專題2.6 圓的方程【七大題型】（舉一反三）（人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)）（解析版）

專題2.6圓的方程【七大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"1-3"\h\u【題型1求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】 1【題型2求圓的一般方程】 3【題型3二元二次方程表示圓的條件】 5【題型4圓過定點(diǎn)問題】 6【題型5點(diǎn)與圓的位置關(guān)系】 8【題型6圓有關(guān)的軌跡問題】 10【題型7與圓有關(guān)的對(duì)稱問題】 11【知識(shí)點(diǎn)1圓的方程】1．圓的定義圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合(軌跡)是圓(定點(diǎn)為圓心,定長(zhǎng)為半徑).圓心決定圓的位置,半徑?jīng)Q定圓的大小.2．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：方程(r>0)叫作以點(diǎn)(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的優(yōu)點(diǎn)：根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程很容易確定圓心坐標(biāo)和半徑.

(3)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個(gè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中含有三個(gè)字母(待定)，因此在一般條件下，只要已知三個(gè)獨(dú)立的條件，就可以求解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.3．圓的一般方程(1)方程叫做圓的一般方程.

(2)圓的一般方程的適用條件：從方程的形式可以知道，一個(gè)圓的一般方程中含有三個(gè)字母(待定)，因此在一般條件下，只要已知三個(gè)獨(dú)立的條件，就可以求解圓的一般方程.下列情況比較適用圓的一般方程：

①已知圓上三點(diǎn)，將三點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的一般方程，求待定系數(shù)D，E，F(xiàn)；

②已知圓上兩點(diǎn)，圓心所在的直線，將兩個(gè)點(diǎn)代入圓的方程，將圓心代入圓心所在的直線方程，求待定系數(shù)D，E，F(xiàn).【題型1求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程】【例1】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過A0,0，B1,1，C4,2三點(diǎn)的圓的一般方程是（

）A．x2+yC．x2+y【解題思路】設(shè)所求的圓的方程為x2+【解答過程】解：設(shè)所求的圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，因?yàn)锳故選：D.【變式1-1】（2023春·重慶沙坪壩·高一?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，已知P10,2、P24,4兩點(diǎn)，若圓M以P1A．x-22C．x-12【解題思路】求出圓心M坐標(biāo)以及圓M的半徑，即可得出圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解答過程】由題意可知，圓心M的橫坐標(biāo)為0+42=2，縱坐標(biāo)為2+42圓M的半徑為MP因此，圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為x-故選：A.【變式1-2】（2023春·湖北襄陽·高二?？奸_學(xué)考試）過點(diǎn)A1,-1，B-1,1，且圓心在直線xA．x-12C．x-32【解題思路】先求得線段AB的中垂線的方程，再根據(jù)圓心又在直線x+y-【解答過程】因?yàn)檫^點(diǎn)A1,-1與B所以線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為0,0，kAB所以線段AB的中垂線的斜率為k=1所以線段AB的中垂線的方程為y=又因?yàn)閳A心在直線x+所以x+y-所以圓心為1,1，r所以圓的方程為x-故選：A.【變式1-3】（2023秋·河北石家莊·高二校考期末）已知圓的圓心為(-2，1)，其一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)恰好在兩坐標(biāo)軸上，則這個(gè)圓的方程是（A．x2+yC．x2+y【解題思路】根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出直徑兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求出半徑，再求出圓的方程即可.【解答過程】設(shè)直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分別A(圓心C為點(diǎn)(-2,1),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得a+02∴半徑r=∴圓的方程是(x+2)故選：A.【題型2求圓的一般方程】【例2】（2022秋·天津和平·高二?？茧A段練習(xí)）已知圓C經(jīng)過原點(diǎn)O(0,0)，A(4,3)，B(1,-3)三點(diǎn)，則圓CA．x2+yC．x2+y【解題思路】設(shè)圓的方程為x2+y解方程組16+9+4D+3【解答過程】設(shè)圓的方程為x2+y把點(diǎn)O(0,0)，A(4,3)，16+9+4D+3解得D=-7，E=1，所以圓的方程是x2故選：D．【變式2-1】（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）與圓x2+y2-A．x2+yC．x2+y【解題思路】根據(jù)同圓心,可設(shè)圓的一般式方程為x2+y【解答過程】設(shè)所求圓的方程為x2+y2-2x所以所求圓的方程為x2故選：B.【變式2-2】（2023春·天津武清·高二?？奸_學(xué)考試）已知圓C經(jīng)過兩點(diǎn)A0,2，B4,6，且圓心C在直線l:2A．x2+yC．x2+y【解題思路】先將圓的一般方程寫出，然后利用待定系數(shù)法即可求解.【解答過程】設(shè)圓的一般方程為x2+y因?yàn)閳AC經(jīng)過兩點(diǎn)A0,2，B4,6，且圓心C在直線所以2×-D2所以圓C的方程為x2故選：C.【變式2-3】（2022秋·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知A2,0,B3,3,A．x2+yC．x2+y【解題思路】設(shè)△ABC外接圓的方程為：x2+y2+Dx+【解答過程】設(shè)△ABC外接圓的方程為：x由題意可得：22+0即△ABC的外接圓的方程為：x故選：C.【知識(shí)點(diǎn)2二元二次方程與圓的方程】1．二元二次方程與圓的方程(1)二元二次方程與圓的方程的關(guān)系：

