第1章 數制與編碼

第一章數制與編碼內容提要：（1）模擬信號、數字信號及其之間的區(qū)別，以及數字電路的特點。（2）進位計數規(guī)則和各種不同數制之間的轉換方法。（3）二進計數制的基本特點及其在計算機中的表示形式。（4）加權碼、非加權碼及字符代碼11.1 數字電路基礎知識主要內容：模擬信號與數字信號的概念及區(qū)別數字電路的特點21.1.1模擬信號與數字信號模擬信號是指時間上和幅度上均為連續(xù)取值的物理量。在自然環(huán)境下，大多數物理信號都是模擬量。如溫度是一個模擬量，某一天的溫度在不同時間的變化情況就是一條光滑、連續(xù)的曲線：3數字信號是指時間上和幅度上均為離散取值的物理量。可以把模擬信號變成數字信號，其方法是對模擬信號進行采樣，并用數字代碼表示后的信號即為數字信號。用邏輯1和0表示的數字信號波形如下圖所示：41.1.2數字電路的特點數字電路的結構是以二值數字邏輯為基礎的，其中的工作信號是離散的數字信號。電路中的電子器件工作于開關狀態(tài)。數字電路分析的重點已不是其輸入、輸出間波形的數值關系，而是輸入、輸出序列間的邏輯關系。所采用的分析工具是邏輯代數，表達電路的功能主要是功能表、真值表、邏輯表達式、布爾函數以及波形圖。數字系統(tǒng)一般容易設計。信息的處理、存儲和傳輸能力更強。數字系統(tǒng)的精確度及精度容易保存一致。數字電路抗干擾能力強。數字電路容易制造在IC芯片上。51.2數制主要內容：進位計數制、基數與權值的概念二進制計數法及構造方式最高有效位、最低有效位的概念二進制數的加、減、乘、除運算八進制和十六進制的計數方法6表示數碼中每一位的構成及進位的規(guī)則稱為進位計數制，簡稱數制。進位計數制也叫位置計數制。在這種計數制中，同一個數碼在不同的數位上所表示的數值是不同的。一種數制中允許使用的數碼符號的個數稱為該數制的基數。記作R

某個數位上數碼為1時所表征的數值，稱為該數位的權值，簡稱“權”。

7利用基數和“權”的概念，可以把一個R進制數D用下列形式表示：位置計數法多項式表示法，也叫按權展開式81.2.1十進制數十進制的基數R為10，采用十個數碼符號0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十進制的按權展開式為：如十進制數2745.214可表示為：91.2.2二進制數所謂二進制，就是基數R為2的進位計數制，它只有0和1兩個數碼符號。二進制的按權展開式為：如二進制數1011.1012可表示為：10用N位二進制可實現2N個計數，可表示的最大數是2N-1例1-1：用8位二進制能表示的最大數是多少？

解：

11二進制數的加、減、乘、除四則運算二進制的計數規(guī)則是：低位向相鄰高位“逢二進一，借一為二”。二進制加法：二進制的加法運算有如下規(guī)則：0+0=00+1=11+0=11+1=10（“逢二進一”）例：1011.1012+10.012=?12二進制減法：二進制的減法運算有如下規(guī)則：0–0=01–0=11–1=00–1=1（“借一當二”）例：1101.1112–10.012=?131.2.3八進制數八進制數的基數R是8，它有0、1、2、3、4、5、6、7共八個有效數碼。八進制的按權展開式為：八進制的計數規(guī)則是：低位向相鄰高位“逢八進一，借一為八”。14例：對八進制數，從08數到308解：所求的八進制數的序列如下所示（注意，沒有使用下標8）。0，1，2，3，4，5，6，7，10，11，12，13，14，15，16，17，20，21，22，23，24，25，26，27，30151.2.4十六進制數十六進制數的基數R是16，它有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F共十六個有效數碼。十六進制的按權展開式為：十六進制的計數規(guī)則是：低位向相鄰高位“逢十六進一，借一為十六”。

16例：對十六進制數，從016數到3016

解：所求的十六進制數的序列如下所示（注意，沒有使用下標16）。

0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A，B，C，D，E，F，10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，1A，1B，1C，1D，1E，1F，20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，2A，2B，2C，2D，2E，2F，30171.3數制轉換主要內容：二進制與八進制、十六進制之間的相互轉換方法十進制與二進制、八進制、十六進制的相互轉換方法把一個數從一種數制轉換到其他數制的轉換方法181.3.1二進制數與八進制數的相互轉換將二進制轉換為八進制將整數部分自右往左開始，每3位分成一組，最后剩余不足3位時在左邊補0；小數部分自左往右，每3位一組，最后剩余不足3位時在右邊補0；然后用等價的八進制替換每組數據例：將二進制數10111011.10112轉換為八進制數。19將八進制轉換為二進制對每位八進制數，只需將其展開成3位二進制數即可例1-9：將八進制數67.7218轉換為二進制數。

