等于零時，合外力亦為

零，對嗎？錯！如圖：對質心的合外力矩為

零，但系統(tǒng)合外力不為零。合外力為零時，合外力矩必為零，

對嗎？錯！如圖：對于質心的合外力矩

不為零，但系統(tǒng)合外力為零。問題討論當合外力為零時合外力矩與參考點無關，對嗎？

如圖，對于兩個力合力為零的情況，設桿長為L

，則，合對質心（也可以選其它參考點）的合外力矩為

顯然，合外力矩與參考點無關，只與

兩個力的垂直距離有關。對于多個外

力合力為零的情況，總可以簡化成兩

個力合力為零的形式，故命題正確。例3：不可伸長的輕繩繞過一輕定滑輪，右側吊著質量為

的托盤，盤內放置被綁緊的質量為

的彈簧，滑輪另一側系一重物使兩側平衡，系統(tǒng)保持靜止，設被綁緊的彈簧在細線斷開時在桌面上彈起的豎直高度為h

，那么在托盤上細線斷開時彈簧彈起的豎直高度是多少？

解：以地球為參照系，滑輪中心為參考

點建立直角坐標系。將托盤、滑輪、重

物、繩、彈簧視為物體系，系統(tǒng)對z

軸

的合力矩為零，即對z

軸的角動量守恒。

設v

為彈簧上細線斷開彈起時彈簧離開

托盤的速度，V

為同一時刻托盤向下運

動的速度，滑輪半徑為R

。

依角動量守恒定律得 在桌面上，細線斷開時彈簧豎直彈起，此過程僅保守力做功，系統(tǒng)的機械能守恒，故綁住的彈簧的彈性勢能為 在托盤上，細線斷開時彈簧豎直彈起，

此過程只有保守力做功，系統(tǒng)的機械

能守恒，綁住的彈簧的彈性勢能全部

轉化為系統(tǒng)動能

由以上三式可解出彈簧離開托盤的速度為 將彈簧視為質點，其在豎直方向做勻

加速運動，設上升高度為H

，則 本題亦可用動量守恒來求解。*五、質心系的角動量定理當在質心系中考慮質點系相對質心的角動量隨時間的變化時，如果質心系是慣性系，角動量定理當然適用。如果質心系是非慣性系，只要加上慣性力，牛頓定律仍然成立。因此只要加上慣性力的力矩，角動量守恒定理也仍然成立。對于質心參考點 ：質心系中質點系對質心的角動量 ：質點系所受外力對質心的合力矩 ：質點系所有質點所受慣性力對質心的合力矩由于質心系是平動系，作用在各質點上的慣性力與質量成正比，方向與質心加速度相反，所以質點系所有質點所受慣性力對質心的合力矩為可見：不論質心系是慣性系還是非慣性系，在質心系中，角動量定理都適用。這是質心系的獨特優(yōu)越性。說明在研究行星問題時，當行星的質量與太陽質量相比不能忽略，或者求解問題要求高精度時，都應考慮太陽的運動，在這種情況下用質心系就能顯示其優(yōu)點了。雖然在質心系中角動量定理仍然適用，但質點系在質心系中相對質心的角動量與質點系在慣性系中相對參考點（通常是原點）的角動量并不相同。因為即使在慣性系中相對不同參考點的角動量都不相同，何況質心往往還是一個運動的參考點。在O-xyz參照系中，根據定義，質點系對參考點O

的角動量為：

質點系的角動量等于質心相對參考點的角動量與質點系相對于質心的角動量之和。課后討論若系統(tǒng)相對某參考點的合外力矩為零，則系統(tǒng)對該點的角動量守恒，如果更換參考點，則系統(tǒng)對參考點的角動量還守恒嗎？為什么？若系統(tǒng)相對某參考點的合外力矩為零，則該系統(tǒng)所受合外力可以用過參考點的一個力來等效，若更換參考點，則此等效力的作用線不一定通過參考點，因此力矩不一定為零，所以系統(tǒng)對參考點的角動量不一定守恒。觀察表明，許多星系呈圓盤形(包括銀河系)，試應用角動量的概念做出解釋。銀核核球，厚1.3萬光年銀盤，厚約3000光年銀道面太陽銀河系側視圖銀暈10萬光年按宇宙起源的大爆炸理論，因大爆炸之后的膨脹，銀河系最初可能為球形，由于與其它星系的相互作用而具有一定的角動量。該角動量使球形的銀河系不會在引力作用下凝聚（坍縮）成一團，而只能形成具有一定半徑的圓盤形結構。因為在凝聚過程中，角動量守恒要求轉速隨半徑r

的減小而增大

因而使離心力增大

它比引力增大(引力∝r-2)得更快，最終引力會和離心力相互平衡，即角動量守恒限制星系在垂直于轉軸方向的坍縮。

角動量守恒并不妨礙星系沿轉軸方向的坍縮，因在這種坍縮中角動量守恒不要求增加轉速。故星系最終坍縮成圓盤狀，在沿軸向坍縮過程中減少的引力勢能將以輻射的形式釋放掉。課后作業(yè)：P90頁習題4-3：如果忽略空氣影響，火箭自地面發(fā)射后在空間做拋物線運動，設其質量為m，以與水平方向夾角發(fā)射，速度為v1，到達最高點h

時速度為v2，假設地球是半徑為R

的圓球，求火箭在離開發(fā)射點的瞬時相對地心的角動量；火箭在最高點時相對地心的角動量；4-7：一質量為m

的小球在o-xy

平面上運動，其位置矢量隨時間變化的規(guī)律為