二元二次方程，對(duì)比圓的一般方程，我們可以看出圓的一般方程是一個(gè)二元二次方程，但一個(gè)二元二次方程不一定是圓的方程.(2)二元二次方程表示圓的條件：二元二次方程表示圓的條件是【題型3二元二次方程表示圓的條件】【例3】（2023春·廣東湛江·高二統(tǒng)考期末）已知x2+y2+2A．6，+∞ B．-6,+∞ C【解題思路】方程配方后得x+k2+【解答過程】由方程x2+y所以當(dāng)r=6-k故選：C.【變式3-1】（2023春·河南·高三階段練習(xí)）“a<1”是“方程2x2+2yA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)二元二次方程x2+y2【解答過程】因?yàn)榉匠?x2+2等價(jià)于a2+9-10a>0，解得故“a<1”是“方程2x2+2故選：A.【變式3-2】（2022秋·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期中）方程y+1=-xA．圓x-22+C．圓x+22+y【解題思路】平方后可判斷曲線的形狀.【解答過程】因?yàn)閥+1=-x即x-故方程y+1=-x2故選：D.【變式3-3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若方程x2+y2+4A．14<m<1 B．m<14或【解題思路】根據(jù)二元二次方程表示圓的條件，可以求得若方程x2+y2+4mx【解答過程】方程x2+y即4m2-5m故選：B.【題型4圓過定點(diǎn)問題】【例4】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)A為直線2x+y-10=0上任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．則以O(shè)AA．10,0 B．0,10 C．2,4 D．4,2【解題思路】設(shè)OB垂直于直線2x+y-10=0，可知圓恒過垂足【解答過程】設(shè)OB垂直于直線2x+y-10=0，垂足為B由圓的性質(zhì)可知：以O(shè)A為直徑的圓恒過點(diǎn)B，由2x+y-10=0y=12故選：D.【變式4-1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）點(diǎn)Px,y是直線2x+y-A．0,0和1,1 B．0,0和2,2 C．0,0和1,2 D．0,0和2,1【解題思路】設(shè)點(diǎn)Pt,5-2t，求出以【解答過程】設(shè)點(diǎn)Pt,5-2t，則線段OP圓M的半徑為OM=所以，以O(shè)P為直徑為圓的方程為x-即x2+y由2y-x=0x因此，以O(shè)P為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)坐標(biāo)為0,0、2,1.故選：D.【變式4-2】（2023春·上海普陀·高二?？茧A段練習(xí)）對(duì)任意實(shí)數(shù)m，圓x2+y2-2mx【解題思路】將圓的方程重新按m合并同類項(xiàng)，由此列方程組，解方程組求得定點(diǎn)坐標(biāo).【解答過程】由x2+y2-2mx-4故答案為：1,1、15【變式4-3】（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知二次函數(shù)f(x)=x2+2x+b(x∈R)【解題思路】設(shè)出f(x)【解答過程】二次函數(shù)f(x)=x2+2x+b(x∈R)的圖像與坐標(biāo)軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，記為M(m,0),m2①－②得m2-n2+D(m代入③得E=-∴圓C方程為x2整理得x2由x2+y2+2∴圓C過定點(diǎn)(0,1)和(-2,1)故答案為：(0,1)和(-2,1)．【知識(shí)點(diǎn)3點(diǎn)與圓的位置關(guān)系】1．點(diǎn)與圓的位置關(guān)系(1)如圖所示，點(diǎn)M與圓A有三種位置關(guān)系：點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在圓內(nèi)，點(diǎn)在圓外.(2)圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為；圓A的一般方程為.平面內(nèi)一點(diǎn).位置關(guān)系判斷方法幾何法代數(shù)法(標(biāo)準(zhǔn)方程)代數(shù)法(一般方程)點(diǎn)在圓上|MA|=r(x0-a)2+(y0-b)2=r2點(diǎn)在圓內(nèi)|MA|<r(x0-a)2+(y0-b)2<r2點(diǎn)在圓外|MA|>r(x0-a)2+(y0-b)2>r2【題型5點(diǎn)與圓的位置關(guān)系】【例5】（2023·江蘇·高二假期作業(yè)）點(diǎn)P(1，3)與圓xA．在圓外 B．在圓內(nèi) C．在圓上 D．不確定【解題思路】計(jì)算P到圓心的距離和半徑作比較即可.【解答過程】圓x2+y2=24的圓心為O故點(diǎn)P在圓內(nèi).故選：B.【變式5-1】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若點(diǎn)a,0在圓x2+y2A．-1,1 B．-∞,1 C．0,1【解題思路】利用點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可得出關(guān)于實(shí)數(shù)a的不等式，解之即可.