解：對每個八進制位，寫出對應的3位二進制數。201.3.2二進制數與十六進制數的相互轉換將二進制轉換為十六進制：將整數部分自右往左開始，每四位分成一組，最后剩余不足四位時在左邊補0；小數部分自左往右，每四位一組，最后剩余不足四位時在右邊補0；然后用等價的十六進制替換每組數據。例：將二進制數111010111101.1012轉換為十六進制數。21將十六進制轉換為二進制對每位十六進制數，只需將其展開成4位二進制數即可。例1-11：將十六進制數1C9.2F16轉換為二進制數。

解：對每個十六進制位，寫出對應的4位二進制數。221.3.3十進制數與任意進制數的相互轉換十進制數與任意進制數之間的轉換方法有多項式替代法和基數乘除法。非十進制數轉換為十進制數：把非十進制數轉換成十進制數采用按權展開相加法。具體步驟是，首先把非十進制數寫成按權展開的多項式，然后按十進制數的計數規(guī)則求其和。例1-12：將二進制數101011.1012轉換成十進制數。23例1-13：將八進制數165.28轉換成十進制數。例1-14

：將十六進制數2A.816轉換成十進制數。24十進制數轉換為其它進制數

對于既有整數部分又有小數部分的十進制數轉換成其它進制數，首先要把整數部分和小數部分分別進行轉換，然后再把兩者的轉換結果相加。整數轉換：整數轉換，采用基數連除法，即除基取余法。把十進制整數N轉換成R進制數的步驟如下：將N除以R，記下所得的商和余數；將上一步所得的商再除以R，記下所得的商和余數；重復做第2步，直至商為0；將各個余數轉換成R進制的數碼，并按照和運算過程相反的順序把各個余數排列起來（把第一個余數作為LSB，最后一個余數作為MSB），即為R進制的數。25例1-15：將3710轉換成等值二進制數。

解：采用除2取余法，具體的步驟如下：37÷2=18 …… 余數1 →LSB18÷2=9 …… 余數0 ↑9÷2=4 …… 余數1 ↑4÷2=2 …… 余數0 ↑2÷2=1 …… 余數0 ↑1÷2=0 …… 余數1 →MSB按照從MSB到LSB的順序排列余數序列，可得：

3710=100101226例1-16：將26610轉換成等值八進制數。

解：采用除8取余法，具體的步驟如下：266÷8=33 …… 余數2 →LSB33÷8=4 …… 余數1 ↑4÷8=0 …… 余數4 →MSB按照從MSB到LSB的順序排列余數序列，可得：26610=4128

27例1-17：將42710轉換成等值十六進制數。

解：采用除16取余法，具體的步驟如下：427÷16=26 …… 余數11=B → LSB26÷16=1 …… 余數10=A ↑1÷16=0 …… 余數1=1 → MSB按照從MSB到LSB的順序排列余數序列，可得：42710=1AB16

十進制數除16的各次余數形成了十六進制數，且當余數大于9時，用字母A~F表示。28純小數轉換純小數轉換，采用基數連成法，即乘基取整法。把十進制的純小數M轉換成R進制數的步驟如下：將M乘以R，記下整數部分；將上一步乘積中的小數部分再乘以R，記下整數部分；重復做第2步，直至小數部分為0或者滿足預定精度要求為止；將各步求得的整數部分轉換成R進制的數碼，并按照和運算過程相同的順序排列起來，即為所求的R進制數。29例1-18：將十進制小數0.562510轉換成等值的二進制數小數。

解：采用乘2取整法，具體的步驟如下：0.5625×2=1.125 …… 整數1 →MSB0.125×2=0.250 …… 整數0 ↓0.250×2=0.50 …… 整數0 ↓0.50×2=1.00 …… 整數1→LSB按照從MSB到LSB的順序排列余數序列，可得：0.562510=0.10012

30例1-19：將十進制小數0.3510轉換成等值的八進制數小數。

解：采用乘8取整法，具體的步驟如下：0.35×8=2.8 …… 整數2 →MSB0.8×8=6.4 …… 整數6 ↓0.4×8=3.2 …… 整數3 ↓0.2×8=1.6 …… 整數1 ↓ ︰ ：→LSB 按照從MSB到LSB的順序排列余數序列，可得：0.3510=0.2631…8

31例1-21：將十進制數17.2510轉換成等值的二進制數小數。

解：此題的十進制數既有整數部分又有小數部分，則可用前述的“除基取余”及“乘基取整”的方法分別將整數部分和小數部分進行轉換，然后合并起來就可得到所求的結果。具體的步驟如下：17.2510=