【解答過程】由題意可得a2<1，解得故選：A.【變式5-2】（2023·全國(guó)·高二專題練習(xí)）兩個(gè)點(diǎn)M2,-4、N-2,1與圓CA．點(diǎn)M在圓C外，點(diǎn)N在圓C外B．點(diǎn)M在圓C內(nèi)，點(diǎn)N在圓C內(nèi)C．點(diǎn)M在圓C外，點(diǎn)N在圓C內(nèi)D．點(diǎn)M在圓C內(nèi)，點(diǎn)N在圓C外【解題思路】本題可將點(diǎn)M、N代入方程左邊，通過得出的值與0的大小關(guān)系即可判斷出結(jié)果.【解答過程】將M2,-4代入方程左邊得2則點(diǎn)M在圓C內(nèi)，將N-2,1代入方程左邊得則點(diǎn)N在圓C外，故選：D.【變式5-3】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若點(diǎn)P-1,2在圓C:x2A．-5,5 B．C．-∞,-15∪【解題思路】由方程表示圓的條件以及點(diǎn)到圓心的距離大于半徑求解即可【解答過程】圓C:則圓C:x-12∵點(diǎn)P-1,2在圓∴PC>r，即1+1綜上所述，實(shí)數(shù)k的取值范圍是-15,5故選：B.【知識(shí)點(diǎn)4軌跡方程】1．軌跡方程求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，實(shí)質(zhì)上就是利用題設(shè)中的幾何條件，通過“坐標(biāo)法”將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量x,y之間的方程.(1)當(dāng)動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件易于“坐標(biāo)化”時(shí)，常采用直接法；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)滿足的條件符合某一基本曲線的定義(如圓)時(shí)，常采用定義法；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)隨著另一個(gè)在已知曲線上的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，可采用代入法(或稱相關(guān)點(diǎn)法).(2)求軌跡方程時(shí)，一要區(qū)分"軌跡"與"軌跡方程"；二要注意檢驗(yàn)，去掉不合題設(shè)條件的點(diǎn)或線等.2.求軌跡方程的步驟：(1)建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用(x,y)表示軌跡(曲線)上任一點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)列出關(guān)于x,y的方程；(3)把方程化為最簡(jiǎn)形式；(4)除去方程中的瑕點(diǎn)(即不符合題意的點(diǎn))；(5)作答.【題型6圓有關(guān)的軌跡問題】【例6】（2022秋·廣西桂林·高二?？计谥校┊?dāng)點(diǎn)P在圓x2+y2=1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，它與定點(diǎn)Q3,0A．x+32+C．2x-3【解題思路】設(shè)點(diǎn)Px0,y0，PQ的中點(diǎn)【解答過程】設(shè)點(diǎn)Px0,y0，PQ∵Q3,0，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得x=又點(diǎn)P在圓x2+y2=1因此，線段PQ的中點(diǎn)的軌跡方程為2x故選：C.【變式6-1】（2022秋·北京大興·高二統(tǒng)考期中）已知點(diǎn)M1-3,0和點(diǎn)M23,0，動(dòng)點(diǎn)Mx,A．x2+yC．x2+y【解題思路】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式列式求解即可.【解答過程】解：因?yàn)辄c(diǎn)M1-3,0和點(diǎn)M所以MM又因?yàn)槠錆M足MM所以x+32所以點(diǎn)M的軌跡方程為x2故選：D.【變式6-2】（2022·全國(guó)·高二專題練習(xí)）已知點(diǎn)M(-2,0)，N(2,0)，則以MN為斜邊的直角三角形的直角頂點(diǎn)P的軌跡方程是（A．x2+yC．x2+y【解題思路】設(shè)P(x,y【解答過程】設(shè)P(x,y)，由條件知PM⊥PN即yx+2?因?yàn)镻為直角三角形的直角頂點(diǎn)，所以x≠±2，故所求軌跡方程為x故選：C.【變式6-3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）古希臘幾何學(xué)家阿波羅尼斯證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)k(k>0,k≠1)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(-4,0)，B(2,0)，點(diǎn)MA．(x+4)2+C．x2+(【解題思路】直接設(shè)Mx,y【解答過程】∵|MA|設(shè)Mx,y，則故選：B．【知識(shí)點(diǎn)5與圓有關(guān)的對(duì)稱問題】1．與圓有關(guān)的對(duì)稱問題(1)圓的軸對(duì)稱性：圓關(guān)于直徑所在的直線對(duì)稱.

(2)圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱

①求已知圓關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置.

②若兩圓關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱，則此點(diǎn)為兩圓圓心連線的中點(diǎn).

(3)圓關(guān)于直線對(duì)稱

①求已知圓關(guān)于某條直線對(duì)稱的圓，只需確定所求圓的圓心位置.

②若兩圓關(guān)于某直線對(duì)稱，則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線.【題型7與圓有關(guān)的對(duì)稱問題】【例7】（2023秋·河南焦作·高二?？计谀﹫AC:(x-1)A．(x-2)C．x2+(【解題思路】由題可得圓心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，半徑不變，進(jìn)而即得.【解答過程】圓C:(x-1)2+(y-1)設(shè)圓心關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為(mn-1m所以對(duì)稱圓的方程為(x故選：A.【變式7-1】（2023春·河南開封·高二統(tǒng)考期末）已知圓C1:x2+y2=4與圓A．x+42+C．x+22+【解題思路】根據(jù)題意，求得圓心C1關(guān)于直線2x【解答過程】由題意可得，圓C1的圓心坐標(biāo)為0,0，半徑為2，設(shè)圓心C10,0關(guān)于直線2x+y+5=0所以圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為x故選：A.【變式7-2】（2023·北京·?？寄M預(yù)測(cè)）點(diǎn)M、N在圓C:x2+y2+2kx+2my-A．最大值為22 B．最小值為22 C．最小值為32【解題思路】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得出圓心坐標(biāo)和半徑